Faceți căutări pe acest blog

joi, 30 octombrie 2014

Integrală ciudată


Să se calculeze $$\int\frac{1}{x(1+\ln^2 x)}dx.$$

Ar părea destul de ciudată integrala noastră. Dar primul lucru pe care îl putem face este să observăm că în integrala conține un $\ln x$ și un $\frac{1}{x}$. Dacă observăm acest lucru, atunci suntem pe jumătate rezolvați pentru că ne apropiem de găsirea esenței rezolvării problemei.

Pentru a merge mai departe, vom rescrie integrala noastră sub o altă formă echivalentă:
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx.$$
Aceasta este o formă foarte sugestivă, căci ea seamănă deja cu o integrală cunoscută din tabele.

Mai exact, noi știm că
$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x$$
și ne întrebăm dacă nu cumva și integrala noastră ar putea fi ceva de această formă.

Pentru aceasta ar trebui să știm și cât este integrala asemănătoare pentru o altă variabilă, nu tocmai pentru $x$. Altfel spus, am vrea să știm dacă nu cumva
$$\int\frac{1}{1+u^2}dx$$ este tot ceva cu arctangentă.

Trebuie să știm ceva foarte important atunci când lucrăm cu alte variabile decât $x$: și anume că întotdeauna sub integrală avem nevoie să se afle și un $u^\prime$! Dacă sub integrală putem găsi $u^\prime$, atunci avem posibilitatea să ducem la capăt integrala.

În cazul nostru, dacă alegem $u=\ln x$, atunci avem că $u^\prime=\frac{1}{x}$. Deci, integrala noastră poate fi scrisă
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx=\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx.$$

Avem acum tot ce ne trebuie pentru calculul integralei. Din faptul că $x^\prime=1$, avem
$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\int\frac{x^\prime}{1+x^2}dx=\arctan x.$$

Această formulă ne spune că
$$\large{\color{red}{\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx=\arctan u}},$$
formulă valabilă pentru orice fel de $u$, nu doar pentru $u=x$. Deci, această formulă este valabilă și pentru $u=\ln x$, așa cum e în cazul nostru. În consecință,
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx=\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx=\arctan u=\arctan(\ln x)+constanta,$$
ceea ce încheie calculul nostru.