Faceți căutări pe acest blog

duminică, 31 august 2014

Funcții primitive


O funcție primitivă se notează de regulă cu majuscula funcției a cărei primitivă este. De exemplu, primitiva funcției f este funcția F. Primitiva funcției g este funcția G.

Dar ce este primitiva unei funcții? De ce este primitivă? Are vreo legătură cu Comuna Primitivă în care trăiau oamenii mai demult? Hmmm... Într-un fel, are. Haideți să vedem în ce fel.

Oamenii din Comuna Primitivă au trăit înaintea noastră în timp, iar noi suntem descendenții lor, derivații lor. Noi derivăm (provenim) din strămoșii noștri. Acum faceți analogia următoare între trecerea timpului și operația de derivare a funcțiilor: strămoșii noștri sunt mai mari (mai bătrâni) decât noi, deci și funcțiile primitive sunt înaintea celor neprimitive. Făcând această legătură, veți gândi automat că f (mic) este derivat din F (mare). Matematic putem scrie $F'=f$.

Facem un tabel sugestiv:

Vechi Nou
Primitiv Actual
F f
Nederivat  Derivat  
$x^2$ $2x$


Exemplul din tabel are următoarea justificare. Știți că $(x^2)'=2x$. În acest caz, $F=x^2$, iar $f=2x$. Așadar, primitiva (una dintre primitivele) funcției $2x$ este funcția $x^2$.

Dar e ce zic că „una dintre” primitivele funcției $2x$ este funcția $x^2$? Există oare mai multe primitive pentru una și aceeași funcție? Oare funcția $2x$ mai are și alte primitive în afară de $x^2$? Desigur! Funcția $2x$ are o infinitate de primitive!

Cum „o infinitate” de primitive? Vreau să văd măcar două! Ca să văd prin ce diferă o primitivă de alta. Desigur, pe una dintre primitivele funcției $2x$ o avem, și anume, o avem pe cea mai simplă, cea mai „frumoasă”: $x^2$. Ei bine, o altă primitivă a funcției $2x$ este funcția... atenție... $x^2+5$.

Da, da, $x^2+5$ este o altă primitivă a funcției $2x$, diferită de $x^2$! Cum verificăm asta? Cum verificăm că $x^2+5$ este primitivă a funcției $2x$? Simplu: derivăm funcția $x^2+5$ și vedem dacă obținem funcția $2x$.

Avem atunci $(x^2+5)'=(x^2)'+5'$. Toată șmecheria este în acest $5'$. Căci știm că derivata oricărui număr constant (deci, care nu-l conține pe $x$) este întotdeauna zero. Deci, $5'=0$. Și cum $5'=0$, obține că $(x^2+5)'=(x^2)'+5'=(x^2)'=2x$.

Dar „șmecheria” nu este valabilă doar pentru numărul $5$, desigur, ci este valabilă și pentru numărul $8$ sau $163$. Așadar, orice număr (din infinitatea de numere posibile) adăugăm lângă funcția $x^2$, obținem tot o primitivă a funcției $2x$. Se mai spune că orice primitivă a funcției $2x$ este funcția simplă și frumoasă $x^2$ la care mai adăugăm o constantă.

Prin urmare, cel mai important este ca, atunci când calculați o primitivă, să găsiți întâi primitiva aceea simplă și frumoasă, deci fără constantă, iar la finalul calculului, ca să fiți cât mai riguroși, să nu uitați să completați constanta.

Faptul că există o infinitate de primitive pentru o funcție, ne determină să ne referim la acestea prin cuvintele „mulțimea primitivelor” unei funcții. De asemenea, acest noian de primitive ne obligă să spunem că primitivele unei funcții sunt „integrale nedefinite”, spre deosebire de integralele definite care dau rezultate unice și bine determinate.