Faceți căutări pe acest blog

duminică, 31 august 2014

Funcții primitive


O funcție primitivă se notează de regulă cu majuscula funcției a cărei primitivă este. De exemplu, primitiva funcției f este funcția F. Primitiva funcției g este funcția G.

Dar ce este primitiva unei funcții? De ce este primitivă? Are vreo legătură cu Comuna Primitivă în care trăiau oamenii mai demult? Hmmm... Într-un fel, are. Haideți să vedem în ce fel.

Oamenii din Comuna Primitivă au trăit înaintea noastră în timp, iar noi suntem descendenții lor, derivații lor. Noi derivăm (provenim) din strămoșii noștri. Acum faceți analogia următoare între trecerea timpului și operația de derivare a funcțiilor: strămoșii noștri sunt mai mari (mai bătrâni) decât noi, deci și funcțiile primitive sunt înaintea celor neprimitive. Făcând această legătură, veți gândi automat că f (mic) este derivat din F (mare). Matematic putem scrie F=f.

Facem un tabel sugestiv:

Vechi Nou
Primitiv Actual
F f
Nederivat  Derivat  
x2 2x


Exemplul din tabel are următoarea justificare. Știți că (x2)=2x. În acest caz, F=x2, iar f=2x. Așadar, primitiva (una dintre primitivele) funcției 2x este funcția x2.

Dar e ce zic că „una dintre” primitivele funcției 2x este funcția x2? Există oare mai multe primitive pentru una și aceeași funcție? Oare funcția 2x mai are și alte primitive în afară de x2? Desigur! Funcția 2x are o infinitate de primitive!

Cum „o infinitate” de primitive? Vreau să văd măcar două! Ca să văd prin ce diferă o primitivă de alta. Desigur, pe una dintre primitivele funcției 2x o avem, și anume, o avem pe cea mai simplă, cea mai „frumoasă”: x2. Ei bine, o altă primitivă a funcției 2x este funcția... atenție... x2+5.

Da, da, x2+5 este o altă primitivă a funcției 2x, diferită de x2! Cum verificăm asta? Cum verificăm că x2+5 este primitivă a funcției 2x? Simplu: derivăm funcția x2+5 și vedem dacă obținem funcția 2x.

Avem atunci (x2+5)=(x2)+5. Toată șmecheria este în acest 5. Căci știm că derivata oricărui număr constant (deci, care nu-l conține pe x) este întotdeauna zero. Deci, 5=0. Și cum 5=0, obține că (x2+5)=(x2)+5=(x2)=2x.

Dar „șmecheria” nu este valabilă doar pentru numărul 5, desigur, ci este valabilă și pentru numărul 8 sau 163. Așadar, orice număr (din infinitatea de numere posibile) adăugăm lângă funcția x2, obținem tot o primitivă a funcției 2x. Se mai spune că orice primitivă a funcției 2x este funcția simplă și frumoasă x2 la care mai adăugăm o constantă.

Prin urmare, cel mai important este ca, atunci când calculați o primitivă, să găsiți întâi primitiva aceea simplă și frumoasă, deci fără constantă, iar la finalul calculului, ca să fiți cât mai riguroși, să nu uitați să completați constanta.

Faptul că există o infinitate de primitive pentru o funcție, ne determină să ne referim la acestea prin cuvintele „mulțimea primitivelor” unei funcții. De asemenea, acest noian de primitive ne obligă să spunem că primitivele unei funcții sunt „integrale nedefinite”, spre deosebire de integralele definite care dau rezultate unice și bine determinate.

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.

Legături la toate articolele din blog



Postări populare