O mare șmecherie pentru limite

În perioada aceasta mulți elevi de clasa a XI-a învață despre limite. Așa că m-am gândit că ar fi binevenit acest articol acum.

Există o serie de limite fundamentale pe care trebuie să le cunoască un elev de clasa a XI-a. Ele sunt fundamentale, deoarece o mulțime de alte limite pot fi calculate dacă porniți de la limitele fundamentale.


Iată un tabel cu câteva dintre aceste limite fundamentale:

$$\begin{array}{| c | c |}

\hline
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1&\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1\\\hline
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1&\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1\\\hline
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1&\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\\\hline

\end{array}.$$

Observați că toate aceste limite tind la 0, au numitorul $x$ și au ca rezultat 1. Deci, am putea scrie toate aceste limite drept una singură, căci doar numărătorul lor diferă

$$\lim_{\color{red}{x\to 0}}\frac{\color{blue}{\sin x}\text{ sau }\color{blue}{\arcsin x}\text{ sau }\color{blue}{\tan x}\text{ sau }\color{blue}{\arctan x}\text{ sau }\color{blue}{\ln(1+x)}\text{ sau }\color{blue}{e^x-1}}{\color{green}{x}}=\color{magenta}{1}.$$

Altfel spus, la limită spre zero, toate funcțiile albastre de la numărător devin egale între ele și egale cu numitorul, adică cu $x$. Asta înseamnă că tot același rezultat vom obține și dacă vom face limita raportului dintre două asemenea funcții albastre. Adică,

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\arcsin x}=1$$

sau 

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{e^x-1}=1.$$

Desigur, nimeni n-o să vă ceară să calculați limite atât de simple pe care le puteți regăsi în tabele, ci o să vă ceară limite puțin mai complicate, pe care să le puteți calcula folosindu-vă de aceste limite. 

De exemplu, poate vi se va cere să calculați limita

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{2x}.$$

Credeți că va fi foarte complicată această limită, dacă ea nu se află în tabel? Nici vorbă. N-avem decât să păcălim limita, „mințind” că numitorul ei este, de fapt, cel din tabel, după care să ne cerem iertare pentru minciuna făcută și să-l punem frumos înapoi la numărătorul unei fracții următoare ca să se simplifice. Adică, vom face

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}\cdot\frac{x}{2x}.$$

Acum știm că în loc de prima fracție putem pune 1 și ne rămâne să calculăm limita

$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{2x}.$$

Dar această ultimă limită este simplă, căci simplificăm $x$-ul și rămâne $\frac{1}{2}$. Așadar, limita dată devine

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{2x}=\color{red}{\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}}\cdot\frac{x}{2x}=\color{red}{1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

În limita precedentă am diversificat numitorul, înlocuindu-l pe $x$ din tabel cu $2x$. Să vedem acum în ce mod putem calcula o limită căreia i-am diversificat numărătorul. Să zicem că ni se dă să calculăm limita

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{x}.$$

Mințim și de data asta, deși minciuna este detestabilă :) . Mințim că și la numitor avem $7x$. Așadar

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{x}=\color{red}{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{7x}}\cdot\frac{7x}{x}=\color{red}{1}\cdot 7=7.$$

Desigur, am putea să mai inventăm niște limite și mai ciudate, care pot fi însă calculate cu tabelul de mai sus. De exemplu, am putea primi o limită de genul

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2+x)}{3x},$$

limită la care este denaturat față de tabel atât numărătorul, cât și numitorul. Cu toate acestea, o minciunică ne salvează și de data asta. Facem

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2+x)}{3x}=\color{red}{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2+x)}{x^2+x}}\cdot\frac{x^2+x}{3x}=\color{red}{1}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x^2+x}{3x}.$$

Ultima limită presupunem că știți să o calculați și nu insistăm acum asupra ei. Deși aveți dreptul să nu știți s-o calculați. Doar că eu vreau să scot acum în evidență următoarea mare șmecherie: dacă aveți de calculat o limită de forma

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ceva)}{altceva},$$

atunci dispare sinusul!

Dar, mare atenție: acest lucru este valabil dacă $ceva$ și $altceva$ sunt egale cu 0 atunci când $x$ este egalat cu 0.

Și, desigur, această mare șmecherie este valabilă pentru toate  limitele din tabel, nu doar pentru limita cu sinus, adică dispar toate celelalte lucruri inutile și rămâne doar fracția dintre $ceva$ și $altceva$. Așadar, atunci când nu doar $x\to 0$, ci și $ceva\to 0$ și $altceva\to 0$, atunci avem de exemplu,

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+ceva)}{altceva}=\lim_{x\to 0}\frac{ceva}{altceva}.$$

Generalizare

Suntem acum în măsură să scriem mai elegant și mai general tabelul de mai sus. Tabel valabil dacă avem îndeplinită condiția de bază: 

$$\color{red}{\lim_{x\to l}f(x)=\lim_{x\to l}g(x)}=\large{\color{blue}{0}}.$$

Observați că $x$ nu trebuie să tindă neapărat la 0, ci tinde la un număr oarecare $l$, însă $f$ și $g$ trebuie să tindă la 0 atunci când $x$ tinde la acel număr $l$. 

În aceste condiții avem valabil tabelul

$$\begin{array}{| c | c |}

\hline
\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\sin\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}&\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\arcsin\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}\\\hline
\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\tan\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}&\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\arctan\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}\\\hline
\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\ln[1+\color{blue}{f(x)}]}{\color{green}{g(x)}}&\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{e^{\color{blue}{f(x)}}-1}{\color{green}{g(x)}}\\\hline

\end{array}=\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}.$$

Acest tabel este cel mai important lucru pe care vi l-am spus în acest articol. El vă spune că dacă întâlniți limite de această formă (și numai atunci!), puteți arunca la gunoi termenii care vă încurcă și lăsați doar fracția dintre $f$ și $g$.

Dar mai vreau să vă povestesc puțin înainte de final despre încă două limite importante, valabile tot în condiția în care $f$ și $g$ tind ambele la 0, doar că pe acestea nu le puteam încadra alături de celelalte limite deoarece rezultatul lor este puțin diferit, chiar dacă au același numitor ca și celelalte.

Pornim de la limitele următoare

$$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^8-1}{x}=8,$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{8^x-1}{x}=\ln 8$$

în care puteți înțelege că în loc de 8 puteți pune ce număr vreți voi.

Ei bine, aceste limite pot fi și ele generalizate, scriind

$$\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{[1+\color{blue}{f(x)}]^a-1}{\color{green}{g(x)}}=a\cdot\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}},$$

$$\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{a^{\color{blue}{f(x)}}-1}{\color{green}{g(x)}}=\ln a\cdot\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}.$$

Sper că am oferit acum elevilor de clasa a XI-a un instrument util cu care să poată calcula limitele cu care se confruntă.

Să se găsească x+y

Să se găsească $x+y$, știind că $\overline{xy}+\overline{yx}=77$.


Știm că $\overline{xy}$ este un număr de două cifre. Dar orice număr de două cifre de acest gen poate fi scris în modul următor:
$$\overline{xy}=x\cdot 10+y.$$

Așadar, și $\overline{yx}$ poate fi scris ca
$$\overline{yx}=y\cdot 10+x.$$

Atunci,
$$\overline{xy}+\overline{yx}=x\cdot 10+y+y\cdot 10+x=(x+y)\cdot 10+(x+y)=(x+y)\cdot(10+1).$$

Așadar,
$$\overline{xy}+\overline{yx}=11(x+y).$$

Și cum
$$\overline{xy}+\overline{yx}$$ trebuie să fie egal cu 77, rezultă că și
$$11(x+y)$$
trebuie să fie egal cu 77. Adică, avem
$$11(x+y)=77,$$
de unde rezultă că
$$x+y=\frac{77}{11}=7.$$


Ce trebuie să rețineți dintr-o asemenea problemă? Că bara de deasupra se referă la un număr alcătuit din cifre (scrise în baza 10) și că putem scăpa de ea dacă înmulțim prima cifră cu 10 și adunăm rezultatul cu ultima cifră.

