Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.c

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. 

Arătați că există o infinitate de matrice $X\in\mathscr{M_{3,1}}(\mathbb{R})$ care verifică relația $A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.

O matrice de forma $X\in\mathscr{M_{\color{magenta}{3},\color{limegreen}{1}}}(\mathbb{R})$ este o matrice care are $\color{magenta}{3}$ linii și $\color{limegreen}{1}$ coloane. Așadar, matricea noastră necunoscută $X$ trebuie să fie de forma
$$X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},$$
adică este o matrice coloană.

Dacă înmulțim o matrice pătratică cu o matrice coloană, obținem ca rezultat o matrice coloană (iar dacă am înmulți o matrice linie cu o matrice pătratică, am obține o matrice linie). În general, dacă înmulțim o matrice (7,4), adică o matrice cu 7 linii și 4 coloane cu o matrice (4,6), vom obține o matrice (7,6). Simbolic, am putea scrie $(7,\color{limegreen}{4})\cdot(\color{limegreen}{4},6)=(7,6)$. Observați că acel $\color{limegreen}{4}$ din mijloc dispare ca prin farmec. Tocmai de aceea putem să înmulțim doar matrice pentru care numărul de coloane din stânga este egal cu numărul de linii din dreapta.



Așadar, dacă vom înmulți matricea pătratică $A(2015)$ cu matricea coloană $X$, vom obține tot o matrice coloană. Această matrice coloană obținută ca rezultat va trebui să o egalăm cu matricea coloană $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.

Dar să nu anticipăm prea mult, ci să facem întâi produsul dintre matricea pătratică $A(2015)$ și matricea coloană necunoscută $X$. Când înmulțim două matrice, înmulțim (mai corect ar fi să spunem „combinăm liniar” ) pe rând liniile matricei din stânga cu coloanele matricei din dreapta (această asimetrie face ca produsul matricelor să fie aproape întotdeauna necomutativ).

Așadar
$$A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2015&2016\\2&2017&2018\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z\\0\cdot x+2015\cdot y+2016\cdot z\\2\cdot x+2017\cdot y+2018\cdot z\end{pmatrix}.$$

Această matrice coloană rezultată va trebui egalată cu matricea $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$. Așadar, avem
$$\begin{pmatrix}x+y+z\\2015y+2016z\\2x+2017y+2018z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.$$

Dar două matrice sunt egale atunci când elementele lor corespondente sunt egale. Atunci, egalitatea matriceală va fi echivalentă cu sistemul de trei egalități (ecuații):
$$\begin{cases}x&+&\,\,\,\,y&+&\,\,\,\,z&=0\\&&2015y&+&2016z&=0\\2x&+&2017y&+&2018z&=0\end{cases}.$$


Acum, având acest sistem în față, să ne reamintim ce ne cere problema. Ea zice să demonstrăm că există o infinitate de matrice bla, bla, bla. Deci, ne cere să arătăm de fapt că există o infinitate de soluții ale acestui sistem, deci să arătăm că există o infinitate de posibilități în care putem alege valori pentru $x$, $y$ și $z$. Ei bine, cum arătăm asta?


Pentru orice sistem există următoarele trei posibilități:

1. Sistemul are zero soluții. Deci nu are nicio soluție. Un asemenea sistem se mai numește „incompatibil”. El conține ecuații care se contrazic, ducând la egalități absurde, precum $1=2$.
2. Sistemul are o soluție unică. Este cel mai „curat” caz. Numai un asemenea sistem se poate rezolva cu metoda lui Cramer. Și reciproc, dacă un sistem se poate rezolva cu Cramer, atunci el are soluție unică. Un asemenea sistem se numește „determinat” sau mai ales „compatibil determinat”. El conține ecuații necesare și suficiente, care nu se contrazic. Fiecare dintre ecuații aduce informație suplimentară în sistem, necesară pentru a găsi  toate necunoscutele. Observați cu această ocazie că nu trebuie să confundăm soluția cu necunoscutele. Soluția înseamnă un set de numere care corespund necunoscutelor. De exemplu, soluția unică a unui sistem de trei ecuații cu trei necunoscute $x$, $y$, $z$ ar putea arăta așa $S=(1,2,3)$ care înseamnă că $x=1$, $y=2$ și $z=3$.
3. Sistemul are o infinitate de soluții. Acest tip de sistem se numește „nedeterminat” sau mai ales „compatibil nedeterminat”. El conține câteva ecuații inutile, care pot fi deduse din celelalte ecuații. Deci, conține ecuații necesare, dar insuficiente.

Nu există alte tipuri de sisteme cu coeficienți reali! Deci, nu există, de exemplu, sisteme cu cinci soluții. Și nici cu patru. Nici cu trei. Și nici cu două. Dacă are soluții, atunci ori are o singură soluție, ori o infinitate. Nu există cale de mijloc. În schimb, există sisteme cu mai multe soluții dacă e vorba de clase de resturi, de exemplu, ceea ce nu e cazul nostru acum.




Vedem acum că sistemul nostru trebuie să fie compatibil nedeterminat. Deci, trebuie să fie întâi compatibil, apoi nedeterminat.

Arătăm întâi că este compatibil. Asta înseamnă că el are soluții. Nu știm câte, dar știm că are. Ia să vedem. Putem arăta ușor că sistemul are soluții? Măcar o soluție? Un sistem care se termină cu zerouri, deci care are după egal numai zerouri sau (mai corect spus) care are termenii liberi nuli se numește sistem omogen. Și orice sistem omogen are soluție. Cea mai simplă soluție. Cea în care toate necunoscutele sunt efectiv nule. Acestei soluții i se mai spune și „soluția banală”. Nu-i așa că orice sistem omogen are această soluție? Căci dacă punem $0$ în locul tuturor necunoscutelor, obținem în total evident $0$. Deci, orice sistem omogen este compatibil, căci are cel puțin soluția banală.

Ei bine, sistemul nostru este tocmai un sistem omogen. Deci este și compatibil. Așadar, am terminat cu compatibilitatea. Mai trebuie să arătăm că este nedeterminat.

Pentru a arăta că sistemul este nedeterminat este suficient să arătăm că el nu se poate rezolva cu metoda lui Cramer. Metoda lui Cramer ne spune că necunoscutele sunt egale cu niște fracții care au la numitor același număr, bine definit și, evident, nenul. Iar acest număr este tocmai determinantul principal al sistemului, adică determinantul matricei care este formată din coeficienții necunoscutelor. Dacă acest determinant este nul, am încurcat-o, căci atunci sistemul nu se mai poate rezolva cu Cramer. Și tocmai asta-i șmecheria de care avem noi nevoie aici.

Vrem să arătăm că determinantul sistemului este nul și atunci putem trage concluzia că sistemul nostru nu se poate rezolva cu Cramer, deci nu are soluție unică. Este oare nul determinantul principal al sistemului? Păi, care este determinantul principal al sistemului nostru? Tocmai determinantul matricei $A(2015)$! Și noi am calculat deja acest determinant la punctul a). și am arătat că el este nul, indiferent cât ar fi numărul $a$. Deci și determinantul matricei $A(2015)$ este nul.

În concluzie, sistemul nostru este omogen (deci compatibil) și are determinantul nul (deci este nedeterminat). Așadar, are o infinitate de soluții. Și astfel am rezolvat problema.

Mai puteam observa că a treia linie se obține dacă adunăm la a doua linie dublul primei linii. Astfel, puteam deduce din start că a treia ecuație este inutilă, deci sistemul este nedeterminat. Eliminând apoi această ecuație și fixând necunoscuta $z$ ca fiind egală cu $\lambda$, am fi obținut un sistem de două ecuații cu două necunoscute $x$ și $y$, a cărui soluție ar fi fost $S=\left(\frac{\lambda}{2015};-\frac{2016\lambda}{2015}\right)$. În consecință, matricea $X$ este dependentă de numărul real $\lambda$ și are forma $X(\lambda)=\begin{pmatrix}\frac{\lambda}{2015}\\-\frac{2016\lambda}{2015}\\\lambda\end{pmatrix}$.

Dar, desigur, acest lucru nu mai e necesar la bac. La bac e suficient să menționați că un sistem omogen este nedeterminat dacă are determinantul nul și să arătați că sistemul nostru are tocmai aceste două proprietăți.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.b

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. 

Determinați numărul natural $n$ astfel încât $2A(n^2)-A(n)=A(6)$.

Observați că, la prima vedere, problema este foarte ușoară. Căci, cine nu știe să înmulțească cu doi o matrice și apoi să scadă din rezultat o altă matrice după care să analizeze egalitatea dintre matricea rezultată în stânga și matricea $A(6)$?

Interesant este, însă, că problema este chiar mai ușoară de atât! Pentru că elevul perspicace, care este mereu preocupat de eficiență, va observa că ecuația matriceală dată spre rezolvare se reduce de fapt la o ecuație numerică pentru că problema nu ne cere nimic mai mult decât tocmai numărul din mijlocul matricei $A(\color{magenta}{\textbf{n}})=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&\color{magenta}{\textbf{n}}&n+1\\2&n+2&n+3\end{pmatrix}$.

