Faceți căutări pe acest blog

marți, 28 octombrie 2014

Relațiile lui Viète de gradul al doilea


Îmi place să cred că vă mai amintiți care sunt formulele ce ne permit calculul soluțiilor unei ecuații de gradul al doilea atunci când cunoaștem coeficienții polinomului ce formează ecuația respectivă. Dacă nu, atunci urmăriți-mă în continuare cu atenție mărită.

Fie un polinom de gradul al doilea $P(x)=3x^2+4x-7$. Și fie ecuația de gradul al doilea construită cu acest polinom $3x^2+4x-7=0$. Și vrem să găsim soluțiile acestei ecuații sau, altfel spus, rădăcinile polinomului dat. Ecuațiile au soluții, polinoamele au rădăcini, iar rădăcinile polinomului $P(x)$ sunt soluțiile ecuației $P(x)=0$.

Pentru a găsi soluțiile unei ecuații de gradul al doilea trebuie să calculăm întâi determinantul ecuației. Determinantul este un număr foarte important. El se mai numește și discriminant, căci el face discriminarea între cele două soluții ale ecuației (chiar dacă discriminarea este interzisă prin lege :)  ) .

Dacă acest determinant nu există, pardon, dacă este nul, atunci cele două soluții ale ecuației devin una singură. În schimb, dacă acest determinant este nenul, cele două soluții vor fi diferite, iar diferența lor va fi dată de acest determinant.

Atunci când cunoaștem coeficienții $a$, $b$, $c$ ai unei ecuații de gradul al doilea $ax^2+bx+c=0$, determinantul acesteia se calculează cu formula $$\Delta=b^2-4ac.$$

În cazul ecuației noastre, $3x^2+4x-7=0$, determinantul va fi $\Delta=4^2-4\cdot 3\cdot(-7)=16+84=100$. Ce bine că e un pătrat perfect! Căci așa scăpăm de radicalii ăia urâți care apar de regulă în expresiile soluțiilor.

Buuun. Deci, ținem minte, determinantul nostru este 100. Să vedem acum dacă vom putea găsi și soluțiile ecuației. Cum determinantul (discriminantul) nu este nul, e clar că cele două soluții vor fi „discriminate”, adică vor fi diferite, distincte.

Soluțiile unei ecuații de gradul doi sunt două la număr. Și seamănă foarte mult între ele, diferind doar prin semnul determinantului. Această simetrie perfectă i-a dat de gândit unui băiat francez pe nume Évariste Galois, șoptindu-i la ureche faptul că o asemenea simetrie apare doar în anumite condiții. Din păcate, acest băiat a murit prea devreme. Cine știe ce minuni ale matematicii ar mai fi descoperit dacă trăia mai mult.

Să vedem cum arată aceste soluții. Avem pentru prima soluție expresia $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},$$ iar pentru cea de-a doua soluție avem $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$ Câtă simetrie!



Așadar, soluțiile ecuației noastre vor fi $$x_1=\frac{-4-\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{-4-10}{6}=-\frac{14}{6}=-\frac{7}{3},$$ iar $$x_2=\frac{-4+\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{-4+10}{6}=\frac{6}{6}=1.$$


Toate ca toate, dar pe-astea le știați voi destul de bine sau trebuia să le știți. Ceea ce nu știți însă unii dintre voi este că soluțiile ecuației de gradul al doilea i-au dat de gândit unui alt matematician francez pe nume François Viète, cu mult înaintea lui Galois. Și nu este exclus ca Galois să fi fost inspirat de farmecul descoperirii lui Viète.

Să vedem în ce sens i-au dat de gândit lui Viète soluțiile ecuației de gradul al doilea (desigur, nu putem ști ce a fost în mintea lui, dar ne putem imagina). Privind cele două soluții atât de simetrice $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ și $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, Viète s-a întrebat ce s-ar întâmpla dacă ar aduna între ele cele două soluții.

Plin de frenezie, Viète s-a apucat de calcul. Pe atunci nu existau semnele de astăzi, iar calculele de acest gen durau ceva mai mult (în treacăt fie spus, tocmai de aceea, Viète a lucrat cu rădăcini pozitive).  Astfel, Viète a făcut ceva de genul
$$x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Cum numitorul este același pentru ambele soluții, este suficient să adunăm numărătorii între ei și obținem
$$x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Așa cum i-a spus intuiția lui Viète cu mult înainte de a se fi apucat de calcul, $-\sqrt{\Delta}$ și $\sqrt{\Delta}$ de la numărător se reduc pentru că sunt aceleași valori cu semne opuse, așa că rămâne doar
$$x_1+x_2=\frac{-b-b}{2a}=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}.$$

Astfel, Viète a obținut această primă mare descoperire:
$$\large{\color{red}{x_1+x_2=-\frac{b}{a}}}.$$
Aceasta este o primă relație între rădăcini și coeficienți. Este remarcabilă datorită simplității sale, fără radicali. Ce mândru trebuie să fi fost Viète de o asemenea descoperire! Și ce fericit! Știa deja că doar această descoperire singură îi va scrijeli numele pe veșnicie în cărțile de matematică.

Desigur, această bucurie nu l-a oprit din cercetările sale. Căci cercetările fac parte integrantă din viața oamenilor de Știință adevărați. Ei cercetează așa de firesc precum vulturii planează în înălțimi și precum peștii se zbenguie în adâncul mărilor. Este o bucurie continuă, care face ca viața să fie teribil de frumoasă și deplină.

Probabil, Viète cunoștea formula de calcul prescurtat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Așa că, după ce a făcut adunarea celor două soluții, s-a gândit la ce ar ieși dacă ar face înmulțirea lor. Nu cumva ar scăpa și în acest caz de radicali?

Ian să vedem. Să facem, deci $x_1\cdot x_2$. Obținem
$$x_1\cdot x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Dar, două fracții se înmulțesc prin înmulțirea numărătorilor între ei și a numitorilor între ei. Deci,
$$x_1\cdot x_2=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})\cdot(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2}.$$

Iar la numărător avem formula de calcul prescurtat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, deci mai departe obținem
$$x_1\cdot x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}.$$

Dar $\Delta=b^2-4ac$, astfel că $-\Delta=-b^2+4ac$. Prin urmare, obținem pentru produsul rădăcinilor
$$x_1\cdot x_2=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}.$$
În fine, după simplificarea cu $4a$, simplificare permisă deoarece $a$ trebuie să fie diferit de 0 în cazul ecuațiilor de gradul al doilea, obținem a doua mare descoperire a lui Viète
$$\large{\color{blue}{x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}}}.$$

Marcat pe viață de asemenea relații, Viète și-a continuat cercetările din acest domeniu, studiind  și existența unor relații asemănătoare pentru cazuri mai generale decât pentru ecuații de gradul al doilea. Dar despre ele vom vorbi cu alte ocazii, căci și abordarea lui Viète a fost diferită, pornind de la descompunerea polinoamelor în binoame.


Noi vom aplica acum relațiile lui Viète pentru ecuația noastră, înlocuind cu rădăcinile pe care le-am obținut noi și vom avea
$$x_1+x_2=-\frac{7}{3}+1=-\frac{7}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-7+3}{3}=-\frac{4}{3},$$
adică exact ce spune prima relație a lui Viète.

A doua relație va fi
$$x_1\cdot x_2=-\frac{7}{3}\cdot 1=-\frac{7}{3},$$
rezultat care confirmă și a doua relație a lui Viète prin exemplul dat.



Editare din 3 decembrie 2014: v-am mai pregătit un articol cu relațiile lui Viète de ordinul trei.