Faceți căutări pe acest blog

joi, 30 octombrie 2014

Integrală ciudată


Să se calculeze $$\int\frac{1}{x(1+\ln^2 x)}dx.$$

Ar părea destul de ciudată integrala noastră. Dar primul lucru pe care îl putem face este să observăm că în integrala conține un $\ln x$ și un $\frac{1}{x}$. Dacă observăm acest lucru, atunci suntem pe jumătate rezolvați pentru că ne apropiem de găsirea esenței rezolvării problemei.

Pentru a merge mai departe, vom rescrie integrala noastră sub o altă formă echivalentă:
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx.$$
Aceasta este o formă foarte sugestivă, căci ea seamănă deja cu o integrală cunoscută din tabele.

Mai exact, noi știm că
$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x$$
și ne întrebăm dacă nu cumva și integrala noastră ar putea fi ceva de această formă.

Pentru aceasta ar trebui să știm și cât este integrala asemănătoare pentru o altă variabilă, nu tocmai pentru $x$. Altfel spus, am vrea să știm dacă nu cumva
$$\int\frac{1}{1+u^2}dx$$ este tot ceva cu arctangentă.

Trebuie să știm ceva foarte important atunci când lucrăm cu alte variabile decât $x$: și anume că întotdeauna sub integrală avem nevoie să se afle și un $u^\prime$! Dacă sub integrală putem găsi $u^\prime$, atunci avem posibilitatea să ducem la capăt integrala.

În cazul nostru, dacă alegem $u=\ln x$, atunci avem că $u^\prime=\frac{1}{x}$. Deci, integrala noastră poate fi scrisă
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx=\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx.$$

Avem acum tot ce ne trebuie pentru calculul integralei. Din faptul că $x^\prime=1$, avem
$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\int\frac{x^\prime}{1+x^2}dx=\arctan x.$$

Această formulă ne spune că
$$\large{\color{red}{\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx=\arctan u}},$$
formulă valabilă pentru orice fel de $u$, nu doar pentru $u=x$. Deci, această formulă este valabilă și pentru $u=\ln x$, așa cum e în cazul nostru. În consecință,
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx=\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx=\arctan u=\arctan(\ln x)+constanta,$$
ceea ce încheie calculul nostru.

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.