Altfel spus, în toată ecuația matriceală nu ne interesează altceva decât ceea ce se întâmplă cu termenul din mijlocul matricei. Simbolic, am putea spune că „simplificăm toată ecuația $2A(n^2)-A(n)=A(6)$ cu $A$” și obținem ecuația $\color{magenta}{2n^2-n=6}$.

După ce am observat acest lucru, putem face o verificare mentală rapidă („ochiometrică”) și constatăm ușor că și celelalte elemente ale matricei ne-ar duce de fapt la aceeași ecuație, fără să aducă nicio complicație suplimentară. Așadar, putem fi liniștiți că ecuația matriceală dată $2A(n^2)-A(n)=A(6)$ este satisfăcută dacă este satisfăcută ecuația numerică $2n^2-n=6$.

În răspunsul nostru pe care îl vom da la bac va fi suficient să menționăm ceva de genul: „Observăm că ecuația matriceală dată se rezumă la ecuația numerică $2n^2-n=6$.”. Căci, examinatorul vă va crede pe cuvânt.

Ok. Să trecem atunci la rezolvarea ecuației banale $2n^2-n=6$. Trebuie să găsim un număr natural $n$ care satisface, după cum vedeți, o ecuație cu coeficienți întregi: $2n^2-n-6=0$.

Am putea rezolva această ecuație după metoda băbească, cu delta, doar că elevul de M1, considerat mult mai eficient, este indicat să știe să rezolve o asemenea ecuație mult mai rapid. Astfel, el își va aminti că rădăcinile întregi ale unei ecuații cu coeficienți întregi se găsesc printre divizorii termenului liber. 

Paranteză

De altfel, chiar dacă nu este necesar în acest moment, mintea plină de informații fuge și mai departe, iar elevul își poate aminti și ceva foarte util și mult mai general, despre care îmi face mare plăcere să vă vorbesc aici:

Rădăcinile raționale (deci, cele ce se pot scrie sub formă de fracție) ale unei ecuații cu coeficienți întregi au:

1. numărătorul fracției printre divizorii termenului liber (termenul care nu are $x$);
2. numitorul fracției printre divizorii termenului dominant (coeficientul care se află în fața lui $x$ de la puterea cea mai mare).

Așadar, rădăcinile raționale ale unei ecuații cu coeficienți fără virgulă sunt fracții de forma:

$$\frac{\text{divizor al termenului liber}}{\text{divizor al termenului dominant}}.$$

Puteți prescurta cu fracția $$\frac{\text{liber}}{\text{dominant}}.$$

Și încă, puteți asocia această fracție cu propoziția „libertatea este deasupra dominației”, cu sensul că libertatea este mai eficientă decât dominația.

Am cam lungit această paranteză (pe care am scris-o cu font italic), dar vreau din tot sufletul să rețineți această proprietate fascinantă a numeroaselor ecuații polinomiale cu coeficienți întregi.



Să revenim atunci, după această paranteză, la rezolvarea ecuației noastre banale $2n^2-n-6=0$, pe care aș fi putut-o rezolva băbește cu delta și să mă scap repede de voi. Dar nu, eu am vrut să o rezolvăm mult mai elegant, mult mai eficient.

Nouă ne trebuie rădăcinile naturale ale ecuației $2n^2-n-6=0$. Că așa cere problema. Așadar, ne trebuie „fracțiile” care au la numitor numărul $1$. Așadar, vom căuta rădăcinile printre divizorii termenului liber, fără să ne mai pese de divizorii termenului dominant. Și, în plus, nu ne vom chinui să luăm în calcul și divizorii negativi ai termenului liber, din moment ce nouă ne trebuie doar rădăcinile naturale (care sunt, din start, pozitive).

Așadar, care sunt divizorii pozitivi ai termenului nostru liber? Termenul liber este $-6$. Divizorii pozitivi ai lui $-6$ sunt $1$, $2$, $3$ și $6$. Avem deci patru posibilități. Și abia acum începe adevărata rezolvare concretă a ecuației noastre.

Toate considerațiile noastre anterioare au fost doar teoretice. De-acum punem în practică șmecheria cu divizorii. Deci, avem cele patru posibilități, $1$, $2$, $3$ și $6$. Toată munca de rezolvare a problemei se reduce la simpla verificare a fiecăreia dintre cele patru posibilități. Verificăm care dintre ele satisfac ecuația $2n^2-n-6=0$.

Se vede că valorile mari nu o satisfac, deci nici $6$ nu satisface ecuația. De asemenea, $2\cdot 3^2-3-6$ nu este $0$. Așa că singurul divizor care satisface ecuația este $\color{red}{2}$. Acesta este numărul natural căutat.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.a

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. Calculați determinantul acestei matrice.




Determinantul unei matrice este un număr. Și este un număr tare important. Așa că ar cam fi frumos ca elevul să știe să calculeze măcar determinantul de ordinul doi (deci, al unei matrice cu două linii și două coloane) și de ordinul trei.


Există o mulțime de posibilități pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul trei, iar elevul chiar are de unde să aleagă. Se cunoaște bine de tot regula lui Sarrus, regula triunghiului (valabile pentru ordinul trei), precum și regula dezvoltării după elementele unei linii sau coloane (regulă care este valabilă de data aceasta pentru orice ordin).

Mai exact, la regula lui Sarrus copiem jos primele două linii ale determinantului sub a treia linie (sau copiem în dreapta primele două coloane)

$$\det A=\begin{vmatrix}
\color{magenta}{1}&1&\color{limegreen}{1}\\0&\color{magenta}{a}&a+1\\\color{limegreen}{2}&a+2&\color{magenta}{a+3}\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
1&1&1\\0&\,\,\,a\text{   }\,\,&\,\,a+1\\
\end{matrix}$$

și calculăm produsele de pe liniile oblice paralele cu diagonala principală (diagonala care pornește din stânga-sus și ajunge în dreapta-jos) pe care le adunăm, după care calculăm produsele de pe liniile oblice paralele cu diagonala secundară (diagonala care pornește din dreapta-sus și ajunge în stânga-jos) pe care le scădem.

Am obține atunci că $$\det A=a(a+3)+2(a+1)-2a-(a+2)(a+1).$$
Observați, deci, o groază de lucru.

Iar regula triunghiului este aceeași cu regula lui Sarrus, doar că se adresează celor care au imaginație mai bogată și care nu mai sunt nevoiți să scrie din nou efectiv primele două linii sub cea de-a treia, ci își imaginează ei cam ce ar trebui să înmulțească dacă ar avea deja copiate primele două linii. Se observă cu această ocazie că laturile mici ale triunghiurilor formate sunt paralele cu diagonala principală (la produsele ce trebuiesc adunate) și, respectiv, paralele cu diagonala secundară (la produsele care trebuiesc scăzute).

Așadar, nici cu regula triunghiului nu prea scăpăm de lucru.



Atunci, din acest noian de posibilități, elevul trebuie să aleagă una care îl duce cel mai repede la rezultat. Elevul atent va observa din timp că regula lui Sarrus sau cea a triunghiului implică, după cum s-a văzut mai sus, înmulțiri laborioase cu paranteze ce conțin $a+1$, $a+2$ și $a+3$. De aceea, el le va evita din start pentru că va simți din experiență că este o mare pierdere de vreme.



Apoi, elevul care are ceva cunoștințe în spate își va aminti că determinantul unei matrice nu se schimbă dacă „ne jucăm” cu liniile sau coloanele sale. Important este ca jocul nostru să respecte niște reguli simple. Astfel, determinantul nu se schimbă dacă în loc de una dintre liniile (sau coloanele) sale scriem o altă linie (coloană) pe care am obținut-o ca și o combinație liniară formată cu liniile (respectiv, coloanele) determinantului.

Spunem despre elementul $A$ că este o combinație liniară de elementele $\{a,\,b,\,c,\,\dots ,\,y,\,z\}$ dacă acel element poate fi scris în funcție de celelalte elemente ca un fel de polinom (fără puteri!), adică $$A=5a+9b-3c\dots+6y-8z.$$ Bineînțeles, am scris eu niște numere oarecare acolo, dar voi vă puteți gândi că acolo pot apărea orice numere dacă expresia este combinație liniară. Important este ca aceste numere să nu fie toate nule!

În baza acestei cunoștințe, elevul va ști că valoarea determinantului nu se modifică dacă va rescrie determinantul sub o altă formă. Așadar, experiența îi va spune să rescrie determinantul copiind primele două linii, dar în locul celei de-a treia linii scriind o altă linie care a rezultat scăzând din linia a treia dublul primei linii, acțiune pe care am notat-o mai jos simbolic cu $\color{blue}{L_3-2L_1}$.

