Semnificația ecuației analitice a dreptei

Geometria analitică este geometria numerelor. Geometria analitică a reușit să găsească o legătură între figurile geometrice și numere. De exemplu, în plan, un punct este o pereche de numere. În spațiul cu trei dimensiuni (deci, în care putem duce trei drepte reciproc perpendiculare prin același punct), un punct este un triplet de numere.

Și dacă am reușit să înlocuim punctele din spațiu cu numere, atunci putem înlocui orice figură geometrică cu numere. De exemplu, o dreaptă în plan va putea fi scrisă ca o relație între niște numere. Iată un exemplu de asemenea relație, care se numește ecuația (generală a) dreptei: $4x+2y-5=0$. Această relație este ecuația dreptei care trece prin toate punctele (o infinitate) de forma $(x;y)$ care satisfac relația dată. 

Ne putem întreba dacă punctul $(2;3)$ se află pe dreapta dată ca exemplu, deci, echivalent, ne putem întreba dacă dreapta dată trece prin punctul $(2;3)$. Pentru a verifica dacă punctul $(2;3)$ se află pe dreapta $4x+2y-5=0$ va trebui ca în ecuația dată să-l înlocuim pe $x$ cu $2$ și pe $y$ cu $3$ și să vedem dacă obținem rezultatul $0$. Avem $4\cdot 2+2\cdot 3-5=8+5-5=8\ne 0$. Adică, în loc să obținem ca rezultat numărul $0$, noi am obținut ca rezultat numărul $8$. Cum interpretăm rezultatul? Simplu: punctul $(2;3)$ nu se află pe dreapta $4x+2y-5=0$. Echivalent, dreapta $4x+2y-5=0$ nu trece prin punctul $(2;3)$.

Pentru aprofundare, putem concepe o problemă pe care ați putea-o primi la examene: „să se determine parametrul real a astfel încât punctul de coordonate $(-2;a)$ să aparțină dreptei de ecuație $4x-y+3=0$”. Când aparține un punct unei drepte? Atunci când coordonatele punctului satisfac ecuația dreptei. Așadar, trebuie să presupunem și noi că ambele coordonate ale punctului nostru $(-2;a)$ satisfac ecuația dreptei $4x-y+3=0$. Trebuie să avem, așadar, $4\cdot(-2)-a+3=0$, deci $-8-a+3=0$. Rezolvăm această ecuație în $a$ și vom avea $-a=-3+8=5$, deci $\color{blue}{a=-5}$. Așadar, punctul $(-2;-5)$ aparține dreptei  $4x-y+3=0$ (sau, echivalent, dreapta trece prin acest punct).

Desigur, există o infinitate de puncte care satisfac ecuația unei drepte. E și firesc să fie așa, din moment ce orice dreaptă are o infinitate de puncte.