Comutativitate

Nu ne putem despărți atât de ușor de legea noastră dragă de care vorbeam în ultimele zile:
$$x\circ y=6-2x-2y+xy.$$

Mai trebuie să povestim despre comutativitatea ei (și chiar despre asociativitatea acesteia, pe care o lăsăm pe mâine).

Spunem despre o operație că este comutativă dacă nu contează locul în care se află operanzii.

De exemplu, adunarea numerelor (chiar și a celor complexe) este comutativă, deoarece
$$5+4=4+5.$$

De asemenea, înmulțirea numerelor (chiar și a celor complexe) este și ea comutativă, căci
$$5\cdot 4=4\cdot 5.$$

În schimb, scăderea nu este comutativă, deoarece $5-4=1$ nu este totuna cu $4-5=-1$, căci $1\neq -1$.

Și nici măcar împărțirea nu este comutativă, căci $8:4=2$, pe când $4:8=0,5$.




Acum știm ce avem de verificat pentru operația noastră. Trebuie să vedem dacă contează locul operanzilor, adică dacă obținem sau nu obținem același rezultat atunci când schimbăm poziția operanzilor în cadrul operației.

Așadar, facem întâi
$$x\circ y=\color{blue}{6-2x-2y+xy}.$$

Apoi, respectând poziția operanzilor, facem
$$y\circ x=\color{blue}{6-2y-2x+yx}.$$

Verificăm dacă cele două rezultate sunt identice. Dacă sunt identice, atunci operația noastră este comutativă, iar dacă sunt diferite, atunci operația nu este comutativă. Deci, ne întrebăm
$$6-2x-2y+xy=6-2y-2x+yx\,\,\,?$$

Rescriem presupusa egalitate anterioară după ce dăm factor comun pe $-2$ în ambele părți. Deci
$$6-2(x+y)+xy=6-2(y+x)+yx$$
și analizăm noul rezultat. Noi știm că adunarea și înmulțirea sunt deja comutative. Și observăm că partea din dreapta devine tocmai același lucru cu partea din stânga dacă vom comuta termenii adunării $y+x$ și factorii înmulțirii $yx$. Prin această comutare obținem răspunsul că și legea dată spre verificare este comutativă.

De regulă, veți primi legi a căror comutativitate o veți demonstra tocmai bazându-vă pe comutativitatea bine stabilită deja a adunării și a înmulțirii. Altfel spus, va trebui să vă bazați raționamentele pe această comutativitate bine cunoscută a adunării și a înmulțirii.





Desigur, nu toate legile sunt comutative. Două exemple ați primit deja, scăderea și împărțirea. Dar mai putem inventa o mulțime de legi necomutative. De exemplu, dacă din definiția legii noastre scoatem termenul $-2y$, ajungem la o lege necomutativă.

Haideți să vedem ce se întâmplă, mai exact. Deci, pornim de la legea
$$x\circ y=6-2x+xy.$$
Observați că lipsește termenul $-2y$, corespunzător celui de-al doilea operand și există doar termenul $-2x$, corespunzător primului operand.

Să arătăm că această lege nu este comutativă. Pentru aceasta, vom calcula cum arată legea după ce comutăm poziția celor doi operanzi. Așadar,
$$y\circ x=6-2y+yx.$$

Desigur, se vede că membrul stâng nu este egal cu membrul drept, adică
$$6-2x+xy\neq 6-2y+yx.$$
Dar nu ne vom mulțumi cu ceea ce „vedem”, ci vom încerca să demonstrăm că cele două expresii nu sunt egale.

De regulă, pentru a demonstra că două expresii nu sunt egale, facem diferența lor și verificăm rezultatul. Dacă rezultatul este nul, expresiile sunt egale, iar dacă rezultatul este nenul, ele nu sunt egale.

Așadar, vom face
$$(x\circ y)-(y\circ x)=(6-2x+xy)-(6-2y+yx)=6-2x+xy-6+2y-yx.$$
Dar, înmulțirea este comutivă, adică $yx=xy$. Deci, vom avea atunci
$$(x\circ y)-(y\circ x)=6-2x+xy-6+2y-xy=2y-2x=2(y-x).$$

Prin urmare, comutativitatea legii noastre ar depinde doar de factorul $y-x$. Legea ar fi comutativă doar dacă acest factor ar fi nul, deci doar dacă $x$ ar fi egal cu $y$. Din păcate, acest lucru nu este posibil, deoarece legea operează nu doar cu operanzi egali între ei, ci și cu operanzi diferiți. Din acest motiv, legea $x\circ y=6-2x+xy$ nu este comutativă, căci factorul $y-x$ nu este în general nul.

Sper că v-ați făcut acum o idee despre comutativitate. Urmează mâine să povestim despre ceva mult mai greu: asociativitatea.

Elemente inversabile

După ce am aflat care este elementul neutru al operației $x\circ y=6-2x-2y+xy$ (am văzut că $e=3$), a venit vremea să vorbim despre elementele inversabile corespunzătoare acestei operații.

Elementele inversabile, notate cu $x^\prime$, se pot afla din relația
$$x\circ x^\prime=e$$
sau din relația
$$x^\prime\circ x=e,$$
căci
$$x\circ x^\prime=x^\prime\circ x.$$

Pentru adunare, elementele inversabile sunt cele opuse. De exemplu, „inversul” lui 5 față de adunare este opusul lui $5$, adică $\color{red}{-5}$, deoarece $5+(-5)=0$, căci elementul neutru al adunării este $0$. Adică adunarea dintre un număr și opusul său este tocmai egală cu elementul neutru al adunării.

La fel, pentru înmulțire, elementele inversabile sunt inversele. Mai exact, „inversul” lui 5 față de înmulțire este inversul lui $5$, adică $\color{blue}{5^{-1}}=\frac{1}{5}$, deoarece $5\cdot\frac{1}{5}=1$, căci elementul neutru al înmulțirii este $1$.

Ați observat că, având în vedere faptul că adunarea și înmulțirea sunt cele mai importante operații cunoscute, ele au câte un nume special pentru elementele inversabile. Mai exact, elementele inversabile pentru adunare se numesc „opuși”, iar elementele inversabile pentru înmulțire se numesc tocmai „inverși”.




Ne rămâne să vedem care sunt elementele inversabile pentru operația noastră, astfel încât compunerea cu ele să dea elementul neutru al operației noastre, care element neutru este de data aceasta, după cum am văzut, $3$.

Pornim de la relația
$$x^\prime\circ x=3,$$
adică
$$(x^\prime-2)(x-2)+2=3.$$

Îl trecem pe $2$ în dreapta egalității și obținem
$$(x^\prime-2)(x-2)=3-2=1.$$

Nu uitați că noi trebuie să-l obținem pe $x^\prime$ în funcție de $x$. Din relația anterioară, împărțind-o cu $x-2$, mai putem scrie

$$x^\prime-2=\frac{1}{x-2}.$$

Acum ne mai încurcă acel $-2$ de lângă $x^\prime$, pe care îl vom trece în dreapta ca să scăpăm și de el. Vom avea așadar egalitatea
$$\color{limegreen}{x^\prime=\frac{1}{x-2}+2}.$$

Și asta-i tot. Am găsit cum arată elementele inversabile $x^\prime$, atunci când cunoaștem elementele neinversate $x$.



Să luăm un exemplu de inversare. Vrem să vedem care este inversul lui 5 față de operația noastră. Formula ne spune că, înlocuindu-l pe $x$ cu 5, vom obține
$$5^\prime=\frac{1}{5-2}+2=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}.$$

Deci, inversul lui $5$ este $\frac{7}{3}$. Desigur, și inversul lui $\frac{7}{3}$ va fi $5$, pentru că
$$\left(\frac{7}{3}\right)^\prime=\frac{1}{\frac{7}{3}-2}+2=\frac{1}{\frac{1}{3}}+2=3+2=5.$$

În general
$$(x^\prime)^\prime=x,$$
adică, inversarea repetată de două ori ne dă rezultatul de la care am pornit cu inversarea. Mai putem spune că „inversul inversului este neinversul”.

