Ecuații și inecuații

Mulți elevi au probleme cu rezolvarea ecuațiilor sau a inecuațiilor, chiar dacă unele dintre ele sunt foarte simple. Oare de ce? Am observat că unul dintre motive este acela că ei efectiv nu știu ce sunt ecuațiile și, evident, nici inecuațiile. Așadar, ce sunt acestea?

Ecuațiile și inecuațiile sunt propoziții (deci cu subiect și predicat) al căror subiect este necunoscut. Predicatul unei ecuații este „este egal cu”, iar predicatul unei inecuații este „este mai mic (mare) decât”. Așadar, o (in)egalitate în care apare o necunoscută este o (in)ecuație. Uneori, se folosesc și relațiile „mai mare sau egal” și „mai mic sau egal”, notate, respectiv, cu semnele „$\geq$” și „$\leq$”

Exemplu de ecuație: $x+1=3$. Exemplu de inecuație $4-x<2$.

De regulă, (in)ecuațiile sunt date în forma canonică, adică în forma „o funcție, un semn și zero”. De exemplu, ecuația $x+1=3$ poate fi dată sub forma canonică $x-2=0$, unde funcția este $f(x)=x-2$, iar semnul este „$=$”. 

Dacă funcția ce apare în (in)ecuație este un polinom (cum se întâmplă extraordinar de des), atunci (in)ecuația se numește (in)ecuație polinomială. (In)ecuațiile polinomiale sunt baza a ceea ce trebuie să știți în legătură cu (in)ecuațiile. Vreau să spun, de fapt, că dacă știți să rezolvați foarte bine (in)ecuațiile polinomiale, atunci veți ști să rezolvați cam orice alt tip de (in)ecuații, căci restul (in)ecuațiilor vi se dau  de regulă în așa fel încât să se reducă la (in)ecuații polinomiale. Bineînțeles, nici problema reducerii la o (in)ecuație polinomială nu este de lepădat, doar că ea nu reprezintă esențialul.

Veți mai întâlni (in)ecuații exponențiale, logaritmice, iraționale, trigonometrice, etcetera. Apoi, veți întâlni (in)ecuații cu o singură necunoscută de gradul întâi, de gradul doi sau de grad mai mare. Veți întâlni apoi chiar și sisteme de (in)ecuații cu mai multe necunoscute. Deci, studiul (in)ecuațiilor este indispensabil pentru reușita voastră în matematică.

Ecuațiile și inecuațiile au soluții. Problema fundamentală a (in)ecuațiilor este găsirea soluțiilor care satisfac acele (in)ecuații. Asta înseamnă că trebuie căutate niște numere care dacă sunt puse în locul necunoscutei sau necunoscutelor ce apar în (in)ecuație, determină ca (in)ecuația să se transforme într-o propoziție adevărată. De exemplu, a găsi soluția ecuației $x+1=3$ înseamnă să găsim că $x=2$, deoarece, dacă în ecuație punem în locul lui $x$ numărul 2, obținem propoziția adevărată $2+1=3$. În acest caz, 2 este soluția ecuației $x+1=3$.

Alte probleme legate de (in)ecuații ar putea fi cele în care vi se cere verificarea unor soluții. De exemplu, vi se poate cere să verificați dacă numărul 8 este soluție a ecuației $x+1=3$. Pentru aceasta, voi îl veți înlocui pe $x$ cu 8 în ecuația dată și veți verifica dacă propoziția obținută este adevărată sau falsă. Ia să vedem. Facem $8+1=3$. Aiurea! Este fals! Căci 8+1 este 9, iar 9 nu este egal cu 3. Deci, nicidecum 8 nu este o soluție a ecuației date. Se mai spune că 8 nu satisface ecuația dată.

De altfel, veți vedea că dacă ați găsit o soluție a unei ecuații polinomiale de gradul întâi, atunci nu are rost să mai căutați o altă soluție, deoarece soluția ecuației polinomiale de gradul întâi este unică. Și cum noi l-am găsit deja pe 2 ca fiind soluție a ecuației $x+1=3$, este evident că orice alt număr, deci și 8, nu va mai fi o soluție a ecuației noastre.

În fine, mai există probleme cu parametri, în care vi se cere efectiv să găsiți o parte din (in)ecuații atunci când vi se dau soluțiile. Altfel spus, aceasta este un fel de problemă inversă găsirii soluțiilor. De exemplu, vi se poate cere să găsiți cât este parametrul $a$ din ecuația polinomială de gradul întâi $x+a=3$ a cărei soluție este 2. Observați că această problemă se transformă într-o ecuație a cărei necunoscută devine parametrul $a$.

Ei bine, sunt tare multe de spus despre ecuații și inecuații. Va fi cazul să le luăm cândva la puricat așa pe rând, cum se cuvine. Până atunci, vă doresc toate cele bune.