Astfel, elevul va obține determinantul
$$\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\
\end{vmatrix}\begin{matrix}\color{blue}{L_3-2L_1}\\=\end{matrix}\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\2-\color{red}{2\cdot 1}&a+2-\color{red}{2\cdot 1}&a+3-\color{red}{2\cdot 1}\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\0&a&a+1\
\end{vmatrix}.$$



De aici încolo totul este boierie. Pentru că un asemenea determinant nu mai trebuie calculat, ci se vede de la o poștă cât este rezultatul. Mai exact, un determinant care are două linii (sau două coloane) egale este nul! Adică, este egal cu zero.

Așadar, am acum speranța că dacă veți mai întâlni la bac un asemenea determinant, îl veți putea calcula foarte repede cu ajutorul combinației liniare. Dar pentru aceasta, va trebui să nu vă grăbiți să vă aruncați imediat la calcule laborioase cu metoda lui Sarrus sau a triunghiului. Chiar dacă sunteți bucuroși că știți să calculați cumva determinantul, va trebui totuși să vă opriți tentația irezistibilă de a trece imediat la calcule și acordați-vă timp minții să observe dacă nu cumva jucându-vă cu o anumită combinație liniară puteți aduce determinantul la o formă mai simplă. Acest control este cu atât mai necesar, cu cât determinantul pare mai complex, conținând termeni mai lungi.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 6

Determinați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ știind că $AB=12$ și că unghiul $C$ are $\frac{\pi}{6}$ radiani.


În primul rând, trebuie să ne amintim rapid cam ce cunoștințe am învățat noi în legătură cu raza cercului circumscris. Ce relații matematice cunoașteți în legătură cu $R$ mare ($r$ mic fiind raza cercului mic, adică a cercului înscris în triunghi)?

Ar fi bine să vă amintiți teorema sinusurilor, că nu-i grea. Ea ne spune că pentru triunghiul oarecare albastru din figura de mai jos

și cercul său circumscris desenat cu roșu există următorul set de egalități
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$$

Acest set de egalități se numește „teorema sinusurilor”.

Dacă nu cunoașteți această teoremă la bac, ați încurcat-o! Pentru că nu văd pe unde v-ați mai putea scoate cămașa ca să rezolvați această minunăție de problemă. Dar și invers, dacă știți această teoremă ușor de reținut, atunci sunteți câștigați, căci aveți tot ce vă trebuie pentru a rezolva problema.



Problema noastră ne dă drept cunoscute pe $AB$ (deci pe $c$ mic) și unghiul $C$ mare și ne cere raza $R$ mare. Așadar, din teorema sinusurilor noi vom reține doar ceea ce implică aceste date, adică vom reține egalitatea
$$\frac{c}{\sin C}=2R.$$

Făcând înlocuirile, avem
$$\frac{12}{\sin\frac{\pi}{6}}=2R.$$

Dar cât este $\sin\frac{\pi}{6}$? Cum unghiul de $\pi$ în radiani este echivalent cu unghiul de $180$ de grade, rezultă că unghiul de $\frac{\pi}{6}$ este echivalent cu unghiul de $\frac{180}{6}$, deci cu $30$ de grade. Așadar, ne trebuie sinusul unghiului de $30$ de grade. Dar, din tabelul trigonometric

număr	0	1	2	3	4
gradele	0	30	45	60	90
sinusul=$\frac{\sqrt{\text{număr}}}{2}$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac 1 2$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$

noi știm astfel că $\sin 30=\frac{1}{2}$.

Revenind atunci la formula noastră de calculat,
$$\frac{12}{\sin\frac{\pi}{6}}=2R,$$
avem o fracție supra-etajată pe care o transformăm înmulțind cu răsturnata
$$2R=\frac{12}{\frac{1}{2}}=12\cdot \frac{2}{1}=24.$$

De aici rezultă apoi că
$$R=\frac{24}{2}=\color{red}{12}.$$



Adică, raza cercului circumscris triunghiului este tocmai egală cu latura $AB$. Asta mai înseamnă (ca exemplu, deci nu-i musai să mai adăugați asta la bac) că triunghiul $ABO$ este echilateral, $O$ fiind centrul cercului circumscris. Această adăugire are menirea să vă arate cam care ar fi fost metoda de rezolvare bazată pe noțiunea de „unghi la centru” și pe faptul că acest unghi la centru este dublu față de unghiul de pe cerc.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 5

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=3x+5$ și punctul $A(1,0)$. Găsiți ecuația paralelei duse prin $A$ la dreapta $d$.


Pentru a rezolva această problemă elevului trebuie să-i sară în minte o cunoștință indispensabilă: ecuația dreptei de pantă dată care trece printr-un punct dat. Fără această cunoștință, rezolvarea devine un chin și nu putem insista într-o asemenea direcție greșită. Dacă am continua să ne chinuim, în cel mai bun caz, am putea redescoperi această cunoștință elementară și indispensabilă.

Așadar, haideți să vedem despre ce cunoștință este vorba, mai concret. Deci, care este ecuația dreptei de pantă $m$ care trece prin punctul $A(x_0,y_0)$?

Iat-o: $y-y_0=m(x-x_0)$. Ea mai poate fi regăsită și sub forma echivalentă $$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m,$$ iar această ultimă formă ne aduce aminte de legătura cu derivata sau cu tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa $OX$. În ultimă instanță, panta este tocmai acest lucru: tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa absciselor.

De aici încolo nu ne mai trebuie altceva decât să facem înlocuirile. De fapt, pardon. Mai trebuie să știm ceva: că două drepte paralele au aceeași pantă! Evident, nu? Aaaa, și mai trebuie să știm că panta unei drepte dată sub forma $y=mx+n$ este tocmai coeficientul lui $x$. Mamăăăă, câte mai trebuie să știm!

Deci, o mică recapitulare. În problemă ni se dă o dreaptă tocmai sub forma minunată (i se mai spune „forma redusă”) pentru ecuația unei drepte $y=3x+5$. Deci, coeficientul lui $x$ este 3, deci panta acestei drepte este $m=3$. Și cum cunoaștem ecuația dreptei care trece printr-un punct $A(x_0, y_0)$ și are panta $m$, ne rămâne să facem înlocuirile.

Așadar, ecuația dreptei căutate este $y-0=3(x-1)$, adică $\color{red}{y=3x-3}$.

Putem face și o probă. Să vedem dacă punctul $A(1,0)$ aparține acestei drepte. Dacă în ecuația dreptei unde vedem $x$ punem $1$ și unde vedem $y$ punem $0$, trebuie să obținem un adevăr. Ian să vedem. $0=3\cdot 1-3$. Adevărat? Adevărat! Și panta este aceeași cu a dreptei date, căci coeficientul lui $x$ este același în ambele cazuri, deci dreptele sunt paralele.

Observați că ecuația dreptei căutate nu a depins de $5$.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 4

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 13.


Din punctul de vedere al cunoștințelor pe care le-ați acumulat în liceu, probabilitatea este un număr mai mic sau egal cu $1$ (niciodată supraunitar!) dat de o fracție care conține la numărător (sus) un număr mai mic numit „numărul cazurilor favorabile”, iar la numitor numărul maxim, numit „numărul cazurilor posibile”.

Deci, $P=\frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$.

Ne mai rămâne să determinăm concret aceste numere care apar în expresia probabilității.

Începem cu „mulțimea numerelor naturale de două cifre”. Câte asemenea numere naturale sunt? Asta-i întrebarea inițială. Procedăm sistematic. Numere naturale de două cifre care să înceapă cu $0$ nu avem. Așadar, avem doar numere naturale care încep cu cifrele $1,\,2,\,3,\dots,\,9$. Deci, în locul primei cifre, care este cifra zecilor, se pot afla doar 9 cifre, căci cifra $0$ nu se poate afla acolo. În schimb, în locul cifrei unităților se poate afla și cifra $0$, în total zece cifre. Deci, pentru fiecare cifră a zecilor, avem câte zece numere posibile corespunzătoare. Și cum sunt în total 9 cifre în locul cifrei zecilor, obținem că există în total $9\cdot 10=\color{red}{90}$ posibilități în care putem construi numere naturale de două cifre. Astfel, numitorul probabilității este determinat.

Să trecem acum la partea care este, de regulă, ceva mai grea, și anume la determinarea numărătorului probabilității. Trebuie să căutăm câte numere de două cifre divizibile cu 13 sunt. Se pare că, decât să ne chinuim cu cine știe ce metode generale pentru a afla multiplii lui 13, este mai ușor să enumerăm aceste numere, căci nu sunt multe. Sunt tocmai multiplii lui 13 care nu depășesc suta. Așadar, multiplii lui 13 care sunt mai mici decât 100 sunt $13,\,26,\,39,\,52,\,65,\,78\text{ și }91$. În total, avem $\color{red}{7}$ asemenea multipli.

Atunci, probabilitatea căutată va fi $$\color{red}{P=\frac{7}{90}}.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 3

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $4^x-3\cdot 2^x+2=0$.