Element neutru

Ieri vă povesteam despre partea stabilă pentru mulțimea $M=(2,\infty)$ în raport cu operația $x\circ y=6-2x-2y+xy$, operație despre care am putut vedea că poate fi scrisă și sub forma $x\circ y=(x-2)(y-2)+2$.

Azi vrem să vedem dacă această operație are sau nu are element neutru, adică dacă are ceva care lasă nemodificat operandul cu care intră în operație. Altfel spus, ne interesează dacă există un $ceva$ astfel încât
$$ceva\circ 5=5$$
sau astfel încât
$$8\circ ceva=8.$$

De fapt, cum e,
$$ceva\circ 5=5$$
sau
$$5\circ ceva=5$$?

Deci, în care parte a egalității trebuie să se afle elementul neutru, în stânga, ori în dreapta? Ei, bine, definiția elementului neutru ne spune că nu trebuie să conteze în care parte se află acesta.

Mai exact, se numește element neutru în raport cu o operație $\circ$, acel element notat cu $e$ care are proprietatea
$$\color{red}{x\circ e=e\circ x=x},$$
indiferent ce numere (mai mari ca $2$) punem în locul lui $x$.

Adunarea are ca element neutru numărul $0$ pentru că un număr adunat cu $0$ rămâne neschimbat. De asemenea, înmulțirea are ca element neutru numărul $1$ pentru că un număr înmulțit cu numărul $1$ rămâne neschimbat.




Pentru operația noastră nici nu s-ar pune problema în care parte să se afle elementul neutru, deoarece operația noastră este comutativă, adică avem $x\circ y=y\circ x$, indiferent ce punem în locul lui $x$ și al lui $y$. Acest lucru se poate demonstra ușor amintindu-ne că operația noastră este un produs de paranteze plus 2 și ținând seama de faptul că produsul parantezelor este el însuși comutativ.

Deci, cum operația noastră este comutativă, este suficient să găsim un număr șmecher $e$ în așa fel încât să avem măcar
$$x\circ e=x,$$
fără să ne mai trebuiască relația  $e\circ x=x$.

Trecem atunci la calcule. După cum am văzut ieri, avem
$$x\circ e=6-2x-2e+xe=(x-2)(e-2)+2.$$
Iar aceasta trebuie să fie egală cu $x$. Așadar, trebuie să avem
$$(x-2)(e-2)+2=x.$$

În această relație trebuie să scăpăm cumva de $x$ și să nu-l mai vedem deloc, deoarece elementul neutru $e$ nu trebuie să depindă în niciun fel de $x$, ci trebuie să fie un număr de sine stătător, același oricare ar fi operandul $x$.

Atunci, cum dumnezeu am putea scăpa de $x$ în relația
$$(x-2)(e-2)+2=x\,\,\,?$$
Hmmmm.... Păi, ia observați voi ce se întâmplă dacă îl trec pe $2$ din stânga egalului în dreapta. Relația noastră devine
$$(x-2)(e-2)=x-2.$$
Ei? Ce părere aveți, acum putem scăpa de $x$? Ca să puteți observa și mai ușor, voi rescrie relația anterioară cu niște paranteze superflue, adică
$$(x-2)(e-2)=(x-2).$$
Acum observați că putem scăpa de $x$? N-avem decât să împărțim toată egalitatea cu $(x-2)$. Căci $(x-2)$ este diferit de $0$, din moment ce $x$ este un număr mai mare ca $2$.

După împărțirea ecuației cu $(x-2)$, obținem ceva curat, fără $x$ și care îl conține doar pe mult doritul $e$:
$$(e-2)=1,$$
adică
$$e-2=1,$$
adică
$$e=1+2=3.$$

Iată deci că elementul neutru al operației noastre este $e=3$, ceea ce înseamnă că dacă vom compune $ceva$ cu $3$ vom obține exact acel $ceva$ și nimic altceva. Concret, avem
$$x\circ 3=(x-2)(3-1)+2=(x-2)\cdot 1+2=x-2+2=x.$$

Suntem, deci, în posesia elementului neutru căutat.

Parte stabilă

Fie $M=(2,\infty)$ și operația $x\circ y=6-2x-2y+xy$. Să se demonstreze că mulțimea $M$ este parte stabilă în raport cu operația $\circ$.


Pentru a demonstra că o mulțime este parte stabilă în raport cu o operație anume este necesar să demonstrăm că operația respectivă ne dă ca rezultat numai elemente din mulțimea respectivă (dacă operăm cu elemente din mulțimea aleasă).

Așadar, în cazul nostru, va trebui să arătăm că dacă vom compune (cu operația $\circ$) două numere din mulțimea $M=(2,\infty)$ (deci, două numere mai mari decât 2), atunci vom obține ca rezultat tot un număr mai mare decât 2.

Cum am putea face acest lucru? Cum am putea să demonstrăm că
$$cevamaimareca 2\circ cevamaimareca 2$$
ne dă ca rezultat
$$cevamaimareca 2?$$



Pornim de la o șmecherie (pe care o puteți considera regulă). Dacă ceva este mai mare decât 2, atunci ceva-ul acela minus 2 va fi mai mare decât 0. Adică, simbolic, dacă $x>2$ și $y>2$, atunci $x-2>0$ și $y-2>0$. Deci, $x-2$ este ceva cu plus. Și la fel $y-2$ este ceva cu plus.

Bine, bine, dar ce facem cu astea? Păi, ceva cu plus înmulțit cu ceva cu plus ne dă tot ceva cu plus. Mai exact, dacă înmulțim pe $(x-2)$ cu $(y-2)$ vom obține tot ceva cu plus. Aceasta este esența mișcării noastre!

Acum, ne mai trebuie o altă șmecherie (pe care, de asemenea, o puteți considera o regulă). De regulă, legile de compoziție pe care le veți întâlni în asemenea cazuri vor conține un produs de paranteze de genul $(x-2)(y-2)$, produs de care vom avea mare nevoie pe mai departe.



Cu aceste două „șmecherii” în minte, facem următorul raționament. Întâi verificăm dacă legea noastră $x\circ y=6-2x-2y+xy$ conține produsul nostru mult dorit.

Păi, să vedem. Ca să verificăm dacă legea noastră conține produsul, vom alege calea prin care verificăm prin ce diferă produsul de legea noastră. Mai exact, vom desface parantezele produsului și vom vedea apoi care sunt deosebirile dintre produs și lege.

Avem atunci
$$(x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4.$$
Iar legea noastră este
$$x\circ y=6-2x-2y+xy=xy-2x-2y+6.$$

Ce observăm? Că legea se termină cu 6, nu cu 4. Atunci ce avem de făcut? Simplu. Putem scrie că legea este produsul plus 2. Adică, avem
$$x\circ y=(x-2)(y-2)+2.$$

Această ultimă relație, împreună cu cele două „șmecherii” anterioare, ne apropie de finalul demonstrației pe care trebuie să o facem.



N-ați uitat că noi trebuie să demonstrăm că operând cu numere mai mari ca 2 trebuie să obținem tot un număr mai mare ca 2. De asemenea, n-ați uitat că din faptul că $x>2$ obținem $(x-2)>0$ și din $y>2$ obținem $(y-2)>0$, deci $(x-2)$ e cu plus și $(y-2)$ este și el cu plus.

Dar, ați văzut mai sus, ceva cu plus ori ceva cu plus este și el ceva cu plus, adică, mai mare ca zero. Așadar,
$$(x-2)(y-2)>0.$$

Și cum legea noastră este produsul la care mai adăugăm un 2, adică
$$x\circ y=(x-2)(y-2)+2,$$

înseamnă că legea noastră este, de fapt,

$$x\circ y=ceva cu plus+2.$$

Dar $ceva cu plus+2$ este mai mare decât 2. Înseamnă că 

$$x\circ y>2.$$

Și cum mulțimea $M=(2,\infty)$ conține tocmai numerele mai mari ca doi, putem scrie că 

$$x\circ y\in M.$$

Așadar, din $x\in M$ și $y\in M$ am obținut că $x\circ y\in M$. Dar tocmai acest lucru a trebuit să-l demonstrăm. El ne dă dreptul să afirmăm că mulțimea $M=(2,\infty)$ este parte stabilă în raport cu operația $\circ$.

