Integrala definită este o arie

Cei care cunosc cât de cât triunghiul dreptunghic, știu că aria lui este dată de semiprodusul catetelor. Altfel spus, dat fiind un triunghi dreptunghic de catete $c_1$ și $c_2$, aria sa va fi $A=\frac{c_1\cdot c_2}{2}$.

Triunghiul dreptunghic este o figură geometrică simplă și tocmai de aceea o vom folosi pentru a înțelege în ce mod integrala definită este o arie. Mai exact, vom calcula aria triunghiului dreptunghic cu ajutorul integralei și vom arăta că cele două rezultate coincid.

Să vedem, deci, cum calculăm aria unui asemenea triunghi cu ajutorul integralei. Știm din liceu că aria unei suprafețe ar putea fi dată și de o integrală definită. Doar că ar fi bine să vedem cum se întâmplă aceasta. Vrem să facem o comparație între aria triunghiului obținută cu formula în funcție de catete și aria aceluiași triunghi obținută cu ajutorul unei integrale definite.

Pentru aceasta, vom construi un sistem de axe de coordonate și vom studia, de exemplu, aria triunghiului dreptunghic isoscel ce pornește din origine și are ambele catete egale cu 3 unități. Conform formulei ariei triunghiului dreptunghic, triunghiul nostru are ca arie $A=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}$ unități.

Ei bine, să vedem cum ajungem la același rezultat folosindu-ne de ceea ce știm în legătură cu integrala. Integrala ne spune că aria figurii geometrice formată cu graficul funcției și axa OX este dată de integrala definită a funcției respective. Așadar, ar trebui să găsim întâi o funcție al cărei grafic să ne furnizeze ipotenuza triunghiului nostru albastru.

Ce părere aveți despre funcția $f(x)=x$? Ne dă ea ca grafic ipotenuza triunghiului albastru? Evident. Cum am găsit-o? Păi, am ținut seama de faptul că ipotenuza este un segment de dreaptă, deci este o parte dintr-o dreaptă. Așadar, m-am gândit la o funcție de gradul întâi $f(x)=ax+b$, despre care știu că are ca grafic o dreaptă. Apoi am pus condiția ca dreapta funcției să treacă prin origine, ceea ce înseamnă că ea nu are termen liber, deci $b=0$. Apoi am pus condiția ca triunghiul dreptunghic să fie isoscel, deci să aibă catetele egale, deci să aibă în origine unghiul de 45 de grade, deci să aibă tangenta acestui unghi egală cu 1. Dar $a$ este tocmai tangenta unghiului pe care îl face dreapta funcției cu axa OX. Așadar, $a=1$. Prin urmare, funcția căutată este $f(x)=x$.

Acum să aplicăm faptul că aria triunghiului albastru este integrala definită a funcției găsite. Mai exact, punând și limitele e integrare (de la 0 la 3), avem
$$A_{triunghi}=\int_0^3 f(x)dx=\int_0^3 x dx=\left.\frac{x^2}{2}\right\vert_{0}^{3}=\frac{3^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{9}{2}.$$

Deci, am obținut același rezultat, $\frac{9}{2}$. Iată, deci, în ce sens integrala definită este o arie.

Dar nu putem termina încă până nu mai observăm ceva legat, de data aceasta, de limitele de integrare. Oare ce am obține dacă am calcula integrala de mai sus, dar nu pornind de la 0, ci de la 1? Am obține atunci aria trapezului roșu

Această arie ar fi $$A_{trapez}=\int_1^3 f(x)dx=\int_1^3 x dx=\left.\frac{x^2}{2}\right\vert_{1}^{3}=\frac{3^2}{2}-\frac{1^2}{2}=4.$$
Deci, cu integrala am obținut că aria trapezului roșu este 4 (deci în trapez încap exact 4 pătrate cu latura de o unitate). Să vedem acum cât obținem dacă vom calcula aria trapezului cu formula binecunoscută
$$A_{trapez}=\frac{(B+b)h}{2}.$$
Știm că baza mare este $B=3$. Baza mică trebuie să fie $b=1$, deoarece triunghiul albastru este dreptunghic isoscel. În plus, înălțimea trapezului trebuie să fie $h=3-1=2$. Atunci aria trapezului va fi
$$A_{trapez}=\frac{(3+1)\cdot 2}{2}=4.$$

Observați deci acum utilitatea fenomenală a integralei definite pentru calculul ariilor. A fost suficient să schimbăm limita de integrare ca să obținem aria trapezului, fără să ne mai chinuim să căutăm funcția de sub integrală.

Într-un articol viitor vom arăta cum se poate calcula aria unui cerc cu ajutorul integralei definite.