Nu știm să rezolvăm ecuații exponențiale în general, așa că trebuie să facem un artificiu, o șmecherie, prin care să transformăm ecuația exponențială într-una cu care suntem familiarizați. Și care este cea mai uzuală ecuație pe care știm s-o rezolvăm? Desigur, ecuația de gradul doi. Așadar, haideți să vedem dacă nu cumva ecuația noastră exponențială poate deveni o ecuație de gradul doi.

Înainte de toate, ca să scăpăm de exponentul acela care ne încurcă, facem substituția $$t=2^x$$. Așadar, ecuația noastră devine $4^x-3t+2=0$.

Acum ne mai încurcă $4^x$. Pentru aceasta ne mai trebuie un pas în care să ne amintim câteva formule de calcul cu puteri. Avem
$$4^x=(2^2)^x=2^{2\cdot x}.$$

Cum înmulțirea de la exponent este comutativă, obținem
$$4^x=(2^2)^x=2^\color{blue}{2\cdot x}=2^\color{blue}{x\cdot 2}=(2^x)^2=t^2.$$

Așadar, ecuația noastră exponențială devine în totalitate ecuație de gradul doi
$$t^2-3t+2=0.$$

Aceasta este una dintre cele mai cunoscute ecuații de gradul doi și sunt convins că îi puteți calcula ușor și repede soluțiile, eventual cu ajutorul relațiilor lui Viète sau, mai primitiv, cu delta. Obținem atunci $t_1=1$ și $t_2=2$.

Dar nouă ne trebuiesc valorile pentru $x$, nu pentru $t$. Unii elevi pur și simplu uită să termine problema, având impresia că după rezolvarea ecuației în $t$ au terminat întreaga rezolvare. Ei bine, mai trebuie să găsim valorile corespunzătoare pentru $x$ din relația $2^x=t$.

Avem atunci și pentru $x$ două valori. Prima valoare a lui $x$ este cea care corespunde primei valori a lui $t$. Deci, $2^{x_1}=t_1=1$. Dar, $2$ la ce putere ne dă $1$? Evident, la puterea $0$. Așadar, $\color{red}{x_1=0}$.

Pe $x_2$ îl găsim din relația $2^{x_2}=t_2=2$. Deci, $2$ la ce putere ne dă tot $2$? Evident, la puterea $1$. Astfel, obținem că $\color{red}{x_2=1}$.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 2

Arătați că $3(x_1+x_2)-4x_1x_2=3$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-5x+3=0$.


Ar fi inutil și am pierde timp prețios dacă ne-ar fi lene să gândim puțin și ne-am arunca direct în găsirea soluțiilor $x_1$ și $x_2$ cu metoda veche, aceea cu delta. Nu e cazul!

Ori de câte ori avem de calculat o expresie ce conține suma și produsul rădăcinilor, ne va sări mintea la RELAȚIILE LUI VIÈTE. Căci, atât suma, cât și produsul, constituie ambele relații ale lui Viète și le putem înlocui cu valorile coeficienților care apar în ecuație.

Mai exact,
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$
și
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$.

Așadar, $$\color{blue}{3(x_1+x_2)-4x_1x_2}=3\cdot 5-4\cdot 3=15-12=\color{red}{3},$$ așa cum trebuia să arătăm.








Dar, dacă totuși doriți să vedeți cum ar fi arătat soluțiile acestei ecuații, le putem obține cu delta. Astfel, $\Delta=25-12=13$. Acest $13$, nefiind un pătrat perfect, este deja suficient de urât încât să vă pună pe gânduri cum că nu prea sunteți pe drumul bun spre rezolvarea problemei în maniera cea mai bine punctată.

Am avea mai departe $x_1=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$ și $x_2=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$.

Adunând aceste soluții vă va rămâne $5$, iar înmulțindu-le și folosindu-vă eventual de formula de calcul prescurtat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, unde $a=\frac{5}{2}$, iar $b=\frac{\sqrt{13}}{2}$, veți obține $\frac{25-13}{4}=3$. Adică aceleași rezultate pe care le-am obținut mai sus mult mai simplu cu relațiile lui Viète.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 1

Fie numărul complex $z=1+i$. Să se calculeze $(z-1)^2$.





Metoda corectă (deci, și rapidă) de rezolvare este simpla înlocuire a lui $z$. Adică,

$(z-1)^2=[(1+i)-1]^2=(1+i-1)^2=i^2=\color{red}{-1}$.




O metodă mult mai laborioasă și nerecomandată ar fi să ridicăm întâi la pătrat binomul $(z-1)$ cu ajutorul formulei de calcul prescurtat $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ și abia apoi să facem înlocuirile lui $z$ cu $1+i$. Desigur, am avea mult mai mult de lucru.

$(z-1)^2=z^2-2z+1=(1+i)^2-2(1+i)+1=1^2+2i+i^2-2-2i+1=i^2=\color{red}{-1}$.

Un canal pe YouTube cu Matematică pentru începători

Am creat și pe YouTube un canal în care voi distribui scurte filmulețe cu noțiuni de matematică pe înțelesul începătorilor.

Primul filmuleț pe care l-am postat acolo este tocmai despre acest blog.

,

iar al doilea este

,

despre cum puteți rezolva o ecuație de gradul doi folosindu-vă doar de relațiile lui Viete.


Vizionare plăcută!

Numerele imaginare nu pot fi numere reale

Când m-am lovit pentru prima dată de această noțiune șocantă de „număr complex” am gândit ceva de genul: „Altă noțiune, alt număr? Oare nu putem găsi un număr real care să ne scutească de necesitatea numerelor complexe?”

Profesorul meu de matematică de la liceu, dragul domn Bohler, mi-a clarificat repede această dilemă, pe măsură ce lecția se desfășura. Acest profesor ne-a pus în față problema: „cât este radical din minus unu?” și ne-a dat o pauză de meditație pe care tot el a întrerupt-o continuând să răspândească în clasă undele sonore minunate provenite de la dragile lui corzi vocale.

Ei bine, cât credeți că este radical din minus unu?

Știți că radical din 16 este 4 sau că radical din 25 este 5 pentru că $4\cdot 4=4^2=16$ și, respectiv, $5\cdot 5=5^2=25$. Atunci cât o fi radical din minus unu? Să fie oare 1? Păi, facem proba. Dacă radical din -1 ar fi fost 1, atunci ar fi trebuit ca $1\cdot 1$ să fie -1. Dar, desigur, $1\cdot 1$ nu este -1, ci este 1.

Să fie oare atunci -1? Presupunem că da. Facem atunci iar proba. Dacă radical din -1 ar fi -1, atunci ar trebui ca $(-1)\cdot(-1)$ să ne dea $-1$. Dar, nici vorbă, $(-1)\cdot(-1)$ nu ne dă $-1$, ci ne dă $+1$, căci minus ori minus este plus.

Atunci ce ne facem? Abandonăm studiul? Abandonăm lupta? Lupta cu ce? Ce căutăm, de fapt? Căutăm să calculăm cât este $\sqrt{-1}$. Cum ar trebui să arate acest calcul? Ce rezultat am vrea să ne dea el? Un număr real? Ceva de genul lui 1, 3 sau 8,5?

Ei bine, nu. Nu vom reuși niciodată să găsim un număr real care înmulțit cu el însuși să ne dea $-1$! Pentru că pătratul oricărui număr real (chiar dacă acesta este negativ!) este un număr real pozitiv, nu unul negativ. Riguros spus, $a\cdot a=a^2\ge 0$, orice număr real ați pune în locul lui $a$.

Așadar, trebuie să căutăm altă soluție. Ar fi o pierdere de vreme să ne mai chinuim să găsim vreun număr real care ridicat la pătrat să ne dea -1. Soluția găsită s-a conturat începând cu marii matematicieni care se chinuiau să rezolve ecuațiile de grad mai mare sau egal cu 2. Astăzi s-a ajuns să considerăm că radical din minus unu este o literă, litera i, căreia să-i dăm noi semnificația lui radical din minus unu.

Așadar, riguros, avem $\sqrt{-1}=i$, ceea ce mai înseamnă că $i\cdot i=i^2=-1$.

Poate că extratereștrii folosesc alt semn pentru radical din minus unu, dar noi ne-am obișnuit să îl folosim pe acesta. Uneori mai folosim și litera j, atunci când există pericolul să confundăm litera i cu altceva. Important este să ne înțelegem toți între noi să folosim același semn pentru radical din minus unu.

Această înțelegere, această convenție, se transmite din generație în generație, de la profesor la elev și a ajuns așa până la noi.

Bun. Acum, că avem o soluție de a „calcula” cât este radical din -1, putem afla și cât este radical din -16, de exemplu. Avem așa
$$\sqrt{-16}=\sqrt{16\cdot(-1)}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{-1}=4\cdot i=4i.$$

Observați, deci, că dacă cunoaștem cât este radical din minus unu, putem cunoaște ușor cât este radical din orice număr negativ prin simpla alăturare a literei i la radicalul numărului pozitiv.