Desigur, nu orice mulțime poate fi parte stabilă a unei operații. De exemplu, mulțimea $M=(0,\infty)$ nu ar fi fost parte stabilă pentru operația noastră, căci există numere din $M$ care dau prin compunere un număr mai mic decât 0. Găsiți două asemenea exemple.

Problemă cu intersecție între două grafice

Azi rezolvăm o problemă. Fie funcțiile $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, date prin $f(x)=x^2-3x+2$ și, respectiv, $g(x)=x+2$. Să se determine abscisele punctelor de intersecție dintre cele două grafice.

Întotdeauna, în locul în care se intersectează două grafice funcțiile sunt egale. Așadar, pornim întotdeauna de la egalitatea
$$f(x)=g(x).$$

Această egalitate (care este o ecuație în $x$) ne va furniza valorile absciselor punctelor de intersecție, deci valorile lui $x$ în care cele două funcții sunt egale.

În cazul nostru concret, avem
$$x^2-3x+2=x+2.$$

Trecând conținutul din dreapta în stânga, obținem
$$x^2-3x+2-x-2=0,$$
adică
$$x^2-4x=0.$$
Această ecuație de gradul doi ne furnizează două rădăcini, pe care le putem găsi repede dacă dăm factor comun pe $x$, ecuația devenind
$$x(x-4)=0.$$
Cum un produs de numere reale este nul doar atunci când cel puțin unul dintre factori este nul, avem rădăcinile $x_1=0$ și $x_2=4$.

Așadar, punctele de intersecție au abscisele $x_1=0$ și $x_2=4$.

Observați că dacă punem valorile acestor abscise ($x_1$ și, respectiv, $x_2$), pe rând, în cele două funcții $f(x)$ și $g(x)$ (înlocuindu-l pe $x$ în fiecare funcție cu $x_1$ și, respectiv, cu $x_2$), obținem aceeași valoare pentru ordonată în ambele funcții. 

De exemplu, dacă punem prima abscisă, adică $x_1=0$, în funcția $f(x)=x^2-3x+2$ obținem ordonata $y_1=0^2-3\cdot 0+2=2$, iar dacă punem prima abscisă în funcția $g(x)=x+2$ obținem ordonata $y_1=0+2=2$, adică obținem aceeași valoare.

Și, desigur, același lucru este valabil și pentru cea de-a doua abscisă, care ne furnizează o ordonată egală cu 6 în ambele funcții.

Observați că, pentru a găsi ordonatele, din moment ce ele sunt aceleași pentru ambele funcții, e mai bine să folosim funcția mai simplă pentru a le obține (în cazul nostru, e mai bine să folosim funcția $g(x)=x+2$).

În concluzie, dacă primiți o problemă cu intersecție de grafice, va trebui să egalați cele două funcții și să rezolvați ecuația în $x$ care apare după această egalare. Rezolvând ecuația, veți obține abscisele. Apoi, dacă vi se vor cere și ordonatele, veți înlocui abscisele în funcția mai simplă, iar ordonatele vor apărea ca prin minune.

Fracții zecimale, fracții ordinare

Se poate întâmpla să primiți ca problemă o fracție ordinară, pe care să trebuiască să o transformați în fracție zecimală. De asemenea, se poate și invers, să primiți o fracție zecimală pe care să o transformați în fracție ordinară.

Pentru a înțelege deosebirea dintre fracțiile ordinare și cele zecimale, vom vedea niște exemple. Avem așa drept exemple:

• Fracții ordinare: $\frac{2}{3}$;     $\frac{-10}{10}$;      $\frac{4}{3}$;
• Fracții zecimale: $3,12$;    $0,9$;     $45,678(91011)$.

Avem și contraexemple:

• Contraexemple de fracții ordinare: $\frac{\sqrt{2}}{2}$;     $\frac{9}{\pi}$;    $\frac{5}{0}$;    $1,2$;
• Contraexemple de fracții zecimale: $\frac{1}{2}$;        $0,101001000100001\dots$.

Din aceste exemple și contraexemple deducem două lucruri fundamentale:

• Distincția dintre o fracție ordinară și una zecimală nu este neapărat o distincție valorică, ci mai ales o distincție de formă. Adică, forma unei fracții ordinare este diferită de forma unei fracții zecimale, chiar dacă cele două pot avea una și aceeași valoare. De exemplu, fracția ordinară $\frac{1}{2}$ este valoric egală cu fracția zecimală $0,5$, ele diferind doar prin formă.
• Forma unei fracții ordinare sau zecimale nu este suficientă pentru denumirea ei, ci contează și conținutul. O fracție ordinară trebuie să conțină, atât la numărător, cât și la numitor, doar numere întregi, nu orice fel de numere ($\sqrt{2}$ sau $\pi$ nu sunt numere întregi); de asemenea, numitorul unei fracții ordinare nu poate fi nul, altfel fracția nu are sens (nu știm dacă o asemenea fracție este infinită sau minus infinită, rațională sau irațională, etc.). La fel, și fracțiile zecimale respectă condiția ca partea zecimală să fie periodică (simplă sau mixtă), chiar și cu perioada nulă.

Acestea fiind spuse, să vedem cum putem transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale și invers.

Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale

Cea mai uzuală metodă de transformare a unei fracții ordinare în fracție zecimală este împărțirea numărătorului la numitor. De exemplu, fracția ordinară $\frac{10}{4}$ va deveni prin împărțirea lui $10$ la $4$ fracția zecimală $2,5$ și vom putea scrie

$$\frac{10}{4}=2,5.$$

O altă metodă care ne permite să câștigăm timp este transformarea numitorului într-o putere a lui 10 prin amplificarea fracției ordinare cu un număr convenabil care să permită această transformare. De exemplu, fracția ordinară anterioară $\frac{10}{4}$ putea fi calculată mult mai repede dacă am fi amplificat-o cu $25$ (numărul care face ca numitorul să devină o putere a lui 10). Am fi avut atunci

$$\frac{10}{4}=\frac{10\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{250}{100}=\frac{25}{10}=2,5.$$

Dacă vă obișnuiți să observați așa ceva, atunci veți putea câștiga mult timp în asemenea calcule.

O altă șmecherie care vă poate ajuta să câștigați timp este amplificarea fracției cu un număr care face ca numitorul să devină format numai din 9, caz în care fracția zecimală rezultată va fi periodică. De exemplu, fracția ordinară $\frac{1}{3}$ poate fi transformată în fracție zecimală dacă o amplificăm cu 3, obținând $\frac{3}{9}$, adică $0,(3)$.

Transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare

Vom povesti acum despre cum putem transforma, invers, o fracție zecimală în fracție ordinară, deci, din ceva cu virgulă în ceva cu linie de fracție. Pornim de la cea mai complicată posibilitate pe care o putem găsi la o fracție zecimală și arătăm cum poate fi ea transformată în fracție ordinară. Pornim, de fapt, de la un exemplu care să înglobeze cea mai complicată situație. 

Să zicem, deci, că vi se cere să transformați în fracție ordinară următoarea fracție zecimală

$$1,234(56).$$

Va trebui să faceți următorul calcul

$$1,234(56)=\frac{123456-1234}{99000}.$$

Acest exemplu vă spune totul despre transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare, căci el este suficient de explicit încât să conțină întreaga diversitate a fracțiilor zecimale. El ne permite să observăm că la numărător vom scrie numărul format din toate cifrele care apar minus numărul format din cifrele care nu sunt în paranteză, iar la numitor vom pune întâi atâția de 9 câte cifre sunt în paranteză, după care vom pune atâția de 0 câte cifre sunt după virgulă în afara parantezei.

