Scăderea și împărțirea nu sunt asociative

Spunem despre o operație că este asociativă dacă într-un calcul care conține trei termeni legați prin această operație nu contează cum asociem termenii, adică nu contează dacă începem calculul cu primii doi termeni sau cu ultimii doi termeni, ci obținem același rezultat în ambele cazuri.

De exemplu, adunarea este asociativă, deoarece 5+6+7 poate fi calculat corect în două moduri echivalente:

1. 5+6+7=(5+6)+7=11+7=18
2. 5+6+7=5+(6+7)=5+13=18

În primul caz, spunem că am asociat primii doi termeni, iar în al doilea caz am asociat ultimii doi termeni. Indiferent cum am asociat termenii, rezultatul a fost același în ambele cazuri, 18. De aceea, adunarea este asociativă.

Ne plac tare mult operațiile asociative, deoarece ele ne scutesc de paranteze. Ce rost ar mai avea să folosim paranteze din moment ce nu contează cum asociem termenii?

Și înmulțirea (numerelor sau a matricelor) este asociativă. Tot asociativă este și compunerea funcțiilor. Există o infinitate de operații asociative, iar în ultimii ani de liceu învățați o mulțime de operații ciudate pentru care trebuie să verificați asociativitatea.

Cu toate acestea, banala scădere nu este asociativă. Nu putem face oricum calculele în expresia 5-6-7, ci trebuie să respectăm ordinea de calcul. Dacă facem întâi 5-6=-1 și apoi facem -1-7=-8, obținem rezultatul corect. Însă, dacă facem întâi 6-7=-1 și apoi facem 5-(-1)=6, obținem un rezultat complet diferit. Astfel, scăderea ne obligă să folosim paranteze pentru a putea fi expliciți atunci când ne referim la o expresie de genul 5-6-7. La fel, nici împărțirea nu este asociativă, căci, de exemplu, (16:8):2=1, pe când 16:(8:2)=4.

Din fericire, însă, oamenii au găsit o modalitate de a evita parantezele chiar și pentru operațiile care nu sunt asociative. Pentru aceasta ei s-au gândit că ar fi bine să ne înțelegem cu toții să admitem că o expresie precum 5-6-7 scrisă fără paranteze să fie echivalentă cu expresia (5-6)-7. Mai pompos spus, se face convenția ca pentru operațiile neasociative termenii să fie asociați de la stânga la dreapta, așa cum sunt scriși.

Pe curând!