Desigur acest lucru este valabil și pentru numere mai mari, formate din mai multe cifre, doar că în cazul acelor numere, pentru a scăpa de bară, va apărea 10, 100, 1000 și așa mai departe. La un număr de două cifre apare 10 (1 urmat de un zero). La un număr de trei cifre apare 100 (1 urmat de doi de zero) și așa mai departe.

Limita șirului nostalgic

Vorbeam data trecută despre șirul care îmi aduce aminte de liceu, dat prin relația de recurență:
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$

Pe saitul pro-didactica.ro puteți găsi o demonstrație frumoasă a convergenței acestui șir, pornind de la reprezentarea explicită a șirului, fără recurență.



Aici mai doresc să vă reamintesc că de la domnul Karl Weierstrass știm că pentru a demonstra că un șir este convergent este bine (este suficient) să arătăm două lucruri mai ușoare:

-1). că șirul este monoton (mereu crescător sau mereu descrescător);

-2). că șirul este mărginit, adică limitat superior (dacă e crescător) sau limitat inferior (dacă e descrescător).

După cum vedeți, o problemă mare și grea se împarte, de regulă, în (două) probleme mai mici și mai ușoare. Astfel, dacă am munci să arătăm că șirul nostru este monoton (descrescător) și mărginit (inferior), atunci am putea trage concluzia că el este convergent.

Iar dacă am demonstrat că un șir anume este convergent, atunci suntem boieri, căci avem mari șanse să-i găsim limita chiar și din relația de recurență. De exemplu, în cazul șirului nostru, dacă suntem siguri că el este convergent, atunci ne putem folosi de relația de recurență pentru a-i găsi limita.

Fie $l$ limita șirului nostru convergent. Dacă $l$ este numărul spre care tinde șirul, atunci putem pune acest $l$ în locul oricărui termen din relația de recurență, deci și în locul lui $x_n$, dar și în locul lui $x_{n+1}$. Așadar, putem scrie
$$l=\frac{1}{2}\left(l+\frac{a}{l}\right).$$

Atenție, deci! Avem dreptul să scriem o asemenea relație doar după ce am demonstrat deja că șirul este convergent.

Din această relație, putem să găsim cât este $l$. Înmulțind egalitatea cu 2 obținem
$$2l=l+\frac{a}{l}.$$
Apoi, ducându-l pe $l$ în stânga, mai obținem
$$2l-l=\frac{a}{l},$$
deci
$$l=\frac{a}{l}.$$
Apoi, putem înmulți această ecuație cu $l$ și obținem $l^2=a$, de unde concluzia minunată că $\large{\color{red}{l=\sqrt a}}$.

Un șir ce-mi trezește nostalgii

Pe vremea când eram eu de vârsta voastră, dragi elevi, abia apăreau calculatoarele de buzunar și ceasurile electronice, niște minuni care pe mine m-au fascinat așa precum vă fascinează azi pe voi telefoanele-astea mobile super-inteligente.

Și nu știu cum se făcu' odată că am aflat atunci de un șir buclucaș pe care l-am sucit și răsucit în toate părțile cu un asemenea calculator de buzunar de care vă povestesc.

Șirul în sine dacă-l vedeți n-o să vă spună mare lucru, dar după ce ne jucăm puțin cu el veți vedea altfel lucrurile.

Iată șirul:
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$

Această relație ne spune că dacă vrem să găsim termenul următor al șirului, să împărțim întâi numărul constant $a$ la termenul curent al șirului, apoi să adunăm rezultatul cu termenul curent, după care ceea ce obținem să împărțim la doi.

Nu e mare lucru. E doar o relație de recurență între doi termeni consecutivi ai șirului.

Zis și făcut. Mi-am luat calculatorul de buzunar și am procedat după cum urmează:
-1). Am ales întâi cine să fie $a$, să zicem $5$;
-2). Am început cu un număr oarecare, să zicem $1$, pe care l-am considerat a fi tocmai primul termen al șirului;
-3). Am memorat acest prim termen $1$ în memoria calculatorului (aveai acolo o opțiune pentru asta);
-4). Am împărțit numărul ales $a=5$ la memoria calculatorului (care a fost la început, după cum vă spuneam, $x_1=1$), am adunat rezultatul cu memoria calculatorului, apoi am împărțit rezultatul la 2 și am înlocuit ceea ce era în memorie cu ultimul rezultat;
-5). Am repetat pasul 4 de cât mai multe ori până când nu se mai schimba nimic pe ecran datorită preciziei mici a calculatorului.

Ce credeți că obțineam? Unii dintre voi poate își amintesc, alții doar bănuiesc, alții în schimb se vor minuna: obțineam o valoare foarte bună pentru radical din $a=5$!



Haideți să vedem cum se petrec lucrurile concret. Punem în memoria calculatorului M=1. Facem apoi (5:M+M):2 și obținem rezultatul 3. Acum schimbăm conținutul memoriei și punem în loc de conținutul vechi M=1 conținutul M=3.

Facem din nou (5:M+M):2, de data aceasta obținem 2,33333333. Acum îl facem pe M să fie 2,33333333 și obținem 2,238095238.

Apoi, repetând pașii indicați, obținem o listă precum cea de mai jos:

a	M	(a:M+M):2
5	1	3
	3	2,333333333
radical din a	2,333333333	2,238095238
2,236067977	2,238095238	2,236068896
	2,236068896	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977

Pentru $a=2$ obținem lista

a	M	(a:M+M):2
2	1	1,5
	1,5	1,416666667
radical din a	1,416666667	1,414215686
1,414213562	1,414215686	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562

Sau pentru $a=7$ obținem lista

a	M	(a:M+M):2
7	1	4
	4	2,875
radical din a	2,875	2,654891304
2,645751311	2,654891304	2,645767044
	2,645767044	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311

Sau, mai interesant, pentru $a=9$

a	M	(a:M+M):2
9	1	5
	5	3,4
radical din a	3,4	3,023529412
3	3,023529412	3,000091554
	3,000091554	3,000000001
	3,000000001	3
	3	3
	3	3
	3	3

Faceți-vă și voi o asemenea listă în GoogleDocs și jucați-vă cu ea.

Observați ce repede converge șirul! Sunt suficienți doar câțiva pași și obținem radicalul căutat, fără să ne mai chinuim cu calculul mai amănunțit.

Mda, cam cu de-astea îmi băteam eu capul când eram adolescent. Așa ți-e cu pasionații ăștia bolunzi...

O inecuație de gradul al doilea

Să se rezolve inecuația de gradul al doilea
$$x^2-3x+2\le 0.$$

Inecuațiile de gradul al doilea sunt printre cele mai importante inecuații pe care le învățați la liceu și există foarte multe inecuații de altă formă care se pot reduce la inecuații de gradul al doilea. Așa că este necesar să cunoașteți bine acest tip de ecuație. Exemplul nostru ne va fi de folos în această privință. De aceea, să rezolvăm cu atenție inecuația dată.

Ca să rezolvăm o inecuație de gradul al doilea, avem nevoie de rădăcinile polinomului care apare în inecuație. În cazul nostru ne-ar trebui deci rădăcinile polinomului $x^2-3x+2$. Aceste rădăcini pot fi găsite direct, folosind relațiile lui Viète (conform cărora se observă că acestea sunt $x_1=1$ și $x_2=2$) sau indirect, cu $\Delta$ și restul formulelor aferente ecuației de gradul al doilea.

Ok, presupunând că ați găsit rădăcinile polinomului de gradul al doilea, acum trebuie să facem pasul hotărâtor pentru rezolvarea inecuației. Căci aflarea rădăcinilor nu este suficientă pentru rezolvarea inecuației, ci doar pentru rezolvarea ecuației. Doar ecuația are două soluții; în schimb, inecuația are o infinitate de soluții, reprezentate de un interval închis au deschis.

Acest interval se găsește folosind o regulă suplimentară, valabilă pentru inecuațiile de gradul al doilea: între rădăcini semn contrar lui $a$ (SCa), unde $a$ este coeficientul lui $x^2$ care apare în inecuație (în cazul nostru $a=+1$).

Regula de mai sus ne spune că soluțiile căutate pentru inecuația de gradul al doilea sunt date ori de intervalul aflat între rădăcinile polinomului ei, ori de reuniunea celor două intervale aflate în afara acestui interval.