Dar ce ne facem dacă nu avem nicio cifră în paranteză? Deci, ce ne facem dacă trebuie să transformăm în fracție ordinară o fracție zecimală precum $5,67$? În acest caz, la numărător punem toate cifrele fără să mai scădem ceva, iar la numitor punem un 1 urmat de atâtea zerouri câte cifre avem după virgulă. Așadar, avem $5,67=\frac{567}{100}$.

Sper că am atins o bună parte a acestui subiect. Dacă nu, mai întrebați-mă.

Alt sistem de două ecuații cu două necunoscute

Ieri v-am povestit despre cum se rezolvă sistemul foarte simplu
$$\begin{cases}
x+y=5\\
x-y=1
\end{cases}.$$
de două ecuații cu două necunoscute și ați putut observa câteva deosebiri importante dintre metoda substituției și metoda reducerii.

Pentru a înțelege și mai multe despre deosebirile dintre cele două metode, azi vom rezolva următorul sistem ceva mai complex, tot cu două ecuații și cu două necunoscute
$$\begin{cases}
2x+y=5\\
x+2y=1
\end{cases}.$$

De data aceasta, vom putea constata câteva complicații în plus pe care le poate aduce un asemenea sistem. Pentru aceasta, vom începe cu metoda substituției.

Spuneam că prin metoda substituției alegem o necunoscută într-o ecuație, iar rezultatul îl punem în celelalte ecuații. Azi vom vedea în ce fel contează care necunoscută alegem să substituim.

Să presupunem, deci, că alegem la întâmplare să înlocuim necunoscuta $x$ din prima ecuație. Din ecuația $2x+y=5$, ducându-l pe y în partea dreaptă a egalității (cu semn schimbat) Obținem că
$$2x=5-y.$$
Acum, îl scoate de aici pe $x$ împărțind toată egalitatea cu 2 și avem că
$$x=\frac{5-y}{2}.$$
Această expresie urâtă cu fracții trebuie să o folosim în doua ecuație $x+2y=1$ și avem
$$\frac{5-y}{2}+2y=1.$$
Acum, pentru a scăpa de numitor, înmulțim această ecuație cu 2 și obținem
$$2\cdot\frac{5-y}{2}+2\cdot 2y=2\cdot 1,$$
adică
$$5-y+4y=2,$$
deci
$$5+3y=2,$$
de unde rezultă că $y=-1$.

Folosind acum valoarea lui $y$ vom putea găsi valoarea lui $x$ dacă ne folosim de una dintre ecuațiile sistemului. Din ecuația $2x+y=5$, obținem $2x-1=5$, adică $2x=5+1$, deci $x=3$.

Să vedem acum dacă erau la fel de complicate calculele în ipoteza că porneam cu substituția de la cea dea doua ecuație, nu de la prima. Mai exact, din ecuația
$$x+2y=1$$
îl scoatem pe $x$ și avem
$$x=1-2y.$$
Înlocuind această valoare în prima ecuație, avem
$$2(1-2y)+y=5,$$
sau
$$2-4y+y=5$$
și încă
$$2-3y=5,$$
deci din nou $y=-1$.

Observați că a doua alegere ne-a scutit de fracții și a permis calcule mai simple. De aceea e bine să alegem de regulă ecuații în care necunoscuta dorită apare fără coeficienți în fața ei (deci, cu coeficientul egal cu 1).




Dar haideți cum să vedem cum rezolvăm acest sistem cu metoda reducerii pentru că acest sistem este mai complicat decât cel de ieri. Ieri am putut să adunăm liniștiți cele două ecuații ale sistemului și ne-am trezit că una dintre necunoscute ($y$) a dispărut ca prin minune (prin reducere).

Astăzi, degeaba adunăm cele două ecuații ale sistemului nostru, pentru că nu ni se va reduce niciuna dintre necunoscute. Astăzi mai trebuie să facem ceva în plus, înainte de a aduna ecuațiile. Mai exact, trebuie să profităm de proprietatea remarcabilă prin care putem înmulți o ecuație cu ce număr vrem noi, fără ca prin aceasta să riscăm ceva privind rezolvarea sistemului.

Să privim încă o dată sistemul nostru de astăzi:
$$\begin{cases}
2x+y=5\\
x+2y=1
\end{cases}.$$

Vrem să înmulțim una dintre ecuații (sau chiar pe ambele, dacă e necesar) cu un număr astfel încât după adunarea celor două ecuații să ni se reducă una dintre necunoscute. Să zicem că vrem să ni se reducă necunoscuta $x$. Atunci, având în vedere că în prima ecuație necunoscuta $x$ are în fața ei coeficientul 2, vom înmulți a doua ecuație cu un număr astfel încât în această ecuație, după înmulțirea cu numărul necesar, necunoscuta $x$ să apară cu același coeficient în față ca și în prima ecuație, doar că acest coeficient să fie de data aceasta cu semn schimbat.

Deci, vrem ca în cea de-a doua ecuație, necunoscuta $x$ să aibă în față coeficientul $-2$. Deocamdată are coeficientul $1$ (atunci când nu apare alt coeficient, înseamnă că e coeficientul $1$). Așadar, trebuie să înmulțim a doua ecuație cu $-2$. Atunci, sistemul nostru va deveni

$$\begin{cases}
2x+y=5\\
(-2)\cdot x+(-2)\cdot 2y=(-2)\cdot 1
\end{cases}.$$

După calcule, sistemul devine

$$\begin{cases}
\,\,\,2x+\,\,y=\,\,5\\
-2x-4y=-2
\end{cases}.$$

Acest sistem este echivalent cu sistemul inițial, deoarece ne furnizează aceleași valori pentru necunoscutele $x$ și $y$. Atâta doar că este un sistem în care putem aduna liniștiți cele două ecuații și ni se va reduce una dintre necunoscute.

Atunci haideți să le adunăm.

$$\begin{cases}
\,\,\,\,\,2x+\,\,y=\,\,5\\
\underline{-2x-4y=-2}
\end{cases}\\
\,\,\backslash\,\,\,\,-3y\,=\,\,3,$$
adică rămâne ecuația cu o necunoscută $-3y=3$, de unde obținem $y=-1$.

Așadar, esența metodei reducerii este de a înmulți două ecuații cu asemenea numere încât să obținem dispariția (reducerea) necunoscutei pe care o alegem. Și sper că prin acest exemplu ați reușit să înțelegeți utilitatea metodei reducerii.

Un sistem de două ecuații cu două necunoscute

Unul dintre cele mai simple sisteme de două ecuații cu două necunoscute este următorul
$$\begin{cases}
x+y=5\\
x-y=1
\end{cases}.$$
Acest sistem ne va permite să înțelegem ușor cum putem rezolva în general asemenea sisteme.

Voi vorbi aici despre două metode mai accesibile, metoda substituției și metoda reducerii, dar despre metoda lui Cramer sau a lui Gauss vom vorbi cu altă ocazie.



Începem cu metoda substituției. Substituție înseamnă înlocuire. Deci metoda substituției este metoda înlocuirii.

Din păcate, metoda substituției este cea mai urâtă, cea mai neelegantă metodă de a rezolva un sistem de ecuații. Dar este și cea mai puternică. Este puternică deoarece cu metoda substituției putem rezolva sisteme (neliniare) foarte complicate pe care nu le mai putem rezolva cu celelalte metode.


Cu metoda substituției sistemul nostru se rezolvă astfel:

-Se alege una dintre ecuații și una dintre necunoscute. În cazul acestui sistem simplu pe care îl avem noi ca exemplu alegerea pe care o facem este destul de arbitrară, căci nu ne afectează prea mult viteza de calcul. Însă, în cazul altor sisteme, e bine să aruncăm un ochi la ecuația și necunoscuta pe care o alegem, în așa fel încât să evităm pe cât posibil fracțiile prea complicate.