Numerele de forma 4i, 35i sau -20i sau $\frac{\pi}{2}i$ se numesc „numere imaginare” pentru că ele nu sunt numere reale, din moment ce au în componența lor litera i care este, prin convenție, radical din minus unu.

De la numerele imaginare până la numerele complexe nu mai e decât un pas. Mai exact, numărul complex este suma dintre un număr real și un număr imaginar. Numărul real din această sumă se numește „partea reală” a numărului complex, iar numărul imaginar din această sumă se numește „partea imaginară” a numărului complex dat.

Observați de aici că numărul complex este mai cuprinzător decât un număr real, căci orice număr real poate fi considerat un număr complex a cărui parte imaginară este nulă.


Pe mine m-a liniștit astfel profesorul Bohler. Oare voi sunteți mai liniștiți acum?

O integrală buclucașă

Calculați
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}.$$

În tabelele obișnuite cu integrale (pe care mă gândesc eu că voi v-ați apucat deja să le cam învățați pe de rost) nu veți găsi această integrală, așa că ea va trebui calculată. Apoi, după ce o calculăm, dacă vreți voi s-o introduceți într-un tabel al vostru personal, eu n-am nimic împotrivă.

Bun. Deci, ce avem de făcut pentru a calcula o integrală? Scopul este să ne apropiem cât mai mult de o integrală simplă sau de mai multe integrale simple. Integralele simple sunt cele pe care le găsim în tabelul obișnuit.

Așadar, ce integrale asemănătoare găsim în tabelul obișnuit? Bineînțeles, nu ne vom uita în tabel după integrale de altă formă decât integrala noastră, ci vom căuta integrale care să aibă ceva radical în ele. Noi n-avem treabă, de exemplu, cu $\int e^x dx$.

După ce ne holbăm ceva mai lung la tabel, constatăm că există o integrală ciudată care are radical în ea și care ne spune următoarele
$$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}=\ln{|x+\sqrt{x^2-9}|}.$$

Mamăăă, da' ce mai seamănă cele două integrale! Dar, ia stați! Nu cumva a greșit autorul? Nu cumva radicalul acela din tabel ar fi trebuit să nu fie la numitor? Nici vorbă! Stați liniștiți, că e bine. Radicalul din tabel e la numitor, iar radicalul din integrala noastră este, din păcate, „la numărător”, căci poate fi scris și el ca o fracție cu numitorul egal cu $1$
$$\frac{\sqrt{x^2-9}}{1}.$$

Și atunci, dată fiind situația, ce-i de făcut? Am putea să calculăm integrala noastră cu ajutorul altei integrale ce are radicalul la numitor? Ce ziceți voi? Hmmm...

Păi, ia să vedem ce putem face. Ne trebuie puțină artă. Trebuie să facem o mică șmecherie prin care să ducem radicalul acela la numitor. Urmăriți-mă cu atenție.

Oare sunteți de acord că
$$\sqrt a=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt a}{\sqrt a}\,\,?$$

Păi, de ce n-ați fi de acord? Doar putem simplifica unul dintre radicalii de la numărător cu radicalul de la numitor și ne rămâne celălalt radical dintre cei doi aflați la numărător.

Bun. Acum, dacă sunteți de acord cu șmecheria noastră, mergem mai departe. Ia priviți mai bine numărătorul. Dacă avem doi radicali din același lucru, atunci radicalul dispare. Este un fel de ciocnire de radicali, ciocnire ce duce la dispariția lor. Așadar, avem
$$\sqrt a\cdot\sqrt a=a.$$
Prin urmare,
$$\sqrt a=\frac{a}{\sqrt a}.$$
Țineți minte chestia asta! Puteți aduce radicalul la numitor atunci când aveți nevoie de asta. Este, de data aceasta, un fel de raționalizare a numărătorului.

Înseamnă că integrala noastră începe să aibă radical la numitor și ne apropiem de integrala din tabel.
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2-9}}dx.$$
Yuppiiiii!

Hehe, ne bucurăm noi, dar ne bucurăm prea devreme, căci mai avem un drum tare lung de parcurs până la rezolvarea completă. Integrala din tabel cu radical la numitor nu are nimic la numărător. Pardon, are doar $1$ la numărător, dar nicidecum $x^2-9$. Așa că de-acum va trebui să vedem cum ne putem descurca cu numărătorul ca să îl vedem mai simplu.

O altă mare filozofie este să despărțim fracția în două fracții mai simple. Noi știm de la fracțiile care au același numitor că $$\frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}.$$ Așadar, obținem
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2-9}}dx=\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}-\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Acum ne vom folosi de $\int(f+g)=\int f+\int g$, proprietate pe care o regăsiți în tabelul cu integrale. Așadar, desfacem integrala noastră complicată în două integrale mai simple. Adică
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Super! Am reușit să desfacem o integrală urâtă în două integrale ce promit să fie mai simple. Ok. Să ne ocupăm atunci de prima integrală, cea roșie. O luăm separat și vedem ce putem face cu ea. Așadar, avem de calculat integrala
$$\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
La această integrală ne enervează puțin numărătorul $x^2$ și ca să ne calmăm puțin vom încerca să-l facem mai simplu, descompunându-l pe $x^2$ în $x\cdot x$.  Atunci integrala va deveni
$$\int\color{red}{\frac{x\cdot x}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Și cum
$$\frac{a\cdot b}{c}=a\frac{b}{c},$$
integrala devine
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Desigur, n-am rezolvat mare lucru că am scris integrala astfel decât dacă ne gândim să o calculăm prin părți. Integrarea prin părți ne spune că dacă descoperim sub integrală un produs de două funcții, dintre care una este o derivată, atunci suntem boieri, căci avem formula
$$\int f\cdot g^\prime=f\cdot g-\int f^\prime\cdot g.$$

Așadar, pentru a calcula integrala
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx,$$
integrală ce constă deja dintr-un produs de două funcții, $x$ și $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ trebuie să mai descoperim acolo o derivată.

Așadar, oare pe care dintre cele două funcții $x$ și $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ am putea s-o scriem ca fiind derivata altei funcții? Să scriem oare $x=\left(\frac{x^2}{2}\right)^\prime$? Aoleu! Nici vorbă! Pentru că dacă am face prostia asta, atunci a doua integrală ar presupune să derivăm cealaltă funcție $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ și ar ieși un talmeș-balmeș.

Așa că mai bine ne chinuim să mergem pe cealaltă pistă. Adică, să căutăm o funcție a cărei derivată să ne dea tocmai $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$. Dar oare există așa ceva? Există oare o funcție care derivată să ne dea $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$?

Din fericire, există! Derivând radicalul de la numitor, adică $(\sqrt{x^2-9})^\prime$, obținem tocmai funcția dorită, adică $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$. Cum așa? Păi n-avem decât să folosim formula
$$(\sqrt u)^\prime=\frac{u^\prime}{2\sqrt u}.$$

Și la noi $u=x^2-9$. Atunci $u^\prime=(x^2-9)^\prime=(x^2)^\prime-9^\prime=2x-0=2x$. Așadar,
$$(\sqrt{x^2-9})^\prime=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}.$$

Am obținut ceva remarcabil! Am obținut acea funcție care derivată să ne dea $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$. Acum ne putem reculege puțin, că ne-am cam împrăștiat. Ia să vedem. Avem de calculat integrala
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Și am descoperit că $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ poate fi scrisă ca $(\sqrt{x^2-9})^\prime$. Așadar, integrala devine acum
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx=\int\color{red}{x\cdot(\sqrt{x^2-9})^\prime}dx.$$
Calculând prin părți, obținem că
$$\int\color{red}{x\cdot(\sqrt{x^2-9})^\prime}dx=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int x^\prime\cdot\sqrt{x^2-9}dx.$$
Dar $x^\prime=1$. Așadar, obținem ceva interesant. Am obținut că integrala roșie, de la care am pornit după desfacerea integralei inițiale, este
$$\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\sqrt{x^2-9}dx.$$



Acum ne întoarcem la integrala noastră inițială (cea verde) și vedem ce am obținut. Țineți minte că am avut
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Și cum noi am calculat deja integrala roșie, putem scrie
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\sqrt{x^2-9}dx-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Dar, vai, integrala din mijloc este tocmai integrala verde! Adică
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Și atunci, ce ziceți, am putea să ducem integrala verde din dreapta în partea stângă, lângă sora ei geamănă? Absolut. Și ducând-o în stânga trebuie să îi schimbăm semnul, din minus în plus. Adică obținem
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}+\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Dar adunând același lucru de două ori, obținem dublul acelui lucru. Mai exact
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}+\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=2\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}.$$

Așadar, din toată nebunia asta obținem
$$2\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Off! Haideți să scăpăm odată și de integrala asta albastră care ne tot încurcă! Au! Dar integrala albastră este tocmai integrala din tabel, cea cu radicalul la numitor, doar că avem sus un $9$ pe care îl putem scoate în fața integrale, $9$ fiind o constantă. Așadar
$$\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx=9\ln|x+\sqrt{x^2-9}|.$$
Am scăpat, deci și de integrala albastră. Adică, putem scrie
$$2\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-9\ln|x+\sqrt{x^2-9}|+C.$$

Ce? Cum? Am terminat? Am găsit integrala verde din enunț? Aproape. Ne mai încurcă $2$-ul acela din fața ei. Atunci împărțim toată egalitatea precedentă cu $2$ și obținem în final
$$\large{\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{x^2-9}-\frac{9}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-9}|+C}.$$

Mamma mia! Acuma văd cât v-am chinuit pentru această integrală! Păi, iertați-mă, dar n-am găsit o cale mai ușoară...