Care dintre cele două situații sunt alese ne spune tabelul următor:
$$\begin{array}{r|lrclr}
x&-\infty&1&\text{ }&2&+\infty\\
\hline
x^2-3x+2&+\infty+++++&0&---=SCa=---&0&+++++\infty
\end{array}$$

Așadar, polinomul $x^2-3x+2$ este mai mic sau egal cu zero doar între rădăcini, așadar, infinitatea de soluții căutate este dată de intervalul închis
$$\color{red}{S=[1;\,2]}.$$
Intervalul este închis deoarece, pe lângă semnul „$<$”, inecuația $x^2-3x+2\le 0$ conține și semnul de „$=$”, ambele aceste semne fiind puse împreună în semnul „$\le$”.

O integrală definită

Să se calculeze
$$\int_0^1\frac{e^x}{2e^x+3}dx.$$


Calculăm întâi integrala nedefinită, după care vom aplica teorema Leibniz-Newton pentru calculul integralei definite.

Deci, cât este
$$\int\frac{e^x}{2e^x+3}dx?$$

E o integrală dintr-o fracţie. Deci, primul lucru este să încercăm să o aducem la forma
$$\int\frac{u^\prime}{u}dx$$
despre care ştim că este $\ln|u|$.

Aşadar, încercăm să luăm $u=2e^x+3$. Atunci, $u^\prime=2e^x$. Drept urmare, integrala noastră nedefinită devine
$$\int\frac{e^x}{2e^x+3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2e^x}{2e^x+3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{u^\prime}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|.$$

Aşadar,
$$\int\frac{e^x}{2e^x+3}dx=\frac{1}{2}\ln|2e^x+3|.$$

Cum funcţia $e^x$ este mereu pozitivă, modulul nu mai are rost. Atunci, deja putem calcula integrala definită, înlocuind limitele de integrare:
$$\int_0^1\frac{e^x}{2e^x+3}dx=\left.\frac{1}{2}\ln(2e^x+3)\right\vert_{0}^{1}=\frac{1}{2}\ln(2e^1+3)-\frac{1}{2}\ln(2e^0+3).$$

În fine, ştiind că $\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}$ şi cum $2e^0+3=5$ obţinem un rezultat mai frumos:
$$\int_0^1\frac{e^x}{2e^x+3}dx=\frac{1}{2}\ln\frac{2e+3}{5}.$$

Matematica și optimizarea motoarelor termice

Aoleu! Păi, ce? Ăsta e sait de termodinamică? Pe bună dreptate, vă puteți pune această întrebare, din moment ce am început cu un titlu atât de tâmpit. Ei bine, veți înțelege imediat la ce mă refer. Mă gândesc să rezolvăm împreună o problemă de matematică pe care o putem aplica motoarelor termice.

Știți cu toții, mai ales cei cărora vă plac motoarele, că automobilele au, în marea lor majoritate, un motor cu cilindri și pistoane. Și mai știți că ele produc căldură. Iată ce vreau eu, în acest context. Să găsim dimensiunea optimă pentru un cilindru, astfel încât motorul să fie suficient de puternic, dar în plus să nu se încălzească prea tare.

Puterea motorului depinde și de volumul cilindrului. Iar gradul de încălzire depinde de porțiunea prin care iese afară căldura din cilindru, deci depinde de aria totală a cilindrului. Deci, noi vrem un motor cât mai puternic și cât mai rece.

Haideți atunci să rezolvăm o problemă de matematică prin care să obținem un cilindru cu volum cât mai mare, dar cu arie totală cât mai mică.

Să vedem întâi formulele pentru volumul cilindrului și aria totală a acestuia. Cum cilindrul este o prismă rotundă cu baza un cerc (să zicem, de rază $r$) și cu înălțimea $h$, volumul acestuia este aria bazei ori înălțimea, adică
$$V=\pi r^2 h.$$

Iar aria totală este aria laterală (care este perimetrul bazei ori înălțimea) plus de două ori aria bazei (deci de două ori $\pi r^2$), adică
$$A_t=2\pi r h+2\pi r^2=2\pi r(h+r).$$

Acum, să fixăm volumul (deci să considerăm că volumul este o constantă) și să vedem care ar fi raza optimă pentru un anumit volum dat (deci presupunem că raza este o variabilă).

Eliminăm înălțimea din cele două ecuații ca să rămânem numai cu rază și cu volum. Pentru aceasta, îl scoatem pe $h$ din formula volumului și obținem
$$h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Atunci, aria totală va fi numai funcție de raza $r$ pe care o vom nota acum cu $x$ ca să facem din aria totală o funcție pe care vrem să o minimizăm (deci vrem să vedem care ar fi minimul acestei funcții).

Așadar, avem
$$A_t=2\pi r\frac{V}{\pi r^2}+2\pi r^2=\frac{2V}{r}+2\pi r^2=\frac{2V}{x}+2\pi x^2.$$

Acum vrem să vedem cum se comportă funcția $$f(x)=\frac{2V}{x}+2\pi x^2$$ și când devine ea minimă. Din analiza matematică știți că pentru a găsi extremele unei funcții e bine să o derivăm și să vedem unde se anulează derivata. Acolo unde se anulează derivata sunt mari șanse să găsim un extrem al funcției. Atunci haideți să derivăm funcția noastră.

Avem $$f^\prime(x)=-\frac{2V}{x^2}+4\pi x.$$

Acum căutăm soluțiile ecuației $f^\prime(x)=0$, adică rezolvăm ecuația
$$-\frac{2V}{x^2}+4\pi x=0.$$
Ca să scăpăm de numitor, înmulțim toată ecuația cu $x^2$ (căci raza nu poate fi nulă) și obținem ecuația
$$-2V+4\pi x^3=0.$$
Îl scoatem pe $x$ de aici și obținem
$$x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$


Acum construim tabelul binecunoscut pentru a vedea și semnul derivatei:
$$\begin{array}{r|lcr}
x&0&\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}&\infty\\
\hline
f^\prime&-\infty\text{   }-\,-&0&+\,+\,+\infty\\
\hline
f&+\infty\,\searrow\,\searrow&f\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)&\nearrow\,\nearrow\,+\infty
\end{array}.$$

Tabelul ne arată că funcția are un minim în punctul $x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$. Toate acestea ne spun că dacă vrem un cilindru cât mai rece de volum $V$, atunci trebuie ca raza acestui cilindru să aibă valoarea $r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ și înălțimea dată de $h=\frac{V}{\pi r^2}$.



Aveți aici, așadar, un exemplu de câtă forță are analiza de liceu pe care ați învățat-o în clasa a XI-a. Bine, acuma să nu vă supărați pe mine dacă n-am lăbărțat suficient de mult acest subiect. Dar, dacă n-ați înțeles mai mult de 50% din el, atunci să știți că toată vina este numai și numai a mea, nicidecum a voastră. Și nici nu știu dacă inginerii se folosesc de aceste calcule în proiectarea motoarelor, dar presupun că lucrurile sunt chiar mai complicate de-atât.

Formule de reținut pentru aria triunghiului

Există mai multe formule pentru aria unui triunghi pe care trebuie să le știți la bac. Cea mai banală dintre ele este: baza ori înălțimea supra doi. Astfel, dacă vi se dă un triunghi la care cunoașteți una dintre laturi (ce poate fi considerată bază) și înălțimea corespunzătoare bazei, atunci puteți determina ușor aria triunghiului aplicând formula banală
$$A_{\color{blue}{\Delta}}=\frac{\color{red}{b}\cdot\color{blue}{h}}{2}.$$

Desigur, puteam roti acest triunghi cu un anumit unghi într-un anumit sens, fără ca aria lui să se modifice. Altfel spus, triunghiul

are aceeași arie cu triunghiul anterior.

De aici mai putem deduce că aria triunghiului nu depinde de latura pe care o considerăm bază, ci important este să avem înălțimea corespunzătoare acelei laturi.




O altă formulă pentru aria triunghiului este cea care folosește două laturi și unghiul dintre ele. Această formulă ne spune că aria triunghiului este: produsul celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre cele două laturi și împărțit cu doi.