Necunoscuta aleasă este cea care vrem să dispară din calculele noaste cât mai repede, iar ecuația aleasă este cea în care necunoscuta aleasă capătă cea mai simplă formă.

Noi vom alege atunci, fără niciun criteriu relevant, prima ecuație și prima necunoscută, deci ecuația
$$x+y=5$$
și necunoscuta $x$.

-Se tratează celelalte necunoscute de parcă ar fi niște numere concrete și se determină necunoscuta aleasă în funcție de celelalte necunoscute. Calculul se face în ecuația aleasă.

În cazul nostru, din ecuația
$$x+y=5,$$
trecând necunoscuta $y$ în partea dreaptă a egalității (așa cum facem cu valorile cunoscute în cazul rezolvării unei ecuații cu o necunoscută), obținem
$$x=5-y.$$

-Valoarea obținută în pasul precedent se înlocuiește în celelalte ecuații peste tot unde apare necunoscuta aleasă .

În cazul nostru, cealaltă ecuație este
$$x-y=1.$$
În această ecuație vom înlocui peste tot unde găsim necunoscuta $x$ cu valoarea corespunzătoare acesteia pe care am găsit-o din prima ecuație, adică cu $5-y$. Deci, vom obține
$$(5-y)-y=1.$$

-După acest pas, a dispărut una dintre necunoscute, iar sistemul a devenit mai simplu cu o necunoscută și cu o ecuație. Din acest moment se repetă pașii precedenți de parcă acum am începe să rezolvăm sistemul.

În cazul nostru, sistemul care avea două ecuații și două necunoscute a devenit un „sistem” cu o singură ecuație (ecuația $(5-y)-y=1$) și cu o singură necunoscută, necunoscuta $y$. Așadar, vom rezolva această ecuație simplă și vom obține
$$5-y-y=1,$$
$$5-2y=1,$$
$$5-1=2y,$$
de unde reiese că $y=2$.

În acest moment, sistemul este aproape rezolvat, doar că în ecuația corespunzătoare primei necunoscute pe care am făcut-o să dispară, în loc de $y$ vom pune valoarea 2. Adică, în ecuația $x=5-y$ vom face $x=5-2$, deci vom obține în final $x=3$.






Deci, cu metoda substituției am terminat. Să vedem acum în ce fel rezolvăm sistemul cu metoda reducerii. Și cu această metodă eliminăm câte o necunoscută, numai că metoda de eliminare este mai elegantă și se bazează pe proprietățile remarcabile ale ecuațiilor.

Aceste proprietăți constă în faptul că înmulțirea unei ecuații cu un număr oarecare sau adunarea a două ecuații ale sistemului între ele (chiar și după ce au fost înmulțite cu un număr) lasă neschimbată esența sistemului, adică lasă neschimbate valorile pe care le obținem pentru necunoscute dacă alegem să trecem de la sistemul inițial la sistemul prelucrat.

Așadar, metoda reducerii ne permite să prelucrăm sistemul cum ne place nouă în așa fel încât să dispară (să se reducă) necunoscute prin adunarea sau scăderea ecuațiilor sistemului (eventual, după înmulțirea în prealabil a acestor ecuații cu numere convenabile care să permită reducerea).

În cazul sistemului nostru suntem fericiți, căci putem face să dispară o necunoscută (necunoscuta $y$) chiar și fără să înmulțim ecuațiile cu vreun număr convenabil. Această dispariție va avea loc dacă vom aduna pur și simplu prima ecuație $x+y=5$ cu cea de-a doua ecuație a sistemului $x-y=1$.

Adunându-le, vom obține
$$\begin{cases}
x+y=5\\
\underline{x-y=1}
\end{cases}\\
2x\,\,\backslash=6,$$
adică $2x=6$, ecuație suficient de banală încât să obținem ușor că $x=3$.

Cam atât pentru astăzi. Mâine vom vedea cum se rezolvă un sistem cu ceva mai complex.

Integrala definită e o sumă infinită

Vă place titlul? Forma lui versificată v-ar putea ajuta să rețineți formula interesantă pe care o vom scrie cu roșu în acest articol.

Să presupunem că vrem să calculăm următoarea limită:
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}.$$
Altfel spus, ni se cere să adunăm 5 termeni
$$\frac{1}{5^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^2}+\frac{5}{5^2},$$
atunci când în loc de 5 punem numere din ce în ce mai mari, până la cel mai mare număr posibil, deci până la infinit.

Observați rapid că avem o metodă băbească de a calcula această sumă (voi folosi întâi suma cu 5 termeni): dăm factor comun pe $\frac{1}{5^2}$, după care calculăm suma termenilor progresiei aritmetice simple $1+2+3+4+5$ rămase (care este o sumă Gauss simplă). Concret, cum suma termenilor progresiei este $\frac{5\cdot 6}{2}$, obținem
$$\frac{1}{5^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^2}+\frac{5}{5^2}=\frac{5\cdot 6}{2\cdot 25}=\frac{6}{2\cdot 5}.$$
Desigur, acest rezultat se modifică (se micșorează) pe măsură ce în loc de 5 punem numere din ce în ce mai mari. De exemplu, dacă am pune în loc de 5 numărul 6, am obține ca rezultat numărul $\frac{7}{12}$, care este mai mic decât $\frac{3}{5}$.

Să vedem acum suma în general tot cu metoda băbească. Dăm factor comun pe $\frac{1}{n^2}$ și calculăm suma $1+2+...+n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}$. Așadar, limita căutată va fi
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\cdot(n+1)}{2n^2}.$$
Simplificăm acum cu $n$ și obținem
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}.$$
Calculând această limită simplă, obținem în final cu metoda băbească rezultatul
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}.$$


Să arătăm acum că există o metodă elegantă de a calcula limita cerută, o metodă ce ne scutește de complicații dacă știm să calculăm integrale. Pentru aceasta, ne-a fost dăruită următoarea formulă minunată
$$\large{\color{red}{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx}}.$$

Să vedem cum calculăm atunci limita de mai sus cu formula primită. Trebuie să stabilim doar cum arată $f(x)$ la noi. Noi avem de calculat limita
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}.$$
Această limită va trebui adusă la forma din partea stângă a formulei, ca să putem descoperi cum arată la noi $f(x)$. Așadar, vom muta unul dintre cele două $n$-uri de la numitor în fața sumei și vom obține
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}.$$
Acum luăm expresia de după sumă din limita noastră de calculat și o egalăm cu expresia de după sumă din formulă și obținem
$$\frac{k}{n}=f\left(\frac{k}{n}\right).$$
Dar această egalitate ne spune deja cum arată $f(x)$. Pentru că nu avem decât să înlocuim pe $\frac{k}{n}$ cu $x$ și obținem
$$x=f(x),$$
adică
$$f(x)=x.$$
Cu acestea, limita noastră devine
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}=\int_0^1 x dx=\left.\frac{x^2}{2}\right\vert_0^1=\frac{1}{2}.$$
Deci, am obținut același rezultat ca în cazul obținut cu metoda băbească.


Desigur, metoda elegantă este mult mai utilă, căci poate fi aplicată mult mai multor sume, chiar mai complicate decât exemplul nostru anterior, așa cum este posibil să întâlniți la bac.

Asimptote oblice

După ce am discutat despre asimptotele orizontale și cele verticale, putem acum să povestim despre asimptotele oblice. Aceste asimptote sunt mai interesante decât celelalte (deci, decât cele orizontale sau verticale) deoarece sunt mai generale, adică din ele le putem deduce și pe celelalte.

Adică, dacă am învățat bine asimptotele oblice, atunci știm și asimptote orizontale sau verticale, numai că asimptotele oblice sunt ceva mai grele decât cele orizontale sau verticale. Sunt mai grele deoarece ele ne cer să calculăm nu una, ci două limite.

