Relaţia dintre o dreaptă şi două puncte, în plan

În materialul anterior vă vorbeam despre relația dintre o dreaptă și un punct, subliniind modalitatea prin care putem decide dacă o dreaptă trece printr-un punct anume sau, echivalent, dacă un punct anume se află pe o dreaptă dată. Aici aș dori să scot în evidență relația dintre dreaptă și două puncte. Esența acestei relații constă în faptul că prin două puncte trece o dreaptă unică, în opoziție cu faptul că printr-un singur punct pot trece o infinitate de drepte.

Relația strânsă dintre două puncte date și o dreaptă este pecetluită prin ceea ce se numește „ecuația dreptei ce trece prin două puncte”. Voi folosi litere ca să o pot scrie la modul cât mai general, dar voi o puteți exemplifica prin niște valori concrete. Așadar, fie două puncte în plan, A și B, de coordonate $A(x_A;y_A)$ și, respectiv, $B(x_B;y_B)$. Se cere ecuația dreptei care trece prin aceste două puncte cunoscute din plan.

Vă recomand să rețineți această ecuație în cele două forme interesante:

• forma cu egalitatea dintre două proporții:

$$\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}.$$

Observați că dacă ați reușit să determinați ce urmează după $y$ la numărător, nu mai trebuie să mai calculați ce urmează după $y_B$ la numitor (am constatat că unii elevi au tendința să recalculeze valoarea). De asemenea, dacă rețineți cum arată prima fracție, atunci a doua fracție este identică cu prima fracție, doar că în locul literei $y$ apare litera $x$.

• forma cu determinantul de ordinul 3:

$$\begin{vmatrix}x&y&1\\x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\end{vmatrix}=0$$

Forma cu egalitatea dintre două proporții pare mai simplă, căci nu necesită cunoașterea determinanților, însă forma cu determinantul este cea mai elegantă și mai plină de semnificații. Aceasta din urmă ne spune, de fapt, că triunghiul format cu punctul generic $M(x;y)$ și cu punctele date $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$ are valoarea ariei nulă. Acest lucru mai înseamnă că punctele $M(x;y)$, $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$ sunt coliniare. Altfel spus, forma cu determinantul ne dă informația firească și esențială conform căreia există o legătură profundă între condiția de coliniaritate a trei puncte (anularea determinantului de mai sus) și ecuația dreptei care trece prin acele (trei) puncte.