Astfel, aria triunghiului din figura de mai jos

este dată de formula
$$A_{\color{yellow}{\Delta}}=\frac{\color{red}{a}\cdot\color{limegreen}{c}\cdot\sin\color{blue}{u}}{2}.$$




O formulă puternică pentru aria unui triunghi este formula lui Heron. Această formulă nu ne cere nimic din interiorul triunghiului (precum au fost înălțimea și unghiul), ci îi sunt suficiente doar laturile triunghiului. Heron a fost în stare să ne dăruiască o formulă cu ajutorul căreia putem găsi aria din simpla cunoaștere a laturilor. Cu toate că este ceva mai urâtă decât alte formule (căci conține un radical nesuferit), formula lui Heron ne permite să ne folosim numai de laturi pentru a găsi aria.

Așadar, aria triunghiului din figura de mai jos

este
$$A_{\color{red}{\Delta}}=\sqrt{p\cdot(p-\color{magenta}{a})\cdot(p-b)\cdot(p-\color{limegreen}{c})}.$$
Dar, stați așa! Am zis că ne folosim numai de laturi. Și atunci ce caută acel misterios $p$ în formula lui Heron? Ce este acest $p$? O fi el ceva ce depinde numai de laturi? Bineînțeles. El este semiperimetrul triunghiului, adică
$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$
Perimetrul se scrie cu $P$ mare, iar semiperimetrul (fiind mai mic) se scrie cu literă mică.

Așadar, când cunoașteți laturile triunghiului, mai calculați doar semiperimetrul și obțineți o formulă de toată frumusețea.




Bun. Acum le-a venit vremea cercurilor să-și facă apariția. Mai exact, vom mai scrie două formule pentru aria triunghiului, una care se folosește de cercul mare (circumscris) și una care se folosește de cercul mic (înscris). Formula corespunzătoare cercului mare va conține $R$ (mare), deci raza cercului circumscris, iar formula corespunzătoare cercului mic va conține $r$ (mic), deci raza cercului înscris.


Cercul circumscris (mare) este cel din figura

iar formula ariei care conține raza acestui cerc este
$$A_{\color{blue}{\Delta}}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}.$$
.



Pentru cercul înscris (cercul mic) avem o formulă mai simplă (cerc mic, formulă mică):

$$A_{\color{yellow}{\Delta}}=p\cdot r.$$

Aici $p$ este același semiperimetru cu care ne-am întâlnit la formula lui Heron, mai sus.

Cam astea sunt cele mai importante formule pentru aria triunghiului pe care le puteți întâlni la bac. După cum vedeți, nu vă puteți plânge că sunt chiar așa de multe...

Coliniaritatea a trei puncte este echivalentă cu anularea unei arii

Dacă vi se dau coordonatele a trei puncte în plan $\color{red}{A(a; b)}$, $\color{blue}{B(c; d)}$ și $\color{green}{C(e; f)}$, puteți stabili dacă ele sunt sau nu sunt coliniare, adică dacă se află toate trei pe una și aceeași dreaptă.

Rețineți următorul determinant teribil format cu coordonatele celor trei puncte:
$$A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
\color{red}{a}&\color{red}{b}&1\\
\color{blue}{c}&\color{blue}{d}&1\\
\color{green}{e}&\color{green}{f}&1
\end{vmatrix}.$$
Modulul acestui număr $A$ calculat mai sus este aria triunghiului $\color{red}{A}\color{blue}{B}\color{green}{C}$. Nu uitați: modulul! Căci determinantul vă poate da și un număr negativ, dar aria unui triunghi nu poate fi ceva negativ.



Acuma aveți o armă foarte puternică pentru a stabili dacă punctele $\color{red}{A(a; b)}$, $\color{blue}{B(c; d)}$ și $\color{green}{C(e; f)}$ sunt coliniare. Și cum anume? Păi, dacă aria triunghiului $\color{red}{A}\color{blue}{B}\color{green}{C}$ este nulă (ceea ce este echivalent cu anularea determinantului), atunci „triunghiul” respectiv este degenerat, în sensul că vârfurile sale se află pe o dreaptă comună.

Mai exact, ca să demonstrați că trei puncte $\color{red}{A(a; b)}$, $\color{blue}{B(c; d)}$ și $\color{green}{C(e; f)}$ sunt coliniare, este suficient să arătați că determinantul
$$\begin{vmatrix}
\color{red}{a}&\color{red}{b}&1\\
\color{blue}{c}&\color{blue}{d}&1\\
\color{green}{e}&\color{green}{f}&1
\end{vmatrix}$$
este nul.



O altă metodă mult mai laborioasă pentru a arăta că trei puncte sunt coliniare este să determinăm ecuația dreptei formată cu primele două puncte, apoi ecuația dreptei formată cu ultimele două puncte și arătat că cele două ecuații coincid. Dar, desigur, aceasta ar fi cea mai primitivă metodă și, pe lângă faptul că ar duce la pierdere masivă de timp la examen, ar mai denota și faptul că elevul nu cunoaște determinantul puternic de care vă vorbeam mai sus.

Distanța dintre două puncte în plan

Un punct în plan este echivalent cu o pereche de numere. Cele două numere asociate unui punct din plan ne arată cât de departe se află punctul dat de „centrul” planului. Desigur, pentru aceasta trebuie să fixăm întâi un „centru” al planului, adică un punct căruia o să-i asociem numerele 0 și 0. Acestui punct i se mai spune „origine” a planului și îl notăm cu O.

Dacă am făcut efortul să  fixăm o origine a planului, precum și unitățile de măsură pe care le vom folosi pentru a măsura distanțele pe orizontală și pe verticală (să zicem, pătrățele), atunci se spune că am fixat un sistem de coordonate în planul respectiv.

Pentru a spune că punctul A este la o distanță de 3 pătrățele pe orizontală și la 6 pătrățele pe verticală de originea planului ne folosim de semnul A(3; 6), semn căruia îi spunem „punctul A de coordonate 3 și 6”.

Observați că este importantă ordinea în care scriem aceste coordonate, căci dacă mergem 6 pătrățele pe orizontală și apoi 3 pătrățele pe verticală nu ajungem în punctul A(3; 6), ci ajungem în punctul B(6; 3), punct care este diferit de punctul A.

Desigur, nu contează că mergem întâi pe orizontală 3 pătrățele, după care mergem pe verticală 6 pătrățele sau mergem întâi pe verticală 6 pătrățele și abia apoi o luăm pe orizontală 3 pătrățele. Punctul în care ajungem este același în ambele cazuri.

Dar simpla scriere A(3; 6) nu ne spune efectiv la ce distanță se află punctul A de originea planului dacă am merge direct de la O la A, ci ne spune doar cât ar trebui să mergem dacă am lua-o pe ocolite pe orizontală și pe verticală (3+6=9 pătrățele). Dar drumul direct este mai scurt și vrem să-l găsim.

Pentru  găsi drumul direct, ne ajută Pitagora. El ne-a învățat că ipotenuza unui triunghi dreptunghic este mai scurtă decât suma catetelor și ne-a spus și cu cât. Mai exact, teorema lui Pitagora ne spune că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Și cum nouă nu ne trebuie pătratul ipotenuzei, ci tocmai ipotenuza însăși, vom avea că ipotenuza este radicalul sumei pătratelor catetelor.

Atunci, dacă vi se dă un punct $A(a; b)$, drumul de la O la acest punct (deci, distanța de la O la A) va fi dată de formula simplă
$$\color{blue}{d(O; A)=\sqrt{a^2+b^2}}.$$



Iată că aveți acum distanța de la origine la un punct. Dar noi vrem mai mult. Noi vrem să știm cât este distanța dintre oricare două puncte ale planului, nu neapărat tocmai de la origine.

Să zicem că vrem să știm cât este distanța de la un punct $A(a; b)$ la un punct $B(c; d)$. Deci, ne interesează o altă ipotenuză, de data aceasta. Una formată cu un triunghi care nu are treabă cu originea. Este vorba despre triunghiul dreptunghic format cu catetele verde și albastră din figura de mai jos:

Din teorema lui Pitagora pentru acest triunghi colorat, ipotenuza este distanța de la punctul $A(a; b)$ la punctul $B(c; d)$ și este dată de formula
$$\large{\color{red}{d(A; B)=\sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2}}}.$$

Observați că în această formulă nu contează cu care punct începem, căci $(c-a)^2=(a-c)^2$ și, respectiv, $(d-b)^2=(b-d)^2$. E și normal, nu? Distanța de la A la B trebuie să fie aceeași cu distanța de la B la A.