Un exemplu de funcție care are asimptotă oblică este o fracție de polinoame, la care numărătorul este un polinom cu gradul mai mare cu o unitate decât numitorul (pentru a reține mai bine această șmecherie, faceți legătura cu faptul că numărătorul este un cuvânt mai lung decât numitorul). Dacă gradul numărătorului nu este mai mare decât al numitorului, atunci, așa cum am văzut, fracția va avea asimptotă orizontală.

Un astfel de exemplu este funcția
$$f(x)=\frac{\text{polinom de gradul cinci}}{\text{polinom de gradul patru}}.$$
Această funcție va avea asimptotă oblică.

Dacă o funcție are asimptotă orizontală într-o parte (deci, înspre unul dintre cele două infinituri posibile, cel pozitiv și cel negativ), atunci să nu vă prind că mai căutați și asimptotă oblică în acea parte. Căutați, eventual, în cealaltă parte.

Sau invers: dacă într-o parte ați găsit asimptotă oblică, atunci nu are rost să mai căutați asimptotă orizontală în acea parte, ci doar eventual în cealaltă parte.




Acum să vedem cum se determină o asimptotă oblică pentru o anumită funcție. Spuneam că trebuiesc calculate două limite. Prima limită ne va spune cât de înclinată este asimptota, iar a doua limită ne va spune pe unde trece asimptota, adică pe unde taie axa verticală (axa ordonatelor).



Așadar, prima limită ne va furniza un număr „m” care se numește „panta asimptotei”. Relația dintre acest număr m și unghiul de înclinare este dată de formula
$$m=\tan\alpha,$$
adică panta este tangenta unghiului de înclinare.

Cu cât panta este mai mare, cu atât unghiul de înclinare este mai mare, deci cu atât asimptota este „mai oblică”. Desigur, ne referim aici la valoarea absolută a pantei și a unghiului când spunem „mai mare”.

Să vedem acum limita aceea care ne furnizează panta asimptotei. Iat-o:
$$\large{\color{red}{m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}}}.$$
Observați că aici am dat doar limita din partea dreaptă a funcției, ca să nu vă încurc cu prea multe informații deodată, dar la fel de bine puteți căuta asimptota și în partea stângă, punând în limita de mai sus loc de $\infty$ pe $-\infty$.

Totul depinde de ceea ce vi se cere în problemă: dacă vi se va cere să „căutați asimptotele”, atunci va trebui să căutați în ambele părți, dar dacă vi se cere să căutați asimptota doar într-una dintre cele două părți, desigur, nu o veți căuta și în cealaltă parte.



A doua limită, deci cea care ne furnizează locul asimptotei se determină după ce am determinat panta. Aceasta deoarece pentru loc ne trebuie și panta. Locul asimptotei este un număr care se notează cu „n”.

Limita care ne dă locul asimptotei este
$$\large{\color{blue}{n=\lim_{x\to\infty}[f(x)-\color{red}{m}\cdot x]}}.$$




Asta-i tot. Adică, asta-i tot ce vă trebuie pentru asimptotele oblice. Așadar, haideți la un exemplu. Determinați asimptota oblică spre dreapta a funcției
$$f(x)=\frac{3x^2+7}{2x-1}.$$

Avem
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{3x^2+7}{2x-1}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x-1}\cdot\frac{1}{x}.$$
Așadar,
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{(2x-1)\cdot x}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x^2-x}.$$

Dar atunci când am povestit despre limite spre infinit din fracții, noi am aflat că dacă gradele sunt egale, atunci limita căutată este tocmai raportul coeficienților monoamelor principale. Obținem deci
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x^2-x}=\color{red}{\frac{3}{2}}.$$
Aceasta este panta asimptotei oblice căutate. Ea ne sune că pe un caiet cu pătrățele asimptota urcă 3 pătrățele în timp ce se deplasează spre dreapta cu 2 pătrățele. Altfel spus, cateta verticală este 3, iar cateta orizontală este 2, iar tangenta unghiului de urcare este raportul dintre cateta verticală și cateta orizontală.




Urmează să găsim locul ei. Pentru aceasta vom calcula limita
$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}[f(x)-\color{red}{m}\cdot x]=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{3x^2+7}{2x-1}-\color{red}{\frac{3}{2}}\cdot x\right].$$

Aducem la același numitor și apoi amplificăm
$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}\frac{2\cdot(3x^2+7)-3x\cdot(2x-1)}{2\cdot(2x-1)},$$

după care obținem

$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x^2+14-6x^2+3x}{4x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{14+3x}{4x-2}=\color{blue}{\frac{3}{4}}.$$
Așadar, asimptota va tăia axa verticală la trei sferturi de pătrățea pe un caiet cu pătrățele. Graficul funcției va arăta cam așa, în partea dreaptă, spre plus infinit:

Acum avem tot ce ne trebuie pentru a scrie ecuația asimptotei oblice. Dar asta nu înseamnă că am scris-o deja. La bac să scrieți efectiv ecuația, altfel puteți fi depunctați.

Atunci, ecuația asimptotei noastre oblice este

$$y=\color{red}{\frac{3}{2}}x+\color{blue}{\frac{3}{4}}.$$

Observați în final că funcția dată ca exemplu are nu doar asimptotă oblică, ci și asimptotă verticală. Acest lucru este posibil. În schimb, nu este posibil să avem în aceeași parte asimptotă oblică și asimptotă orizontală, așa cum am menționat deja. Rețineți aceste aspecte!

Asimptote orizontale și verticale

Asimptotele pe care le învățați în liceu sunt niște drepte. Punct. Așa că, dacă vi se cere să determinați asimptotele, de fapt vi se cere să determinați niște drepte. Prin urmare, rezultatul trebuie să fie tocmai ecuația unei drepte, nu altceva. Nu un număr, nu un cuvânt, ci ecuația unei drepte.

Există trei feluri principale de asimptote în plan, așa cum există trei feluri principale de drepte în plan. Mai exact, există asimptote (deci, drepte) orizontale, asimptote verticale și asimptote oblice.

Desigur, în ultimă instanță, toate dreptele pot fi considerate ca fiind drepte oblice, doar că unghiul de înclinare poate fi și de 0 grade și poate fi și de 90 de grade. Așadar, am putea spune că asimptotele oblice sunt cele mai importante.

Cu toate acestea, noi vom discuta aici numai despre cazul particular de asimptote oblice în care unghiul este 0 grade (asimptote orizontale) sau 90 de grade (asimptote verticale), lăsând discuția despre asimptotele oblice pentru altă ocazie.

Totuși, încă nu v-am spus cu adevărat ce sunt asimptotele. V-am spus că ele sunt niște drepte, dar nu v-am spus încă de ce nu ne mulțumim să le spunem în continuare doar „drepte” și ne încăpățânăm să facem pe deștepții și le spunem așa pompos „asimptote”. Ei bine, le spunem „asimptote” pentru că ele sunt niște drepte mai speciale, niște drepte de care se apropie necontenit graficul unei funcții.

Un exemplu bun de funcție al cărei grafic ne scoate bine în evidență asimptotele este funcția $f(x)=\frac{1}{x}$. Graficul acestei funcții este următorul:

Observați că graficul acestei funcții (cel desenat cu albastru) se apropie de două drepte care apar în desen cu linie punctată. Una dintre aceste drepte este o dreaptă orizontală (de la stânga la dreapta), iar cealaltă dreaptă este verticală (de jos în sus).

Dar cum adică „se apropie”? Ce înseamnă că graficul se apropie de o anumită dreaptă, de o anumită asimptotă? Înseamnă că pentru o anumită valoare limită a parametrului $x$, graficul funcției date devine tocmai identic cu asimptota respectivă.

Altfel spus, pentru valorile asimptotice ale lui $x$ putem scrie întotdeauna egalitatea între ecuația graficului funcției (care este exprimată prin $y=f(x)$) și ecuația dreptei asimptote (care este exprimată în general prin $y=mx+n$). Deci, pentru valorile asimptotice ale lui $x$ avem întotdeauna
$$f(x)=mx+n.$$

În cazul funcției noastre, dacă parametrul $x$ devine infinit (sau minus infinit), funcția devine $y=f(\pm\infty)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\pm\infty}=0$. Dar ecuația $y=0$ reprezintă tocmai ecuația dreptei orizontale OX, așadar, această dreaptă este asimptota orizontală a funcției date, atât către $\infty$, cât și către $-\infty$.

