Faceți căutări pe acest blog

joi, 21 august 2014

Ecuații reciproce de gradul patru

Într-un material anterior rezolvam o problemă cu o ecuație de gradul trei, care avea proprietatea interesantă că toți coeficienții polinomului egal depărtați de capete erau egali între ei. Mai exact, ecuația de gradul trei cu această proprietate arată cam în felul următor:
$$ax^3+bx^2+bx+a=0.$$

Spuneam acolo că orice polinom de această formă (și, în general, de orice grad impar), are una dintre rădăcini egală cu -1. Este o informație extrem de prețioasă, căci noi știm că dacă cunoaștem o rădăcină a unui polinom, atunci cu schema lui Horner putem coborî gradul polinomului cu o unitate, reducând ecuația polinomială dată la una mai simplă (și obținând astfel în cazul nostru o ecuație reciprocă de grad par).

Vom povesti acum despre o ecuație reciprocă de gradul patru, adică o ecuație de forma
$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0.$$
Interesant este că această ecuație nu mai are ca rădăcină pe -1 în general, precum avea ecuația reciprocă de gradul trei, așa că nu ne mai putem folosi de această informație. 

Trebuie să căutăm altceva. Acest „altceva” se ascunde în faptul că fiecare coeficient al polinomului (cu excepția celui din mijloc) apare de două ori. Ei bine, ce facem noi când un factor apare de mai multe ori? Vă amintiți? Desigur, dăm factor comun, ca să nu scriem factorul de mai multe ori, ci doar o singură dată. Și poate că, dând factor comun, ne va veni vreo idee despre ce să facem mai departe.

Și, pentru a vedea mai bine factorii comuni, vom grupa termenii polinomului altfel, în așa fel încât factorii comuni să fie unul lângă celălalt. Obținem ecuația sub forma
$$(ax^4+a)+(bx^3+bx)+cx^2=0.$$
Acum, că avem această formă, vom da factorii comuni care se cuvin și vom obține
$$a(x^4+1)+b(x^3+x)+cx^2=0.$$

Am ajuns într-un impas. Am cam terminat de dat factorii comuni și totuși ecuația noastră nu este tare prietenoasă cu noi. Ce am mai putea face mai departe? Cineva ar putea observa că sub această formă ne-au mai rămas doar trei coeficienți. Trei coeficienți? Hmmmm... Unde am mai întâlnit noi trei coeficienți? Unde? Păi, la ecuația de gradul doi! Despre care știm că arată astfel:
$$ax^2+bx+c=0.$$

O fi având oare ecuația noastră de gradul patru vreo legătură cu o ecuație de gradul doi? Hmmm... dacă nu ne-ar „încurca” acel $x^2$ de lângă $c$, ar fi super. Oare n-am putea scăpa de el? Cum scăpăm de așa ceva? Păi, împărțind cu el!

Haideți să vedem atunci ce se întâmplă dacă împărțim toată ecuația noastră cu $x^2$. Dar, stați! Nu v-am întrebat întâi dacă putem împărți toată ecuația cu $x^2$. Când nu putem împărți cu ceva? Atunci când acel ceva este zero. Așadar, verificăm înainte dacă nu cumva $x^2$ este zero. Păi, dacă $x^2$ ar fi zero, atunci și $x$ ar trebui să fie zero. Iar dacă $x$ ar fi zero, atunci am obține după înlocuirea lui $x$ cu zero în ecuația dată că și $a$ este zero, ceea ce ne-ar strica toată ecuația de gradul patru și ar transforma-o în cine știe ce ecuație. Așa că putem fi liniștiți că $x$ nu este zero, deci că putem împărți cu el, deoarece ecuația noastră este una de gradul patru, deci cu $a\ne 0$.

Făcând împărțirea ecuației cu $x^2$ obținem
$$a\frac{x^4+1}{x^2}+b\frac{x^3+x}{x^2}+c=0.$$

Și pentru că încă tot nu suntem mulțumiți de forma noastră, haideți să mai facem ceva în plus, din ceea ce se poate. Și anume, să distribuim numitorul. Obținem atunci ceva mai interesant:
$$a(x^2+\frac{1}{x^2})+b(x+\frac{1}{x})+c=0.$$
Hmmm... Păi, această formă este mult mai apropiată de cea a unei ecuații de gradul doi! Yupppiii! Ne apropiem încet de ceea ce dorim (dorim să transformăm ecuația noastră reciprocă de gradul uriaș patru într-una mult mai simplă, de gradul doi).

Ne chinuim încă puțin, căci mai trebuie să facem o șmecherie. O ecuație de gradul doi arată a ceva de genul $ay^2+by+c=0$. Și ecuația noastră seamănă mult cu o asemenea ecuație de gradul doi, doar că parcă ceva lipsește. Hmmm... Apar parantezele $(x^2+\frac{1}{x^2})$ și $(x+\frac{1}{x})$... Hmmmm... 

Există oare vreo legătură între cele două paranteze? Oare prima paranteză este pătratul celei de-a doua? Asta era! Asta era întrebarea care trebuia pusă! Păi, haideți să vedem... Haideți să ridicăm a doua paranteză la pătrat și să vedem ce obținem. Avem
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2\cdot{x}\cdot\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}.$$
Dar ce am obținut? Am obținut exact prima paranteză, doar că mai apare acolo un 2, care sperăm să nu ne facă prea mari probleme.

Atunci, haideți să notăm $y=x+\frac{1}{x}$. Avem atunci că prima paranteză este $y^2-2$. Altfel spus, ecuația noastră reciprocă de gradul patru în $x$ a devenit acum o ecuație de gradul doi în $y$
$$a(y^2-2)+by+c=ay^2+by+c-2a=0.$$
Această ecuație se rezolvă, desigur, ca orice ecuație de gradul doi, cu acel delta. Veți găsi două rădăcini pentru $y$. Apoi, veți egala pe rând expresia în $x$ dată de $y=x+\frac{1}{x}$ cu fiecare dintre valorile găsite pentru $y$, obținând astfel câte două ecuații de gradul doi în $x$ care vă vor furniza toate cele patru rădăcini ale ecuației inițiale de gradul patru. Cam asta ar fi tot despre ecuația reciprocă de gradul patru. Succes!


.

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.

Legături la toate articolele din blog



Postări populare