Ei, v-a plăcut?

Produsul scalar dintre doi vectori

Dacă la bac vi se cere produsul scalar dintre doi vectori $\vec u$ și $\vec v$ și vi se dau doar modulele $|\vec u|$ și $|\vec v|$ ale celor doi vectori și unghiul $\alpha$ dintre ei, atunci pentru a găsi produsul scalar al celor doi vectori vă folosiți de formula cu module și unghi:
$$\large{\color{red}{\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\cdot|\vec v|\cdot\cos\alpha}}.$$

În schimb, dacă la bac vi se cere produsul scalar dintre doi vectori $\vec u$ și $\vec v$ și vi se dau coordonatele celor doi vectori, adică $\vec u=a\vec i+b\vec j$, respectiv, $\vec v=c\vec i+d\vec j$, atunci pentru a găsi produsul scalar al celor doi vectori vă folosiți de formula cu coordonate:
$$\large{\color{blue}{\vec u\cdot\vec v=ac+bd}}.$$

Observați un lucru important: în ambele cazuri, produsul scalar este un număr. Deci, cu toate că înmulțiți doi vectori, produsul lor este un număr, adică un scalar. Acest număr este produsul dintre două lungimi:

1. lungimea proiecției unui vector pe celălalt (deci este „umbra” lăsată de primul vector pe celălalt atunci când lumina este perpendiculară pe al doilea vector); 
2. și lungimea celuilalt vector. 

Și nu contează ordinea în care calculăm acest număr, rezultatul este independent de vectorul cu care începem.

 Există, desigur, și produsul vectorial dintre doi vectori, iar rezultatul acelui produs este un vector.

Marele avantaj al acestor formule este generalitatea lor. Ele sunt generale în sensul că nu depind de faptul că cei doi vectori se află în plan (deci sunt scriși cu două coordonate) sau se află în spațiu (deci sunt scriși cu trei coordonate).





Ca aplicație a acestor cunoștințe, vi se poate întâmpla la bac să vi se ceară unghiul dintre doi vectori dați prin coordonate. Cum faceți atunci? Desigur, ne folosim atunci de ambele formule pentru produsul scalar.

De exemplu, să presupunem că vectorii pe care trebuie să-i folosim sunt $\vec u=2i+3j$, respectiv, $\vec v=4i-5j$. Avem vectorii dați prin coordonate, deci putem calcula produsul lor scalar cu formula cu coordonate. Acesta va fi $\vec u\cdot\vec v=2\cdot 4+3\cdot(-5)=8-15=-7$. Deci, produsul scalar este $-7$.

Dar tot $-7$ trebuie să ne dea și dacă ne folosim de prima formulă, cea cu modulele și unghiul. Așadar, trebuie să avem și $|\vec u|\cdot|\vec v|\cos\alpha=-7$.

Acum ne mai rămâne să calculăm modulele vectorilor. Modulul unui vector dat prin coordonate este radicalul sumei pătratelor coordonatelor. Deci $|\vec u|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$, respectiv, $|\vec v|=\sqrt{4^2+(-5)^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$.

Așadar, avem de fapt că
$$\sqrt{13}\cdot\sqrt{41}\cdot\cos\alpha=-7.$$

Iar de aici scoatem cosinulul unghiului și avem
$$\cos\alpha=\frac{-7}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{41}}.$$
Desigur, puteam alege alte coordonate pentru cei doi vectori ca să ne dea niște numere frumoase sub radical (pătrate perfecte), care să se poată calcula. Dar eu am preferat să folosesc niște numere cât mai haotice ca să vedeți esențialul.

În general, dacă ne folosim de litere, formula care ne dă cosinusul unghiului dintre doi vectori dați prin coordonate în modul general $\vec u=a\vec i+b\vec j$, respectiv, $\vec v=c\vec i+d\vec j$ este, așadar:
$$\large{\color{magenta}{\cos\alpha=\frac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}}}}.$$

Observați că această formulă ne dă posibilitatea să stabilim ușor când doi vectori dați prin coordonate sunt perpendiculari. Ei sunt perpendiculari atunci când acest cosinus dat de formulă este nul, deci când numărătorul fracției anterioare este nul, deci când avem $ac+bd=0$ sau altfel $ac=-bd$.

Aveți aici, așadar, o mulțime de bunătăți pe care le puteți folosi la bac atunci când dați de greu.

Panta unei drepte, un număr important

Panta unei drepte din plan este tangenta unghiului pe care îl face acea dreaptă cu axa OX.

Tangenta unghiului $t$ este $\tan t=\frac{a}{b}$. 

Dacă dreapta este paralelă cu axa OX, unghiul $t$ este nul, deci este nulă și tangenta, deci este nulă și panta. Dacă dreapta urcă, așa cum se vede în figură, atunci panta este pozitivă, iar dacă dreapta coboară, atunci panta este negativă.

De asemenea, putem să ne folosim de pante pentru a putea găsi unghiul dintre două drepte atunci când cunoaștem pantele celor două drepte. Mai exact, dacă prima dreaptă are panta $m_1=\tan t_1,$ iar a doua dreaptă are panta $m_2=\tan t_2,$ atunci unghiul $t$ dintre cele două drepte va fi dată de diferența (pozitivă a) celor două unghiuri $t=t_2-t_1$. 

Iar tangenta acestui unghi va fi

$$\tan t=\tan(t_2-t_1)=\frac{\tan t_2-\tan t_1}{1+\tan t_1\cdot\tan t_2}=\color{red}{\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}}$$

luând valoarea pozitivă a acestei fracții.

Să interpretăm acest rezultat pentru două cazuri particulare importante:

-1). $m_2-m_1=0$. În acest caz, numărătorul fracției anterioare este nul, deci tangenta $\tan(t_2-t_1)$ este nulă, ceea ce este evident, căci cele două unghiuri sunt egale. În acest caz, cele două drepte sunt paralele.

-2).$1+m_1m_2=0$. În acest caz, mult mai ciudat, numitorul fracției este nul, iar tangenta $\tan(t_2-t_1)$ devine astfel infinită (în modul). Acest lucru este posibil numai pentru unghiuri de 90 de grade. Deci cele două drepte sunt perpendiculare.

Așadar, rețineți ceea ce e mai greu de reținut, ceea ce este mai ciudat: două drepte sunt perpendiculare dacă pantele lor satisfac relația ciudată $\color{magenta}{1+m_1m_2=0}$.

Treaba cu paralelismul e prea ușor de reținut ca să vă mai strofocați: două drepte sunt paralele dacă pantele lor sunt egale.

Așadar, ce veți face la bac dacă vi se va cere să arătați că două drepte sunt perpendiculare? Desigur, veți arăta că produsul pantelor lor este $-1$ (căci numai așa se anulează numitorul acelei fracții).

O integrală primită la examen

Când am dat examen de admitere la Facultatea de Matematică din București, după ce am pășit sfios pe coridoarele-acelea sfinte ale Facultății încărcate de istorie, una dintre problemele pe care le-am primit și de care îmi amintesc cu mare drag, pentru că ne-am îndrăgostit reciproc, mai mult eu de ea, a fost următoarea:

Să se calculeze integrala
$$\int\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx.$$

Desigur nu mi-a picat fisa din prima, pentru că nu credeam să fie chiar atât de simplă, iar eu mă gândeam la tot soiul de artificii pe care ar trebui să le aplic pentru funcțiile trigonometrice. Din fericire, tatonărille mele n-au durat foarte mult, pentru că la o reevaluare a problemei mi-am dat seama că numărătorul nu este altceva decât tocmai numitorul derivat.

Altfel spus, avem
$$(\sin x-\cos x)^\prime=(\sin x)^\prime-(\cos x)^\prime=\cos x-(-\sin x)=\cos x+\sin x.$$

Așadar, notând $u=\sin x-\cos x$, avem că integrala de calculat devine
$$\int\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int\frac{u^\prime}{u}dx.$$

Și cum, în conformitate cu ceea ce vă povesteam ieri despre schimbarea de variabilă, avem că $u^\prime dx=du$, iar integrala noastră devine acum
$$\int\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int\frac{u^\prime}{u}dx=\int\frac{1}{u}du.$$

Dar această integrală, așa cum rezultă din tabele dacă folosim litera $u$ în loc de $x$, este tocmai $\ln|u|$. În concluzie, integrala de calculat devenea logaritmul numitorului, adică
$$\int\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C=\ln|\sin x-\cos x|+C.$$

Să vă fie deci clar: dacă vreodată veți avea de calculat vreo integrală dintr-o fracție faină în care numărătorul este tocmai numitorul derivat, să știți automat că rezultatul este logaritmul numitorului.