În general, vă puteți da seama „din ochi” cam ce asimptotă va avea o funcție dacă ea este reprezentată de o fracție de polinoame. Pentru aceasta comparați gradul numărătorului cu gradul numitorului. Dacă cele două grade sunt egale sau gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului, atunci fracția are asimptotă orizontală.




Acum povestim despre asimptota verticală a funcției. Ecuația unei asimptote verticale este întotdeauna de forma $x=un număr$. Acel număr se găsește studiind unde devine infinită (sau minus infinită) funcția.

Așadar, asimptota verticală este un fel de inversă a asimptotei orizontale, căci în timp ce în cazul asimptotei orizontale cel care era infinit era parametrul $x$, în cazul asimptotei verticale, cel care trebuie să fie infinit este parametrul $y=f(x)$.

Deci, pentru a găsi asimptota verticală în cazul funcției noastre trebuie să găsim acel număr care pus în locul lui $x$ face ca funcția să fie infinită sau minus infinită. Care o fi acest număr? Când devine infinită o fracție de forma $\frac{1}{x}$? Bineînțeles, atunci când numitorul se anulează.

Prin urmare, ecuația asimptotei verticale corespunzătoare funcției noastre dată ca exemplu este $x=0$, căci dacă punem în locul lui $x$ valoarea 0 în expresia funcției $\frac{1}{x}$ obținem valoarea $\pm\infty$.

Pătratul unui număr care se termină cu 5

Mi-am amintit de o șmecherie faină și doresc să v-o împărtășesc repede și vouă. Este vorba despre înmulțirea cu el însuși a unui număr ce se termină cu 5. De exemplu, vreau să știu rapid cât este $75\cdot 75$. Șmecheria este să luăm toată partea din fața lui 5 (în cazul nostru, îl luăm pe 7) și să o înmulțim cu numărul care urmează imediat după el (în cazul nostru, după 7 urmează imediat 8), iar după rezultat să punem $\color{blue}{25}$.

Așadar, în cazul nostru, vom avea $7\cdot 8=\color{red}{56}$, deci $75\cdot 75=\color{red}{56}\color{blue}{25}$.

Desigur, asta este valabil și pentru un număr de trei cifre, nu doar pentru unul cu două precum a fost 75. De exemplu, $125\cdot 125$ este $12\cdot 13=\color{red}{156}$, după care punem 25, așadar, $125\cdot 125=\color{red}{156}\color{blue}{25}$.



Să vedem și o mică demonstrație a acestui fapt drăguț. În general, dacă pornim cu un număr de forma $a\cdot 10+5$ și vrem să-l ridicăm la pătrat, vom avea conform formulei $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,
$$(a\cdot 10+5)^2=(a\cdot 10)^2+2\cdot a\cdot 10\cdot 5+5^2.$$
Așadar, făcând niște calcule, obținem
$$(a\cdot 10+5)^2=a^2\cdot+a\cdot 100+25=a(a+1)\cdot 100+25.$$
Ultimul rezultat reprezintă demonstrația căutată.

Derivata ne ajută să înțelegem monotonia unei funcții

Dacă reușim să calculăm derivata unei funcții, atunci găsim o mulțime de informații. De exemplu, dacă știm că derivata unei funcții este mereu pozitivă pe o anumită porțiune din mulțimea numerelor reale (porțiune care se numește interval), atunci știm și despre funcția respectivă (deci, despre cea nederivată) că este mereu crescătoare. Și, desigur, acolo unde derivata este mereu negativă, funcția este mereu descrescătoare.

Pentru o funcție crescătoare, la un $x$ din ce în ce mai mare îi corespunde un $y$ din ce în ce mai mare, iar la o funcție descrescătoare este invers, adică la un $x$ din ce în ce mai mare îi corespunde un $y$ din ce în ce mai mic.

Așadar, pentru o funcție crescătoare, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{red}{\geq 0}$$
va avea mereu semnul plus pentru că cele două diferențe vor avea mereu același semn.


În schimb, pentru o funcție descrescătoare, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{blue}{\leq 0}$$
va avea mereu semnul minus pentru că cele două diferențe vor avea mereu semn contrar.

Și cum derivata nu este altceva decât tocmai o limită de asemenea fracții, reiese astfel de ce semnul derivatei ne dă informații despre monotonia funcției.





Dar, oare ce se întâmplă acolo unde derivata nu e nici pozitivă și nici negativă (sau e și pozitivă și negativă, cum preferați), deci este nulă? Cum va fi funcția acolo? Păi, încercăm să deducem logic: pe intervalul pe care derivata este nulă, funcția nu va fi nici crescătoare și nici descrescătoare, ci va avea mereu aceleași valori peste tot, adică va fi constantă.

Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa OX.

Observăm atunci că pentru o funcție constantă, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{limegreen}{= 0}$$
va avea mereu valoarea nulă pentru că numărătorul ei va fi mereu nul.

Așadar, putem concluziona următoarele:

• Dacă derivata unei funcții este pozitivă (și nenulă) pe un anumit interval, atunci putem trage liniștiți concluzia că funcția respectivă este (strict) crescătoare pe acel interval;
• Dacă derivata unei funcții este negativă (și nenulă) pe un anumit interval, atunci putem trage liniștiți concluzia că funcția respectivă este (strict) descrescătoare;
• Dacă derivata unei funcții este nulă pe un anumit interval, atunci putem trage liniștiți concluzia că funcția respectivă este constantă.

Parantezele de mai sus se corespund, adică dacă derivata funcției este pe deasupra și nenulă, atunci funcția este strict monotonă (deci, strict crescătoare sau strict descrescătoare, deci doar în urcare sau doar în coborâre). Altfel, funcția poate fi și constantă pe undeva, nu doar în urcare sau în coborâre.

Derivata este o limită

Să presupunem că ni se cere să găsim care este derivata funcției $f(x)=x^2$. Noi știm că răspunsul este simplu, adică $2x$, dar vrem să scoatem clar în evidență modul în care se obține acest răspuns.

Există două definiții echivalente ale derivatei. Una se scrie astfel

$$f^\prime(ceva)=\lim_{x\to ceva}\frac{f(x)-f(ceva)}{x-ceva},$$

iar a doua se scrie

$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

A doua derivată se obține din prima dacă înlocuim în prima definiție peste tot unde vedem $ceva$ cu $x$ și peste tot unde a fost $x$ în prima definiție înlocuim cu $x+h$.



Eu prefer să folosesc acum cea de-a doua definiție, pentru că obțin direct rezultatul cu $x$, nu cu $ceva$. Folosind  a doua definiție, vom arăta că
$$(x^2)^\prime=2x.$$

Să trecem la treabă. Funcția noastră pe care trebuie s-o derivăm este, deci, $f(x)=x^2$. Definiția ne spune că
$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Deci, vom înlocui în cazul nostru peste tot unde vedem $f(x)$ cu $x^2$ și peste tot unde vedem $f(x+h)$ cu $(x+h)^2$. Așadar,
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}.$$

Dar din formulele de calcul prescurtat noi știm că $(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$. Deci, calculul nostru devine
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}.$$

Dar se observă că la numărător se reduce $x^2$ cu $-x^2$, deci rămâne
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}.$$

Cum această limită este în continuare un caz exceptat de tipul $\frac{0}{0}$, rezultă că trebuie să prelucrăm cumva mai departe expresia $\frac{2xh+h^2}{h}$ ca să scăpăm de cazul exceptat.

