Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 29 octombrie 2014

Diferitele forme ale ecuației de gradul al doilea


Știți că forma generală a ecuației de gradul al doilea este
$$ax^2+bx+c=0.$$
Determinantul ei este $\Delta=b^2-4ac$, iar soluțiile sunt
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Apoi, dacă împărțim această ecuație cu $a$ (care este, prin definiția ecuației de gradul al doilea, diferit de zero, deci se poate împărți cu el liniștit), obținem o altă formă a ecuației generale de gradul al doilea:
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Acum putem să înlocuim pe $\frac{b}{a}$ cu $m$ și pe $\frac{c}{a}$ cu $n$ și obținem forma canonică (sau forma redusă sau forma normală) a ecuației:
$$x^2+mx+n=0.$$

Determinantul acestei ecuații are forma $\Delta=m^2-4n$, iar soluțiile ei sunt
$$x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}.$$

În baza relațiilor lui Viète, despre care vă povesteam ieri, mai putem vorbi despre o formă intuitivă a ecuației în care avem $S=x_1+x_2$ și $P=x_1\cdot x_2$:
$$x^2-Sx+P=0.$$
Determinantul acesteia este $\Delta=S^2-4P$, iar soluțiile ei sunt
$$x_{1,2}=\frac{S\pm\sqrt{S^2-4P}}{2}.$$



În fine, eu vă mai propun o altă formă, în care vrem să scăpăm de numitorul 2. Voi numi această formă drept forma specială a ecuației de gradul al doilea. În această formă ecuația de gradul al doilea arată astfel:
$$x^2-2rx+t=0.$$
Determinantul acestei ecuații este $\Delta=4r^2-4t=4(r^2-t)$, iar soluțiile ei sunt
$$x_{1,2}=r\pm\sqrt{r^2-t},$$
care, după cum vedeți, nu mai sunt scrise sub formă de fracție.

Desigur, voi nu trebuie să vă chinuiți să rețineți asemenea forme, dar rețineți măcar ceea ce se știe despre forma generală a acestei ecuații omniprezente.