Cum e cu schimbarea de variabilă

Știm cu toții că una dintre cele mai simple integrale este, așa cum rezultă din tabele,
$$\int e^x dx=e^x.$$

În acest articol vom discuta despre schimbarea de variabilă, din $x$ în $u$. Cu această ocazie ne putem întreba cât ar fi
$$\int e^u du.$$

Observați că singurul lucru pe care l-am schimbat în expresia integralei $\int e^x dx=e^x$ a fost litera $x$, pe care am schimbat-o cu litera $u$. Atunci, și rezultatul va fi tot ceva în care vom schimba doar litera. Mai exact, avem și
$$\int e^u du=e^u.$$

Și, desigur, am putea schimba litera cu orice altă literă, că tot un astfel de rezultat am obține:
$$\int e^y dy=e^y,$$
$$\int e^v dv=e^v,$$
$$\int e^s ds=e^s.$$

Și-atunci, la ce mai e bună schimbarea literei? Tocmai, schimbarea literei nu ne ajută deloc. Căci simpla schimbare a literei nu este echivalentă cu schimbarea de variabilă propriu-zisă. Pentru a schimba variabila trebuie să facem ceva mult mai profund decât o simplă schimbare de literă.



Șmecheria schimbării de variabilă este dată de diferențiala care apare sub integrală. Veți înțelege de-acum de ce se tot pune câte-un $dx$ la fiecare integrală. Veți înțelege cât de mult contează această diferențială.

Deci, nu este totuna
$$\int e^x dx$$
cu
$$\int e^u d\color{red}{x}.$$



Să vă dau un exemplu. Știți că $\int e^x dx=e^x$. De asemenea, știți că $\int e^u du=e^u$, oricât ar fi $u$. Haideți să punem în locul lui $u$ tocmai $2x$, să vedem ce iese. Am avea atunci că
$$\int e^u du=\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}=e^{2x}=e^u.$$
Rezultat corect. Așadar
$$\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}=e^{2x}.$$

Dar să presupunem că noi vrem acum să știm cât este
$$\int e^{2x}d{\color{red}{x}}.$$

Desigur, cele două vor fi diferite. Adică, vom avea că
$$\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}\neq\int e^{2x}d{\color{red}{x}}.$$

Ele nu diferă foarte mult în acest caz, dar totuși diferă, iar asta este important. Anticipând puțin am să vă arăt rezultatul:
$$\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}.$$

Apare, deci, un $\frac{1}{2}$ suplimentar în fața rezultatului, în comparație cu
$$\int e^{2x}d(2x)=e^{2x}.$$

Deci, rețineți,
$$e^{2x}=\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}\neq\int e^{2x}d{\color{red}{x}}=\frac{1}{2}e^{2x}.$$



Acum, cu acest exemplu ați văzut importanța diferențialei pentru rezultatul integralei. Dar să vedem lucruri și mai clare, cantitative. De unde am inventat eu acel $\frac{1}{2}$? Cum l-am găsit?

Pentru a găsi răspunsul, trebuie să găsim o legătură cantitativă între diferențiala lui $u$ (adică $du$) și diferențiala lui $x$ (adică $dx$). Există o legătură frumoasă între ele. În cuvinte, această legătură se exprimă în felul următor: derivata lui $u$ este tocmai raportul dintre diferențiala lui $u$ și diferențiala lui $x$.

Simbolic, avem
$$u^\prime=\frac{du}{dx}.$$
Această relație ne dă deja legătura mult dorită între cele două diferențiale. Mai exact, avem
$$\color{blue}{du=u^\prime dx}.$$

Sau, din această relație mai putem scrie și
$$\color{blue}{dx=\frac{du}{u^\prime}}.$$

Așa că acum avem atât posibilitatea de a folosi diferențiala $dx$, cât și posibilitatea de a folosi diferențiala $du$. Dar, e de preferat să folosim diferențiala $\color{limegreen}{dx}$ atunci când lângă funcția de integrat apare o expresie care ar putea fi considerată $u^\prime$ și e de preferat să folosim diferențiala $\color{magenta}{du}$ atunci când lângă funcția de integrat nu apare ceva interesant care ar putea fi considerat $u^\prime$.


Exemple. Exemplu de funcție lângă care nu apare $u^\prime$. Tocmai exemplul de mai sus, adică
$$\int e^{2x}dx.$$
Desigur, am vrea să avem ceva de genul $e^u$, deci îl vom lua pe $u$ ca fiind egal cu $2x$. Și $u^\prime=2$. Așadar, lângă funcția noastră, sub integrală nu apare $2$, deci e de preferat să folosim diferențiala $du$. Avem atunci
$$\int e^{2x}dx=\int e^{2x}\frac{du}{u^\prime}=\int e^u\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int e^udu=\frac{1}{2}e^u=\frac{1}{2}e^{2x}.$$
Acum ați văzut de unde am scos acel $\frac{1}{2}$ când am anticipat rezultatul acestei integrale.



Să vedem acum un alt exemplu, de data aceasta în care apare sub integrală ceva ce poate fi considerat $u^\prime$. Să se calculeze
$$\int 2x e^{x^2} dx.$$

Observăm imediat că în cazul nostru $u=x^2$ și, deci, $u^\prime=2x$. Așadar, integrala noastră va fi
$$\int 2x e^{x^2} dx=\int u^\prime e^u dx=\int e^u (u^\prime dx).$$ Și cum $u^\prime dx=du$, avem mai departe că
$$\int 2x e^{x^2} dx=\int e^u (u^\prime dx)=\int e^u du.$$
Și cum litera nu mai contează, așa cum am văzut la începutul articolului, avem că
$$\int e^u du=e^u.$$
Și cum la noi $u=x^2$, rezultă că integrala este în final
$$\int 2x e^{x^2} dx=\int e^u (u^\prime dx)=\int e^u du=e^{x^2}.$$


Mamăăăă, acuma văd ce mult am vorbit pentru a vă explica schimbarea de variabilă! Ce ineficient am fost! Oare nu se puteau spune toate aceste lucruri mult mai eficient? Ce părere aveți? Voi cum ați fi explicat altfel această lecție?

Integrală ciudată

Să se calculeze $$\int\frac{1}{x(1+\ln^2 x)}dx.$$

Ar părea destul de ciudată integrala noastră. Dar primul lucru pe care îl putem face este să observăm că în integrala conține un $\ln x$ și un $\frac{1}{x}$. Dacă observăm acest lucru, atunci suntem pe jumătate rezolvați pentru că ne apropiem de găsirea esenței rezolvării problemei.

Pentru a merge mai departe, vom rescrie integrala noastră sub o altă formă echivalentă:
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx.$$
Aceasta este o formă foarte sugestivă, căci ea seamănă deja cu o integrală cunoscută din tabele.

Mai exact, noi știm că
$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x$$
și ne întrebăm dacă nu cumva și integrala noastră ar putea fi ceva de această formă.

Pentru aceasta ar trebui să știm și cât este integrala asemănătoare pentru o altă variabilă, nu tocmai pentru $x$. Altfel spus, am vrea să știm dacă nu cumva
$$\int\frac{1}{1+u^2}dx$$ este tot ceva cu arctangentă.

Trebuie să știm ceva foarte important atunci când lucrăm cu alte variabile decât $x$: și anume că întotdeauna sub integrală avem nevoie să se afle și un $u^\prime$! Dacă sub integrală putem găsi $u^\prime$, atunci avem posibilitatea să ducem la capăt integrala.