Suma puterilor rădăcinilor

Dat fiind un polinom de gradul al doilea $f(X)=aX^2+bX+c$ și rădăcinile sale $x_1$ și $x_2$, am văzut că relațiile lui Viète corespunzătoare sunt
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
și
$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$$

Acum, să presupunem că într-o anumită problemă vi se cere să calculați expresia
$$S=x_1^2+x_2^2.$$

Aveți două metode pentru asta. Prima metodă pornește de la expresia $(x_1+x_2)^2$. Haideți să vedem la ce mă refer. Facem următorul calcul, folosindu-ne de formula de calcul prescurtat $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=\color{red}{x_1^2+x_2^2}+2x_1x_2.$$
Inversăm egalitatea și obținem
$$\color{red}{x_1^2+x_2^2}+2x_1x_2=(x_1+x_2)^2.$$
Acum aruncăm în dreapta egalității (desigur, cu semn schimbat) termenul $2x_1x_2$ și obținem
$$\color{red}{x_1^2+x_2^2}=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$
Am putea să ne oprim aici, căci aceasta este formula pe care trebuie să o rețineți. Punând indicii corespunzători, această formulă ar mai putea fi scrisă
$$\large{\color{red}{S_2=S_1^2-2P}},$$
unde am pus $S_2=x_1^2+x_2^2$, $S_1=x_1+x_2$ și $P=x_1x_2$.

Acum, dacă ne trebuie și valorile concrete, ne uităm puțin mai sus la relațiile lui Viète. Folosindu-le, obținem
$$\color{red}{x_1^2+x_2^2}=\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}.$$

Dar vreau acum să vă arăt o metodă mai interesantă pentru a obține această relație. Este mai interesantă pentru că este mai simplă și mai elegantă, simplitate și eleganță care vor apărea mult mai evidente în cazul polinomului de gradul trei.

Pornim de la forma generală a ecuației de gradul doi $ax^2+bx+c=0$, o împărțim cu $a$ și o scriem
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$
Acum aruncăm în dreapta toți termenii diferiți de $x^2$ și obținem
$$x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}.$$
Această egalitate este valabilă pentru ambele rădăcini $x_1$ și $x_2$. Așadar, putem scrie două relații
$$x_1^2=-\frac{b}{a}x_1-\frac{c}{a}$$
$$x_2^2=-\frac{b}{a}x_2-\frac{c}{a}.$$
Acum nu ne rămâne decât să adunăm cele două egalități, termen cu termen, și vom obține
$$\color{blue}{x_1^2+x_2^2}=-\frac{b}{a}(x_1+x_2)-2\frac{c}{a}.$$
Cum $(x_1+x_2)=-\frac{b}{a}$, obținem
$$\color{blue}{x_1^2+x_2^2}=-\frac{b}{a}\left(-\frac{b}{a}\right)-2\frac{c}{a},$$
rezultat echivalent, desigur, cu cel precedent. Așa-i că a doua metodă este mai simplă decât prima?





Cum, nu v-am convins încă? Hmmm... Noa, nu-i bai, atunci am să vă arăt cât de utilă e a doua metodă pentru relațiile lui Viète de ordinul trei. Doar că aici vom aborda numai această a doua metodă pentru suma $S_3=x_1^3+x_2^3+x_3^3$, căci prima e urâtă și grea.

Dar, pentru aceasta, înainte trebuie să scriem suma $S_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2$, căci vom avea nevoie de ea. Nu mai reproducem raționamentul de mai sus pe care l-am construit pentru a calcula suma pătratelor rădăcinilor polinomului de gradul doi, care ar consta aici în ridicarea trinomului la pătrat, și vă asigur că putem scrie în mod analog
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).$$
Folosind relațiile lui Viète de ordinul trei, înlocuim expresiile corespunzătoare și obținem
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a},$$
complet analog cazului cu polinomul de gradul doi.

Acum putem folosi metoda elegantă pentru a calcula suma $x_1^3+x_2^3+x_3^3$. Vă amintiți că această metodă presupune să scriem ecuația (de data aceasta, de gradul trei, nu doi) $ax^3+bx^2+cx+d=0$, s-o împărțim cu $a$ și să aruncăm în dreapta termenii diferiți de $x^3$. Așadar, avem
$$x^3=-\frac{b}{a}x^2-\frac{c}{a}x-\frac{d}{a}.$$
Acum, înlocuim $x$ cu toate cele trei rădăcini și avem trei egalități
$$x_1^3=-\frac{b}{a}x_1^2-\frac{c}{a}x_1-\frac{d}{a},$$
$$x_2^3=-\frac{b}{a}x_2^2-\frac{c}{a}x_2-\frac{d}{a}$$
și
$$x_3^3=-\frac{b}{a}x_3^2-\frac{c}{a}x_3-\frac{d}{a}.$$

Cum nouă ne trebuie suma $x_1^3+x_2^3+x_3^3$, nu trebuie decât să adunăm cele trei egalități precedente termen cu termen. Deci, adunând și dând apoi factor comun, obținem
$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=-\frac{b}{a}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-\frac{c}{a}(x_1+x_2+x_3)-3\frac{d}{a}.$$

Înlocuind acum pe $(x_1^2+x_2^2+x_3^2)$ cu $\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\right)$ și pe $(x_1+x_2+x_3)$ cu $-\frac{b}{a}$, obținem
$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=-\frac{b}{a}\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\right)+\frac{c}{a}\frac{b}{a}-3\frac{d}{a}.$$

În final, desfacem parantezele și adunăm termenii asemenea. Și obținem bijuteria
$$\large{\color{limegreen}{x_1^3+x_2^3+x_3^3=-\frac{b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}-\frac{3d}{a}}}.$$

Vă ordon să vă amintiți aceste lucruri la bac!

Relațiile lui Viète de ordinul trei

Am văzut că relațiile lui Viète de ordinul doi reprezintă o legătură minunată între coeficienții unui polinom de gradul doi și rădăcinile acestuia.

Voi arăta în acest articol că o asemenea legătură există nu doar pentru polinoamele de gradul doi, ci și pentru cele de gradul trei. Dar calea prin care voi arăta aceasta nu va mai fi aceeași ca pentru polinomul de gradul doi, ci puțin diferită.

Să ne înțelegem. Dacă vrem să găsim o legătură între rădăcinile unui polinom și coeficienții acelui polinom, va trebui să găsim o egalitate între polinomul scris într-o anumită formă care se folosește de rădăcini și același polinom scris într-o altă formă care se folosește de coeficienți.

Haideți atunci să ne ocupăm întâi de partea din stânga a egalității, deci de partea care se folosește de rădăcini. Un polinom de gradul trei, care, în forma lui cea mai generală este $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, ale cărui rădăcini sunt $x_1$, $x_2$ și $x_3$, poate fi scris ca un produs de forma: $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$. Așadar, partea din stânga a egalității pe care o vom scrie este tocmai
$$\color{red}{a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}.$$

Dar partea din dreapta este partea care se folosește de coeficienți, adică tocmai forma generală a polinomului dat. Așadar, partea din dreapta va fi
$$\color{blue}{ax^3+bx^2+cx+d}.$$

Așadar, trebuie să avem
$$\color{red}{a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}=\color{blue}{ax^3+bx^2+cx+d}.$$

În această egalitate se ascunde esența relațiilor lui Viète de ordinul trei. Căci, putem duce mai departe raționamentul și vor reieși ca prin minune aceste relații. Pentru aceasta este suficient să desfacem parantezele care apar în partea stângă, ca să vedem ce va rezulta.

