Logaritmul

Se pare că logaritmul este o amenințare pentru elevii începători. Pe lângă faptul că are un nume atât de urât, mai are și alte ciudățenii de proprietăți pe care elevii nu le-au înțeles. Așa că e cazul să facem puțină ordine printre prejudecățile pe care le avem despre logaritm.

Să pornim un pic de la puteri. Știți că $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$. Este un exemplu la care apelez foarte des, căci conține numere diferite și este ușor de reținut. În acest exemplu $2^3$ este o putere, care are ca bază numărul 2 și are ca exponent numărul 3.

Ei bine, logaritmul este tocmai exponentul! Altfel spus, „logaritm” este un alt nume pompos pe care îl dăm exponentului, deși ele sunt unul și același lucru. Așadar, putem scrie $\log_2 8=3$. Observați, deci, că atât exponentul este 3, cât și logaritmul. Atât exponentul, cât și logaritmul sunt unul și același lucru! Logaritmul nu este altceva decât exponentul unui număr (dacă facem din numărul acela o putere). Logaritmul lui 8 este 3, dacă folosim baza 2, căci îl putem transforma pe 8 într-o putere cu baza 2, adică $8=2^3$. 

Când vi se va cere în viitor să determinați logaritmul unui număr, vă veți gândi să transformați numărul respectiv într-o putere (cu baza ce apare la logaritm) și să rețineți din acea putere doar exponentul. De exemplu, dacă vi se cere să determinați logaritmul în baza 5 din numărul 125, vă veți gândi să-l scrieți pe 125 ca o putere cu baza 5 și vom afla că logaritmul cerut este tocmai exponentul puterii pe care am scris-o când l-am transformat pe 125 într-o putere. Mai exact, deoarece $125=5\cdot 5\cdot 5=5^3$, avem că logaritmul (în baza 5) din 125 este 3.

Desigur, contează mult baza logaritmului. Căci, de exemplu, logaritm din 64 poate fi și 3 și poate fi și 6. Cum așa? Iată cum. Logaritm în baza 4 din 64 este doar 3, deoarece îl putem scrie pe 64 ca și $4^3$. Pe când logaritm în altă bază din 64, de exemplu, în baza 2, este un alt număr, adică este 6, deoarece îl putem scrie pe 64 ca și $2^6$. 

Dacă știți bine puteri, atunci știți bine și logaritmi. Nu-i așa? Căci, din moment ce logaritmul este tocmai exponentul, pentru a găsi proprietățile logaritmilor trebuie doar să ne jucăm cu proprietățile puterilor. Iată câteva exemple de proprietăți simple ale logaritmului.

Din moment ce logaritmul lui 8 este 3 (în baza 2, desigur), putem spune că logaritmul lui $2^3$ este 3. Dar oare cât va fi logaritmul lui $2^5$? Evident, va fi 5. Dar logaritmul lui $3^{100}$ (de data aceasta, în baza 3)? Evident, va fi tocmai exponentul, adică 100. Mai precis spus, avem

$$\log_2 2^3=3$$

și 

$$\log_3 3^{100}=100.$$

Observați proprietatea? Nu-i așa că putem scrie în general

$$\color{red}{\log_a a^p=p}?$$

Și când vă gândiți că am descoperit această proprietate doar din simpla constatare a faptului că logaritmul nu este altceva decât tocmai exponentul unei puteri...

Dar mai putem descoperi o asemenea proprietate, bazată pe egalitatea dintre logaritm și exponent. Știm că avem $2^3=8$ și știm că 3 este logaritmul lui 8 (în baza 2). Înseamnă că unde vedem 3 putem să punem $\log_2 8$. Haideți, atunci, să vedem ce iese dacă aplicăm această înlocuire în relația $2^3=8$. Vom avea $2^{\log_2 8}=8$! Ce fain! Vedeți ce șmecherie?! Ia să vedem acum, cât credeți că va fi $5^{\log_5 125}$? Sunt convins că nu veți crede că e 126 :) . Bun. Deci, mai putem extrage o proprietate faină a logaritmului:

$$\color{red}{a^{\log_a p}=p}.$$

Aceste două proprietăți ne spun, prin abuz de limbaj, că baza puterii și baza logaritmului „se reduc” și dispar ambele.

Haideți să intrăm acum și în alte amănunte, ca să vedem mai îndeaproape legătura dintre puteri și logaritmi, descoperind noi proprietăți ale exponenților, pardon, ale logaritmilor, pornind de la identitatea de care vorbeam dintre exponent și logaritm. Pentru aceasta, vom lua încă un exemplu, diferit, și anume $2^{3+4}=2^7$.

Presupunem că știm bine puteri, deci știm, de exemplu, că $2^{3+4}=2^3\cdot 2^4=8\cdot 16$. Dar, dacă două numere sunt egale, atunci și exponenții lor sunt egali (deci și logaritmii lor). Mai exact, dacă $a=b$, atunci și $\log_x a=\log_x b$. Altfel spus, dacă avem o egalitate de numere, atunci putem „logaritma” acea egalitate. Așadar dacă $2^{3+4}=8\cdot 16$, atunci și $\log_2 2^{3+4}=\log_2(8\cdot 16)$. 

Dar am văzut mai sus că $\log_a a^p=p$, așadar $\log_2 2^{3+4}=3+4$. De semenea, în loc de 3 putem scrie $\log_2 8$, iar în loc de 4 putem scrie $\log_2 16$. Prin urmare, putem scrie $\log_2 8+\log_2 16=\log_2(8\cdot 16)$. Astfel, prin generalizare, înlocuind numerele cu litere, am descoperit o altă proprietate faină a logaritmilor:

$$\color{red}{\log_x a+\log_x b=\log_x(a\cdot b)}.$$

Desigur, dacă în stânga am fi pus, în loc de adunare, scădere, atunci în dreapta am fi avut, în loc de înmulțire, împărțire.

Din proprietatea anterioară, punând în loc de $b$ tocmai $a$, obținem ${\log_x a+\log_x a=\log_x(a\cdot a)}$, adică ${2\cdot\log_x a=\log_x(a^2)}$. Și punând în loc de 2 litera $n$, obținem o altă proprietate importantă a logaritmilor:

$$\color{red}{n\cdot\log_x a=\log_x a^n}.$$

Cam acestea sunt cele mai importante proprietăți generale pe care trebuie să le știe un începător. Dar nu putem termina așa până nu mai povestim de două proprietăți numerice indispensabile. Știm că orice număr (nenul) ridicat la puterea zero este unu. Deci, știm că $a^0=1$, oricât am pune în locul lui $a$. Și cum logaritmul este tocmai exponentul, avem proprietatea

$$\color{red}{\log_a 1=0}.$$

Și, evident, nu cred că pune probleme de înțelegere proprietatea

$$\color{red}{\log_a a=1}.$$

Acum sunt mai liniștit, căci am speranța că v-am limpezit puțin din ceața pe care o mai aveați în minte privind logaritmii.