În cazul nostru, dacă alegem $u=\ln x$, atunci avem că $u^\prime=\frac{1}{x}$. Deci, integrala noastră poate fi scrisă
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx=\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx.$$

Avem acum tot ce ne trebuie pentru calculul integralei. Din faptul că $x^\prime=1$, avem
$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\int\frac{x^\prime}{1+x^2}dx=\arctan x.$$

Această formulă ne spune că
$$\large{\color{red}{\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx=\arctan u}},$$
formulă valabilă pentru orice fel de $u$, nu doar pentru $u=x$. Deci, această formulă este valabilă și pentru $u=\ln x$, așa cum e în cazul nostru. În consecință,
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx=\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx=\arctan u=\arctan(\ln x)+constanta,$$
ceea ce încheie calculul nostru.

Diferitele forme ale ecuației de gradul al doilea

Știți că forma generală a ecuației de gradul al doilea este
$$ax^2+bx+c=0.$$
Determinantul ei este $\Delta=b^2-4ac$, iar soluțiile sunt
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Apoi, dacă împărțim această ecuație cu $a$ (care este, prin definiția ecuației de gradul al doilea, diferit de zero, deci se poate împărți cu el liniștit), obținem o altă formă a ecuației generale de gradul al doilea:
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Acum putem să înlocuim pe $\frac{b}{a}$ cu $m$ și pe $\frac{c}{a}$ cu $n$ și obținem forma canonică (sau forma redusă sau forma normală) a ecuației:
$$x^2+mx+n=0.$$

Determinantul acestei ecuații are forma $\Delta=m^2-4n$, iar soluțiile ei sunt
$$x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}.$$

În baza relațiilor lui Viète, despre care vă povesteam ieri, mai putem vorbi despre o formă intuitivă a ecuației în care avem $S=x_1+x_2$ și $P=x_1\cdot x_2$:
$$x^2-Sx+P=0.$$
Determinantul acesteia este $\Delta=S^2-4P$, iar soluțiile ei sunt
$$x_{1,2}=\frac{S\pm\sqrt{S^2-4P}}{2}.$$



În fine, eu vă mai propun o altă formă, în care vrem să scăpăm de numitorul 2. Voi numi această formă drept forma specială a ecuației de gradul al doilea. În această formă ecuația de gradul al doilea arată astfel:
$$x^2-2rx+t=0.$$
Determinantul acestei ecuații este $\Delta=4r^2-4t=4(r^2-t)$, iar soluțiile ei sunt
$$x_{1,2}=r\pm\sqrt{r^2-t},$$
care, după cum vedeți, nu mai sunt scrise sub formă de fracție.

Desigur, voi nu trebuie să vă chinuiți să rețineți asemenea forme, dar rețineți măcar ceea ce se știe despre forma generală a acestei ecuații omniprezente.

Relațiile lui Viète de gradul al doilea

Îmi place să cred că vă mai amintiți care sunt formulele ce ne permit calculul soluțiilor unei ecuații de gradul al doilea atunci când cunoaștem coeficienții polinomului ce formează ecuația respectivă. Dacă nu, atunci urmăriți-mă în continuare cu atenție mărită.

Fie un polinom de gradul al doilea $P(x)=3x^2+4x-7$. Și fie ecuația de gradul al doilea construită cu acest polinom $3x^2+4x-7=0$. Și vrem să găsim soluțiile acestei ecuații sau, altfel spus, rădăcinile polinomului dat. Ecuațiile au soluții, polinoamele au rădăcini, iar rădăcinile polinomului $P(x)$ sunt soluțiile ecuației $P(x)=0$.

Pentru a găsi soluțiile unei ecuații de gradul al doilea trebuie să calculăm întâi determinantul ecuației. Determinantul este un număr foarte important. El se mai numește și discriminant, căci el face discriminarea între cele două soluții ale ecuației (chiar dacă discriminarea este interzisă prin lege :)  ) .

Dacă acest determinant nu există, pardon, dacă este nul, atunci cele două soluții ale ecuației devin una singură. În schimb, dacă acest determinant este nenul, cele două soluții vor fi diferite, iar diferența lor va fi dată de acest determinant.

Atunci când cunoaștem coeficienții $a$, $b$, $c$ ai unei ecuații de gradul al doilea $ax^2+bx+c=0$, determinantul acesteia se calculează cu formula $$\Delta=b^2-4ac.$$

În cazul ecuației noastre, $3x^2+4x-7=0$, determinantul va fi $\Delta=4^2-4\cdot 3\cdot(-7)=16+84=100$. Ce bine că e un pătrat perfect! Căci așa scăpăm de radicalii ăia urâți care apar de regulă în expresiile soluțiilor.

Buuun. Deci, ținem minte, determinantul nostru este 100. Să vedem acum dacă vom putea găsi și soluțiile ecuației. Cum determinantul (discriminantul) nu este nul, e clar că cele două soluții vor fi „discriminate”, adică vor fi diferite, distincte.

Soluțiile unei ecuații de gradul doi sunt două la număr. Și seamănă foarte mult între ele, diferind doar prin semnul determinantului. Această simetrie perfectă i-a dat de gândit unui băiat francez pe nume Évariste Galois, șoptindu-i la ureche faptul că o asemenea simetrie apare doar în anumite condiții. Din păcate, acest băiat a murit prea devreme. Cine știe ce minuni ale matematicii ar mai fi descoperit dacă trăia mai mult.

Să vedem cum arată aceste soluții. Avem pentru prima soluție expresia $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},$$ iar pentru cea de-a doua soluție avem $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$ Câtă simetrie!



Așadar, soluțiile ecuației noastre vor fi $$x_1=\frac{-4-\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{-4-10}{6}=-\frac{14}{6}=-\frac{7}{3},$$ iar $$x_2=\frac{-4+\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{-4+10}{6}=\frac{6}{6}=1.$$


Toate ca toate, dar pe-astea le știați voi destul de bine sau trebuia să le știți. Ceea ce nu știți însă unii dintre voi este că soluțiile ecuației de gradul al doilea i-au dat de gândit unui alt matematician francez pe nume François Viète, cu mult înaintea lui Galois. Și nu este exclus ca Galois să fi fost inspirat de farmecul descoperirii lui Viète.

Să vedem în ce sens i-au dat de gândit lui Viète soluțiile ecuației de gradul al doilea (desigur, nu putem ști ce a fost în mintea lui, dar ne putem imagina). Privind cele două soluții atât de simetrice $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ și $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, Viète s-a întrebat ce s-ar întâmpla dacă ar aduna între ele cele două soluții.

Plin de frenezie, Viète s-a apucat de calcul. Pe atunci nu existau semnele de astăzi, iar calculele de acest gen durau ceva mai mult (în treacăt fie spus, tocmai de aceea, Viète a lucrat cu rădăcini pozitive).  Astfel, Viète a făcut ceva de genul
$$x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Cum numitorul este același pentru ambele soluții, este suficient să adunăm numărătorii între ei și obținem
$$x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Așa cum i-a spus intuiția lui Viète cu mult înainte de a se fi apucat de calcul, $-\sqrt{\Delta}$ și $\sqrt{\Delta}$ de la numărător se reduc pentru că sunt aceleași valori cu semne opuse, așa că rămâne doar
$$x_1+x_2=\frac{-b-b}{2a}=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}.$$

Astfel, Viète a obținut această primă mare descoperire:
$$\large{\color{red}{x_1+x_2=-\frac{b}{a}}}.$$
Aceasta este o primă relație între rădăcini și coeficienți. Este remarcabilă datorită simplității sale, fără radicali. Ce mândru trebuie să fi fost Viète de o asemenea descoperire! Și ce fericit! Știa deja că doar această descoperire singură îi va scrijeli numele pe veșnicie în cărțile de matematică.

Desigur, această bucurie nu l-a oprit din cercetările sale. Căci cercetările fac parte integrantă din viața oamenilor de Știință adevărați. Ei cercetează așa de firesc precum vulturii planează în înălțimi și precum peștii se zbenguie în adâncul mărilor. Este o bucurie continuă, care face ca viața să fie teribil de frumoasă și deplină.

Probabil, Viète cunoștea formula de calcul prescurtat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Așa că, după ce a făcut adunarea celor două soluții, s-a gândit la ce ar ieși dacă ar face înmulțirea lor. Nu cumva ar scăpa și în acest caz de radicali?