Atunci, desfacem întâi primele două paranteze și vom obține
$$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3).$$

Mai facem apoi un pas și înmulțim treptat paranteza dreaptă $[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]$ cu $(x-x_3)$, după care, dând factorii comuni corespunzători, vom obține următorul șir de egalități
$$\begin{array}a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3)=\\
=a[x^3-(x_1+x_2)x^2+x_1x_2x-x_3x^2+(x_1+x_2)x_3x-x_1x_2x_3]=\\
=a[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3].
\end{array}$$

Așadar, partea din stânga egalității este
$$\color{red}{a[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3]}.$$

La partea din dreapta egalității ne mai rămâne să scoatem factor forțat pe $a$ ($a$ este, prin definiție, nenul, altfel polinomul nu ar mai fi de gradul trei, ci ar fi de gradul doi). Astfel, vom obține ceva asemănător pentru o comparare mai ușoară a celor două părți ale egalității. Așadar, avem deci în partea dreaptă
$$\color{blue}{a\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\right)}.$$

Cum partea roșie este egală cu partea albastră, înseamnă că avem:
$$\color{red}{a[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3]}=\\
=\color{blue}{a\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\right)}.$$

Acum observăm că această egalitate poate fi împărțită cu $a$ și vom obține o formă mai aerisită
$$\color{red}{x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3}=\\
=\color{blue}{x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}}.$$

Ba chiar mai putem scădea din această egalitate și termenul inutil $x^3$ care se află în ambele părți. Prin aceasta vom obține forma remarcabilă:
$$\color{red}{-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3}=\color{blue}{\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}}.$$

Acum aș dori să priviți mai lung rezultatul obținut... Avem în stânga un polinom de gradul doi, iar în dreapta tot un polinom de gradul doi. Iar egalitatea ne obligă să identificăm cele două polinoame. Dar când sunt egale două polinoame?

Păi, din moment ce necunoscuta este aceeași, înseamnă că singurele lucruri care fac deosebirea între două polinoame sunt coeficienții acestora. Prin urmare, în cazul nostru, coeficienții corespunzători ai celor două polinoame de gradul doi trebuie să fie egali între ei. Asta înseamnă că tot ce este în fața lui $x^2$ din stânga este egal cu ceea ce este în fața lui $x^2$ din dreapta. De asemenea, tot ce este în fața lui $x$ în stânga este egal cu ceea ce este în fața lui $x$ în dreapta și, în fine, tot ce este fără $x$ (deci termen liber) în stânga este egal cu ceea ce este fără $x$ în dreapta.

Ei bine, această egalitate a coeficienților reprezintă tocmai relațiile lui Viète de ordinul trei! Așadar, relațiile lui Viète de ordinul trei sunt date de următorul sistem minunat de trei egalități:
$$\large{\begin{array}{r c l}\\
\color{red}{-(x_1+x_2+x_3)}&=&\color{blue}{\frac{b}{a}}\\
\color{red}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}&=&\color{blue}{\frac{c}{a}}\\
\color{red}{-x_1x_2x_3}&=&\color{blue}{\frac{d}{a}}.
\end{array}}$$

Acestea sunt minunatele relații de ordinul trei ale scumpului Viète. De regulă, ele nu sunt lăsate în forma lor naturală în care au fost găsite, ci se prezintă sub forma în care minusul apare în partea dreaptă, nu în partea stângă. Așadar, ele mai pot fi scrise ca

$$\large{\begin{array}{r c r}\\
\color{red}{x_1+x_2+x_3}&=&\color{blue}{-\frac{b}{a}}\\
\color{red}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}&=&\color{blue}{\frac{c}{a}}\\
\color{red}{x_1x_2x_3}&=&\color{blue}{-\frac{d}{a}}
\end{array}}$$

Acestea sunt relațiile formidabile care fac legătura între rădăcinile unui polinom de gradul trei și coeficienții săi. Veți avea nevoie de ele pentru bac.

O mare șmecherie pentru limite

În perioada aceasta mulți elevi de clasa a XI-a învață despre limite. Așa că m-am gândit că ar fi binevenit acest articol acum.

Există o serie de limite fundamentale pe care trebuie să le cunoască un elev de clasa a XI-a. Ele sunt fundamentale, deoarece o mulțime de alte limite pot fi calculate dacă porniți de la limitele fundamentale.


Iată un tabel cu câteva dintre aceste limite fundamentale:

$$\begin{array}{| c | c |}

\hline
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1&\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1\\\hline
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1&\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1\\\hline
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1&\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\\\hline

\end{array}.$$

Observați că toate aceste limite tind la 0, au numitorul $x$ și au ca rezultat 1. Deci, am putea scrie toate aceste limite drept una singură, căci doar numărătorul lor diferă

$$\lim_{\color{red}{x\to 0}}\frac{\color{blue}{\sin x}\text{ sau }\color{blue}{\arcsin x}\text{ sau }\color{blue}{\tan x}\text{ sau }\color{blue}{\arctan x}\text{ sau }\color{blue}{\ln(1+x)}\text{ sau }\color{blue}{e^x-1}}{\color{green}{x}}=\color{magenta}{1}.$$

Altfel spus, la limită spre zero, toate funcțiile albastre de la numărător devin egale între ele și egale cu numitorul, adică cu $x$. Asta înseamnă că tot același rezultat vom obține și dacă vom face limita raportului dintre două asemenea funcții albastre. Adică,

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\arcsin x}=1$$

sau 

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{e^x-1}=1.$$

Desigur, nimeni n-o să vă ceară să calculați limite atât de simple pe care le puteți regăsi în tabele, ci o să vă ceară limite puțin mai complicate, pe care să le puteți calcula folosindu-vă de aceste limite. 

De exemplu, poate vi se va cere să calculați limita

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{2x}.$$

Credeți că va fi foarte complicată această limită, dacă ea nu se află în tabel? Nici vorbă. N-avem decât să păcălim limita, „mințind” că numitorul ei este, de fapt, cel din tabel, după care să ne cerem iertare pentru minciuna făcută și să-l punem frumos înapoi la numărătorul unei fracții următoare ca să se simplifice. Adică, vom face

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}\cdot\frac{x}{2x}.$$

Acum știm că în loc de prima fracție putem pune 1 și ne rămâne să calculăm limita

$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{2x}.$$

Dar această ultimă limită este simplă, căci simplificăm $x$-ul și rămâne $\frac{1}{2}$. Așadar, limita dată devine

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{2x}=\color{red}{\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}}\cdot\frac{x}{2x}=\color{red}{1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

În limita precedentă am diversificat numitorul, înlocuindu-l pe $x$ din tabel cu $2x$. Să vedem acum în ce mod putem calcula o limită căreia i-am diversificat numărătorul. Să zicem că ni se dă să calculăm limita

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{x}.$$

Mințim și de data asta, deși minciuna este detestabilă :) . Mințim că și la numitor avem $7x$. Așadar

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{x}=\color{red}{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{7x}}\cdot\frac{7x}{x}=\color{red}{1}\cdot 7=7.$$

Desigur, am putea să mai inventăm niște limite și mai ciudate, care pot fi însă calculate cu tabelul de mai sus. De exemplu, am putea primi o limită de genul

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2+x)}{3x},$$

limită la care este denaturat față de tabel atât numărătorul, cât și numitorul. Cu toate acestea, o minciunică ne salvează și de data asta. Facem

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2+x)}{3x}=\color{red}{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2+x)}{x^2+x}}\cdot\frac{x^2+x}{3x}=\color{red}{1}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x^2+x}{3x}.$$

Ultima limită presupunem că știți să o calculați și nu insistăm acum asupra ei. Deși aveți dreptul să nu știți s-o calculați. Doar că eu vreau să scot acum în evidență următoarea mare șmecherie: dacă aveți de calculat o limită de forma

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ceva)}{altceva},$$

atunci dispare sinusul!

Dar, mare atenție: acest lucru este valabil dacă $ceva$ și $altceva$ sunt egale cu 0 atunci când $x$ este egalat cu 0.

Și, desigur, această mare șmecherie este valabilă pentru toate  limitele din tabel, nu doar pentru limita cu sinus, adică dispar toate celelalte lucruri inutile și rămâne doar fracția dintre $ceva$ și $altceva$. Așadar, atunci când nu doar $x\to 0$, ci și $ceva\to 0$ și $altceva\to 0$, atunci avem de exemplu,

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+ceva)}{altceva}=\lim_{x\to 0}\frac{ceva}{altceva}.$$

Generalizare

Suntem acum în măsură să scriem mai elegant și mai general tabelul de mai sus. Tabel valabil dacă avem îndeplinită condiția de bază: 

$$\color{red}{\lim_{x\to l}f(x)=\lim_{x\to l}g(x)}=\large{\color{blue}{0}}.$$

Observați că $x$ nu trebuie să tindă neapărat la 0, ci tinde la un număr oarecare $l$, însă $f$ și $g$ trebuie să tindă la 0 atunci când $x$ tinde la acel număr $l$. 

În aceste condiții avem valabil tabelul

$$\begin{array}{| c | c |}

\hline
\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\sin\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}&\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\arcsin\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}\\\hline
\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\tan\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}&\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\arctan\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}\\\hline
\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\ln[1+\color{blue}{f(x)}]}{\color{green}{g(x)}}&\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{e^{\color{blue}{f(x)}}-1}{\color{green}{g(x)}}\\\hline

\end{array}=\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}.$$

Acest tabel este cel mai important lucru pe care vi l-am spus în acest articol. El vă spune că dacă întâlniți limite de această formă (și numai atunci!), puteți arunca la gunoi termenii care vă încurcă și lăsați doar fracția dintre $f$ și $g$.

