Un număr interesant divizibil cu 10

Să se demonstreze că numărul $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ este divizibil cu 10.

Metoda ultimei cifre

Pentru a demonstra că un număr se divide cu 10 este suficient să arătăm că ultima cifră a numărului este $0$. Această metodă a ultimei cifre este foarte puternică în matematica de gimnaziu, așa că trebuie aprofundată bine.

Haideți să notăm cu $U(număr)$ ultima cifră a numărului $număr$. Atunci, avem câteva proprietăți faine ale acestei cifre:

1. $U(a+b)=U[U(a)+U(b)]$. Adică, ultima cifră a sumei dintre două numere este ultima cifră a sumei dintre ultimele cifre ale celor două numere. Altfel spus, ca să găsiți ultima cifră a adunării dintre două numere este mai ușor să adunați fiecare dintre ultima cifră a celor două numere și apoi să rețineți doar ultima cifră a rezultatului. N-are rost să adunăm numerele cu toate cifrele lor din moment ce nouă ne trebuie doar ultima cifră, căci este suficient să adunăm doar ultimele cifre ale celor două (sau oricâte or fi) numere.
2. $U(a\cdot b)=U[U(a)\cdot U(b)]$. Același lucru ca mai sus, la adunare. Și la înmulțire putem lucra doar cu ultimele cifre, din moment ce ne trebuie doar ultima cifră.
3. ZERO. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $0$ va rămâne $0$, ori la ce putere am ridica numărul respectiv. Mai elegant spus $$U(\overline{ab\dots cd0}^{\text{ oricât}})=0.$$
4. UNU, CINCI și ȘASE. Același lucru ca mai sus rămâne valabil nu doar pentru $0$, ci și pentru $1$, $5$ și $6$, în sensul că ultima cifră va fi tot $1$, $5$ și, respectiv, $6$. Deci, avem  $$U(\overline{ab\dots cd1}^{\text{ oricât}})=1,$$   $$U(\overline{ab\dots cd5}^{\text{ oricât}})=5$$ și  $$U(\overline{ab\dots cd6}^{\text{ oricât}})=6.$$
5. PATRU. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $4$ ridicat la o putere oarecare se repetă din doi în doi: o dată este $6$, iar cealaltă dată este $4$. Mai elegant, scriem  $$U(\overline{ab\dots cd4}^{\text{ număr par}})=6,$$ iar  $$U(\overline{ab\dots cd4}^{\text{ număr impar}})=4.$$
6. NOUĂ. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $9$ ridicat la o putere oarecare se repetă și ea din doi în doi, ca și în cazul de mai sus al lui $4$: o dată este $1$, iar cealaltă dată este $9$. Mai elegant, scriem  $$U(\overline{ab\dots cd9}^{\text{ număr par}})=1,$$ iar  $$U(\overline{ab\dots cd9}^{\text{ număr impar}})=9.$$
7. DOI. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $2$ ridicat la o putere oarecare se repetă din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd2}^{\text{ multiplu de 4}})=6,$$ $$U(\overline{ab\dots cd2}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{2},$$   $$U(\overline{ab\dots cd2}^{4k+\color{blue}{2}})=4,$$   $$U(\overline{ab\dots cd2}^{4k+\color{blue}{3}})=8.$$ Atunci, dacă ni se cere, de exemplu, ultima cifră a numărului $2^{359}$, îl vom împărți pe 359 la patru și vom reține restul împărțirii (care este 3), deci ultima cifră a lui $2^{359}$ este cea corespunzătoare restului 3, adică 8.
8. TREI. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $3$ ridicat la o putere oarecare se repetă din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd3}^{\text{ multiplu de 4}})=1,$$ $$U(\overline{ab\dots cd3}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{3},$$   $$U(\overline{ab\dots cd3}^{4k+2})=9,$$   $$U(\overline{ab\dots cd3}^{4k+3})=7.$$
9. ȘAPTE. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $7$ ridicat la o putere oarecare se repetă tot din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd7}^{\text{ multiplu de 4}})=1,$$ $$U(\overline{ab\dots cd7}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{7},$$   $$U(\overline{ab\dots cd7}^{4k+2})=9,$$   $$U(\overline{ab\dots cd7}^{4k+3})=3.$$
10. OPT. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $8$ ridicat la o putere oarecare se repetă tot din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd8}^{\text{ multiplu de 4}})=6,$$ $$U(\overline{ab\dots cd8}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{8},$$   $$U(\overline{ab\dots cd8}^{4k+2})=4,$$   $$U(\overline{ab\dots cd8}^{4k+3})=2.$$

Cu aceste reguli putem să rezolvăm problema noastră ușor. Așadar, trebuie să ne ocupăm de ultima cifră a numerelor care apar în expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$. Toate sunt puteri ale lui 7, iar exponenții lor sunt numere naturale consecutive care, prin împărțirea la patru, ne dau toate resturile posibile de la 0 până la 3.

Așadar, vom avea toate posibilitățile pentru ultima cifră corespunzătoare puterilor lui 7, adică (așa cum apare mai sus la regula pentru ȘAPTE) unul dintre cele patru numere care apar în expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ se va termina cu 1, altul cu 7, altul cu 9 și altul cu 3. Pe noi nu ne interesează care dintre ele se termină cu o anumită cifră, ci ne interesează să vedem cu ce se termină SUMA lor.

Deci, conform regulii de la numărul 1, este suficient să adunăm ultimele cifre date prin 1, 7, 9 și 3 și vom găsi cu ce se termină tot numărul $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$. Dar $1+7+9+3=20$. Și cum ultima cifră a lui 20 este 0, înseamnă că ultima cifră a întregului număr $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ va fi 0. Ceea ce a trebuit să arătăm.

Metoda factorului comun

Cu această metodă, ceva mai complicată pentru un elev din clasele mai mici (dar mai elegantă și mult mai eficientă decât metoda ultimei cifre), vom observa că expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ permite scoaterea unui factor comun dat de $7^n$. Altfel spus, putem scrie
$$7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}=7^n\cdot(1+7^1+7^2+7^3).$$
Cum $1+7^1+7^2+7^3=1+7+49+343=50+350=400$, obținem că
$$7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}=400\cdot 7^n.$$
Așadar, expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ este divizibilă nu doar cu 10, ci chiar și cu 100. Iar dacă ni s-ar fi cerut să demonstrăm că acest număr este divizibil cu 100, metoda ultimei cifre ar fi fost și mai ineficientă.



O altă metodă elegantă de rezolvare a problemei ar fi fost metoda inducției matematice, dar un elev de gimnaziu nu a învățat-o încă.