Ian să vedem. Să facem, deci $x_1\cdot x_2$. Obținem
$$x_1\cdot x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Dar, două fracții se înmulțesc prin înmulțirea numărătorilor între ei și a numitorilor între ei. Deci,
$$x_1\cdot x_2=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})\cdot(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2}.$$

Iar la numărător avem formula de calcul prescurtat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, deci mai departe obținem
$$x_1\cdot x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}.$$

Dar $\Delta=b^2-4ac$, astfel că $-\Delta=-b^2+4ac$. Prin urmare, obținem pentru produsul rădăcinilor
$$x_1\cdot x_2=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}.$$
În fine, după simplificarea cu $4a$, simplificare permisă deoarece $a$ trebuie să fie diferit de 0 în cazul ecuațiilor de gradul al doilea, obținem a doua mare descoperire a lui Viète
$$\large{\color{blue}{x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}}}.$$

Marcat pe viață de asemenea relații, Viète și-a continuat cercetările din acest domeniu, studiind  și existența unor relații asemănătoare pentru cazuri mai generale decât pentru ecuații de gradul al doilea. Dar despre ele vom vorbi cu alte ocazii, căci și abordarea lui Viète a fost diferită, pornind de la descompunerea polinoamelor în binoame.


Noi vom aplica acum relațiile lui Viète pentru ecuația noastră, înlocuind cu rădăcinile pe care le-am obținut noi și vom avea
$$x_1+x_2=-\frac{7}{3}+1=-\frac{7}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-7+3}{3}=-\frac{4}{3},$$
adică exact ce spune prima relație a lui Viète.

A doua relație va fi
$$x_1\cdot x_2=-\frac{7}{3}\cdot 1=-\frac{7}{3},$$
rezultat care confirmă și a doua relație a lui Viète prin exemplul dat.



Editare din 3 decembrie 2014: v-am mai pregătit un articol cu relațiile lui Viète de ordinul trei.

Un număr interesant divizibil cu 10

Să se demonstreze că numărul $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ este divizibil cu 10.

Metoda ultimei cifre

Pentru a demonstra că un număr se divide cu 10 este suficient să arătăm că ultima cifră a numărului este $0$. Această metodă a ultimei cifre este foarte puternică în matematica de gimnaziu, așa că trebuie aprofundată bine.

Haideți să notăm cu $U(număr)$ ultima cifră a numărului $număr$. Atunci, avem câteva proprietăți faine ale acestei cifre:

1. $U(a+b)=U[U(a)+U(b)]$. Adică, ultima cifră a sumei dintre două numere este ultima cifră a sumei dintre ultimele cifre ale celor două numere. Altfel spus, ca să găsiți ultima cifră a adunării dintre două numere este mai ușor să adunați fiecare dintre ultima cifră a celor două numere și apoi să rețineți doar ultima cifră a rezultatului. N-are rost să adunăm numerele cu toate cifrele lor din moment ce nouă ne trebuie doar ultima cifră, căci este suficient să adunăm doar ultimele cifre ale celor două (sau oricâte or fi) numere.
2. $U(a\cdot b)=U[U(a)\cdot U(b)]$. Același lucru ca mai sus, la adunare. Și la înmulțire putem lucra doar cu ultimele cifre, din moment ce ne trebuie doar ultima cifră.
3. ZERO. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $0$ va rămâne $0$, ori la ce putere am ridica numărul respectiv. Mai elegant spus $$U(\overline{ab\dots cd0}^{\text{ oricât}})=0.$$
4. UNU, CINCI și ȘASE. Același lucru ca mai sus rămâne valabil nu doar pentru $0$, ci și pentru $1$, $5$ și $6$, în sensul că ultima cifră va fi tot $1$, $5$ și, respectiv, $6$. Deci, avem $$U(\overline{ab\dots cd1}^{\text{ oricât}})=1,$$ $$U(\overline{ab\dots cd5}^{\text{ oricât}})=5$$ și $$U(\overline{ab\dots cd6}^{\text{ oricât}})=6.$$
5. PATRU. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $4$ ridicat la o putere oarecare se repetă din doi în doi: o dată este $6$, iar cealaltă dată este $4$. Mai elegant, scriem $$U(\overline{ab\dots cd4}^{\text{ număr par}})=6,$$ iar $$U(\overline{ab\dots cd4}^{\text{ număr impar}})=4.$$
6. NOUĂ. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $9$ ridicat la o putere oarecare se repetă și ea din doi în doi, ca și în cazul de mai sus al lui $4$: o dată este $1$, iar cealaltă dată este $9$. Mai elegant, scriem $$U(\overline{ab\dots cd9}^{\text{ număr par}})=1,$$ iar $$U(\overline{ab\dots cd9}^{\text{ număr impar}})=9.$$
7. DOI. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $2$ ridicat la o putere oarecare se repetă din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd2}^{\text{ multiplu de 4}})=6,$$ $$U(\overline{ab\dots cd2}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{2},$$ $$U(\overline{ab\dots cd2}^{4k+\color{blue}{2}})=4,$$ $$U(\overline{ab\dots cd2}^{4k+\color{blue}{3}})=8.$$ Atunci, dacă ni se cere, de exemplu, ultima cifră a numărului $2^{359}$, îl vom împărți pe 359 la patru și vom reține restul împărțirii (care este 3), deci ultima cifră a lui $2^{359}$ este cea corespunzătoare restului 3, adică 8.
8. TREI. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $3$ ridicat la o putere oarecare se repetă din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd3}^{\text{ multiplu de 4}})=1,$$ $$U(\overline{ab\dots cd3}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{3},$$ $$U(\overline{ab\dots cd3}^{4k+2})=9,$$ $$U(\overline{ab\dots cd3}^{4k+3})=7.$$
9. ȘAPTE. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $7$ ridicat la o putere oarecare se repetă tot din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd7}^{\text{ multiplu de 4}})=1,$$ $$U(\overline{ab\dots cd7}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{7},$$ $$U(\overline{ab\dots cd7}^{4k+2})=9,$$ $$U(\overline{ab\dots cd7}^{4k+3})=3.$$
10. OPT. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $8$ ridicat la o putere oarecare se repetă tot din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd8}^{\text{ multiplu de 4}})=6,$$ $$U(\overline{ab\dots cd8}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{8},$$ $$U(\overline{ab\dots cd8}^{4k+2})=4,$$ $$U(\overline{ab\dots cd8}^{4k+3})=2.$$

Cu aceste reguli putem să rezolvăm problema noastră ușor. Așadar, trebuie să ne ocupăm de ultima cifră a numerelor care apar în expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$. Toate sunt puteri ale lui 7, iar exponenții lor sunt numere naturale consecutive care, prin împărțirea la patru, ne dau toate resturile posibile de la 0 până la 3.

Așadar, vom avea toate posibilitățile pentru ultima cifră corespunzătoare puterilor lui 7, adică (așa cum apare mai sus la regula pentru ȘAPTE) unul dintre cele patru numere care apar în expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ se va termina cu 1, altul cu 7, altul cu 9 și altul cu 3. Pe noi nu ne interesează care dintre ele se termină cu o anumită cifră, ci ne interesează să vedem cu ce se termină SUMA lor.

Deci, conform regulii de la numărul 1, este suficient să adunăm ultimele cifre date prin 1, 7, 9 și 3 și vom găsi cu ce se termină tot numărul $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$. Dar $1+7+9+3=20$. Și cum ultima cifră a lui 20 este 0, înseamnă că ultima cifră a întregului număr $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ va fi 0. Ceea ce a trebuit să arătăm.

Metoda factorului comun

Cu această metodă, ceva mai complicată pentru un elev din clasele mai mici (dar mai elegantă și mult mai eficientă decât metoda ultimei cifre), vom observa că expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ permite scoaterea unui factor comun dat de $7^n$. Altfel spus, putem scrie
$$7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}=7^n\cdot(1+7^1+7^2+7^3).$$
Cum $1+7^1+7^2+7^3=1+7+49+343=50+350=400$, obținem că
$$7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}=400\cdot 7^n.$$
Așadar, expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ este divizibilă nu doar cu 10, ci chiar și cu 100. Iar dacă ni s-ar fi cerut să demonstrăm că acest număr este divizibil cu 100, metoda ultimei cifre ar fi fost și mai ineficientă.



O altă metodă elegantă de rezolvare a problemei ar fi fost metoda inducției matematice, dar un elev de gimnaziu nu a învățat-o încă.