Dar mai vreau să vă povestesc puțin înainte de final despre încă două limite importante, valabile tot în condiția în care $f$ și $g$ tind ambele la 0, doar că pe acestea nu le puteam încadra alături de celelalte limite deoarece rezultatul lor este puțin diferit, chiar dacă au același numitor ca și celelalte.

Pornim de la limitele următoare

$$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^8-1}{x}=8,$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{8^x-1}{x}=\ln 8$$

în care puteți înțelege că în loc de 8 puteți pune ce număr vreți voi.

Ei bine, aceste limite pot fi și ele generalizate, scriind

$$\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{[1+\color{blue}{f(x)}]^a-1}{\color{green}{g(x)}}=a\cdot\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}},$$

$$\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{a^{\color{blue}{f(x)}}-1}{\color{green}{g(x)}}=\ln a\cdot\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}.$$

Sper că am oferit acum elevilor de clasa a XI-a un instrument util cu care să poată calcula limitele cu care se confruntă.

Să se găsească x+y

Să se găsească $x+y$, știind că $\overline{xy}+\overline{yx}=77$.


Știm că $\overline{xy}$ este un număr de două cifre. Dar orice număr de două cifre de acest gen poate fi scris în modul următor:
$$\overline{xy}=x\cdot 10+y.$$

Așadar, și $\overline{yx}$ poate fi scris ca
$$\overline{yx}=y\cdot 10+x.$$

Atunci,
$$\overline{xy}+\overline{yx}=x\cdot 10+y+y\cdot 10+x=(x+y)\cdot 10+(x+y)=(x+y)\cdot(10+1).$$

Așadar,
$$\overline{xy}+\overline{yx}=11(x+y).$$

Și cum
$$\overline{xy}+\overline{yx}$$ trebuie să fie egal cu 77, rezultă că și
$$11(x+y)$$
trebuie să fie egal cu 77. Adică, avem
$$11(x+y)=77,$$
de unde rezultă că
$$x+y=\frac{77}{11}=7.$$


Ce trebuie să rețineți dintr-o asemenea problemă? Că bara de deasupra se referă la un număr alcătuit din cifre (scrise în baza 10) și că putem scăpa de ea dacă înmulțim prima cifră cu 10 și adunăm rezultatul cu ultima cifră.

Desigur acest lucru este valabil și pentru numere mai mari, formate din mai multe cifre, doar că în cazul acelor numere, pentru a scăpa de bară, va apărea 10, 100, 1000 și așa mai departe. La un număr de două cifre apare 10 (1 urmat de un zero). La un număr de trei cifre apare 100 (1 urmat de doi de zero) și așa mai departe.

Limita șirului nostalgic

Vorbeam data trecută despre șirul care îmi aduce aminte de liceu, dat prin relația de recurență:
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$

Pe saitul pro-didactica.ro puteți găsi o demonstrație frumoasă a convergenței acestui șir, pornind de la reprezentarea explicită a șirului, fără recurență.



Aici mai doresc să vă reamintesc că de la domnul Karl Weierstrass știm că pentru a demonstra că un șir este convergent este bine (este suficient) să arătăm două lucruri mai ușoare:

-1). că șirul este monoton (mereu crescător sau mereu descrescător);

-2). că șirul este mărginit, adică limitat superior (dacă e crescător) sau limitat inferior (dacă e descrescător).

După cum vedeți, o problemă mare și grea se împarte, de regulă, în (două) probleme mai mici și mai ușoare. Astfel, dacă am munci să arătăm că șirul nostru este monoton (descrescător) și mărginit (inferior), atunci am putea trage concluzia că el este convergent.

Iar dacă am demonstrat că un șir anume este convergent, atunci suntem boieri, căci avem mari șanse să-i găsim limita chiar și din relația de recurență. De exemplu, în cazul șirului nostru, dacă suntem siguri că el este convergent, atunci ne putem folosi de relația de recurență pentru a-i găsi limita.

Fie $l$ limita șirului nostru convergent. Dacă $l$ este numărul spre care tinde șirul, atunci putem pune acest $l$ în locul oricărui termen din relația de recurență, deci și în locul lui $x_n$, dar și în locul lui $x_{n+1}$. Așadar, putem scrie
$$l=\frac{1}{2}\left(l+\frac{a}{l}\right).$$

Atenție, deci! Avem dreptul să scriem o asemenea relație doar după ce am demonstrat deja că șirul este convergent.

Din această relație, putem să găsim cât este $l$. Înmulțind egalitatea cu 2 obținem
$$2l=l+\frac{a}{l}.$$
Apoi, ducându-l pe $l$ în stânga, mai obținem
$$2l-l=\frac{a}{l},$$
deci
$$l=\frac{a}{l}.$$
Apoi, putem înmulți această ecuație cu $l$ și obținem $l^2=a$, de unde concluzia minunată că $\large{\color{red}{l=\sqrt a}}$.

Un șir ce-mi trezește nostalgii

Pe vremea când eram eu de vârsta voastră, dragi elevi, abia apăreau calculatoarele de buzunar și ceasurile electronice, niște minuni care pe mine m-au fascinat așa precum vă fascinează azi pe voi telefoanele-astea mobile super-inteligente.

Și nu știu cum se făcu' odată că am aflat atunci de un șir buclucaș pe care l-am sucit și răsucit în toate părțile cu un asemenea calculator de buzunar de care vă povestesc.

Șirul în sine dacă-l vedeți n-o să vă spună mare lucru, dar după ce ne jucăm puțin cu el veți vedea altfel lucrurile.

Iată șirul:
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$

Această relație ne spune că dacă vrem să găsim termenul următor al șirului, să împărțim întâi numărul constant $a$ la termenul curent al șirului, apoi să adunăm rezultatul cu termenul curent, după care ceea ce obținem să împărțim la doi.

Nu e mare lucru. E doar o relație de recurență între doi termeni consecutivi ai șirului.

Zis și făcut. Mi-am luat calculatorul de buzunar și am procedat după cum urmează:
-1). Am ales întâi cine să fie $a$, să zicem $5$;
-2). Am început cu un număr oarecare, să zicem $1$, pe care l-am considerat a fi tocmai primul termen al șirului;
-3). Am memorat acest prim termen $1$ în memoria calculatorului (aveai acolo o opțiune pentru asta);
-4). Am împărțit numărul ales $a=5$ la memoria calculatorului (care a fost la început, după cum vă spuneam, $x_1=1$), am adunat rezultatul cu memoria calculatorului, apoi am împărțit rezultatul la 2 și am înlocuit ceea ce era în memorie cu ultimul rezultat;
-5). Am repetat pasul 4 de cât mai multe ori până când nu se mai schimba nimic pe ecran datorită preciziei mici a calculatorului.

Ce credeți că obțineam? Unii dintre voi poate își amintesc, alții doar bănuiesc, alții în schimb se vor minuna: obțineam o valoare foarte bună pentru radical din $a=5$!



Haideți să vedem cum se petrec lucrurile concret. Punem în memoria calculatorului M=1. Facem apoi (5:M+M):2 și obținem rezultatul 3. Acum schimbăm conținutul memoriei și punem în loc de conținutul vechi M=1 conținutul M=3.

Facem din nou (5:M+M):2, de data aceasta obținem 2,33333333. Acum îl facem pe M să fie 2,33333333 și obținem 2,238095238.

Apoi, repetând pașii indicați, obținem o listă precum cea de mai jos:

a	M	(a:M+M):2
5	1	3
	3	2,333333333
radical din a	2,333333333	2,238095238
2,236067977	2,238095238	2,236068896
	2,236068896	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977

Pentru $a=2$ obținem lista

a	M	(a:M+M):2
2	1	1,5
	1,5	1,416666667
radical din a	1,416666667	1,414215686
1,414213562	1,414215686	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562

Sau pentru $a=7$ obținem lista

a	M	(a:M+M):2
7	1	4
	4	2,875
radical din a	2,875	2,654891304
2,645751311	2,654891304	2,645767044
	2,645767044	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311

Sau, mai interesant, pentru $a=9$

a	M	(a:M+M):2
9	1	5
	5	3,4
radical din a	3,4	3,023529412
3	3,023529412	3,000091554
	3,000091554	3,000000001
	3,000000001	3
	3	3
	3	3
	3	3

Faceți-vă și voi o asemenea listă în GoogleDocs și jucați-vă cu ea.

Observați ce repede converge șirul! Sunt suficienți doar câțiva pași și obținem radicalul căutat, fără să ne mai chinuim cu calculul mai amănunțit.

Mda, cam cu de-astea îmi băteam eu capul când eram adolescent. Așa ți-e cu pasionații ăștia bolunzi...