Pentru aceasta, vom observa că putem da factor comun pe $h$ în expresia $2xh+h^2$. Astfel, calculul nostru devine acum
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{h\cdot(2x+h)}{h}.$$
Acum putem simplifica fracția noastră cu $h$ și ne rămâne
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}(2x+h)$$
care nu mai este caz exceptat. Mai exact, trecând la limită și egalându-l acum pe $h$ cu $0$ fără frica de a mai obține vreun caz exceptat, obținem
$$\large{\color{red}{(x^2)^\prime}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=\color{red}{2x}}.$$

Ați văzut aici, așadar, un exemplu simplu care arată în ce mod derivata este o limită.

Formula de integrare prin părți rezultă dintr-o formulă de derivare

Ieri vă povesteam cum integrala și derivata „se simplifică” reciproc. Am făcut-o pentru că am avut în minte un gând pentru articolul de astăzi. Căci, vom vedea azi că această formulă de simplificare ne ajută să înțelegem mai bine formula integrării prin părți și ne ajută să ne-o amintim mai ușor la bac dacă din cauza emoțiilor s-ar putea să nu fiți siguri de vreun semn sau ceva.

Așadar, să recapitulăm un pic. Avem nevoie de două lucruri de bază:
formula $$\int(f)^\prime=f$$
și implicația conform căreia din egalitatea $f=g$ rezultă egalitatea $\int f=\int g$ (unde am omis să ne mai strofocăm cu constanta și cu $dx$, ca să se rețină esența).



Acum, haideți să ne amintim de formula de derivare a produsului a două funcții, care ne spune
$$\large{\color{blue}{(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime}}.$$


Ok. Dar, dacă din egalitatea $f=g$ rezultă egalitatea $\int f=\int g$, înseamnă că și din egalitatea
$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime$$
va rezulta egalitatea
$$\int(f\cdot g)^\prime=\int(f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime),$$
unde am pus în paranteză expresia din dreapta ca să se înțeleagă că integrarea se face pentru tot termenul din dreapta egalității.


Mai departe, din faptul că $\int(f)^\prime=f$, obținem că
$$\int(f\cdot g)^\prime=f\cdot g.$$

Înseamnă că putem scrie fără integrală în partea stângă a egalității și avem
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime).$$


Păi, suntem aproape gata. Mai avem de împrăștiat semnul integralei la cei doi termeni, căci $\int(u+v)=\int u+\int v$. Obținem, deci,
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime).$$

Dar aceasta este tocmai formula de integrare prin părți, numai că nu este aranjată așa cum se învață la școală. Haideți să ajungem la forma sub care se învață la școală.

Știm că din $a=b$ rezultă și că $b=a$, căci egalitatea este, evident, comutativă. Așadar, din
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime)$$
rezultă
$$\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime)=f\cdot g.$$

Acum nu ne mai rămâne decât să aruncăm o integrală din stânga în dreapta, unde va ajunge cu semn schimbat, desigur. Pe care vreți s-o aruncăm în dreapta? Căci o putem arunca pe oricare. Eu prefer să o aruncăm pe a doua, deci vom obține
$$\int(f^\prime\cdot g)=f\cdot g-\int(f\cdot g^\prime).$$

În fine, vom scrie formula fără paranteze ca să aveți cât mai puține semne de memorat, concentrându-vă la esențe, și ne vom întipări formula finală de integrare prin părți pe care acum sper că o vedeți cu alți ochi
$$\large{\color{red}{\int f^\prime\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^\prime}}.$$

Derivata și integrala "se simplifică" reciproc

Vă povesteam prin 31 august care este relația dintre primitiva $F$ a unei funcții $f$ și funcția însăși. Mai exact, știți că avem formula banală
$$F^\prime=f.$$

De asemenea, mai știm că dacă două funcții sunt egale, deci $f=g$, atunci și integralele lor sunt egale, adică $\int f=\int g$, bineînțeles, fără să uităm de constanta de integrare care face diferența dintre două primitive ale aceleiași funcții.

Mai întâi să înțelegem bine ce ne spune formula $F^\prime=f$ și faptul că egalitatea $f=g$ implică egalitatea $\int f=\int g$. Mai exact, din egalitatea $F^\prime=f$ putem trage și concluzia că $\int(F^\prime)=\int f$.

Dar, din definiția funcției $F$ ca fiind o primitivă a funcției $f$, știm că $\inf f=F$. Deci, putem scrie atunci mai departe că că $\int(F^\prime)=\int f=F$. Luând începutul și sfârșitul acestei egalități obținem, de fapt
$$\int(F^\prime)=F.$$

Dar această formulă nu depinde de litera pe care o folosim pentru $F$. Așa că putem scrie și
$$\int(f^\prime)=f$$
sau chiar
$$\int(g^\prime)=g,$$
adică orice literă ne trece nouă prin cap. Și atunci noi vom prefera să rescriem această formulă pentru litera $f$, care este o literă mai folosită. Deci, avem relația deosebită:
$$\large{\color{red}{\int(f^\prime)=f}}.$$
Bineînțeles, nu ne-am bătut capul nici cu constanta irelevantă aici și nici cu semnul $dx$ pe care voi trebuie să le scrieți mereu. Noi am scos aici în evidență doar esența acestei relații importante.

Exemplu

Haideți să vedem treaba asta pe un exemplu. Să vedem dacă relația este adevărată pentru o anumită funcție simplă a cărei integrală o cunoaștem bine, de exemplu, pentru funcția $f=x^2$. Adică, să vedem dacă
$$\int (x^2)^\prime dx=x^2.$$

Pentru aceasta, avem de făcut puțină muncă. Adică, întâi trebuie să derivăm pe $x^2$, după care să calculăm integrala din rezultat. Haideți să vedem. De la derivate știți că avem
$$(x^2)^\prime=2x.$$
Așadar, trebuie să integrăm pe $2x$, deci calculăm $\int 2x dx$.

Această integrală este ușor de calculat dacă știm că constanta iese în față și dacă știm formula
$$\int x^8 dx=\frac{x^9}{9},$$
pardon (că asta nu-i „formulă”), dacă știm formula
$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.$$

Deci,
$$\int 2x dx=2\int x dx=2\int x^1 dx=2\cdot\frac{x^2}{2}=x^2.$$

Iată, deci, că putem spune că
$$\color{blue}{\int (x^2)^\prime dx}=\int 2x dx=\color{blue}{x^2}.$$

Iată, așadar, o grămadă de lucru pentru o nimica toată, când puteam observa de la bun început rezultatul. Tocmai de aceea, aveți mare grijă când întâlniți o asemenea integrală din ceva ce trebuie derivat; nu vă mai chinuiți să derivați după care să integrați derivata, ci pur și simplu scrieți rezultatul direct (cu adăugarea la sfârșit a constantei de integrare, pentru profesorii care nu se mulțumesc cu esența răspunsului).

Limite de fracții mai generale cu infinit pe infinit

În materialul precedent vorbeam despre o limită simplă în care $x$ tindea spre $\infty$. De ce era ea simplă? Pentru că, atât la numărător, cât și la numitor, am avut câte un polinom amărât de gradul întâi. Și am aflat acolo că e ceva cu raportul coeficienților.

Vrem să clarificăm acum ce se întâmplă cu acest raport al coeficienților, în general, când ne permitem libertatea să ne jucăm în fracțiile noastre cu orice fel de polinom, atât la numărător, cât și la numitor.

Știm că orice polinom poate fi scris în forma canonică, adică forma în care începem cu monoamele de gradul cel mai mare și continuăm frumos cu monoamele de grad din ce în ce mai mic. De exemplu, forma canonică a polinomului $x+3x^2-2x^3+1$ este $-2x^3+3x^2+x+1$. Deci, monomul de gradul cel mai mare în cazul nostru este $-2x^3$. Acesta este monomul principal al polinomului.

În calculul limitelor noastre nu vom avea nevoie de altceva, decât de monomul principal al fiecăruia dintre polinoamele care apar la numărător, respectiv, la numitor. Haideți să vedem.

Cazul gradelor egale

Să presupunem că ni se cere să calculăm următoarea limită

$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5\color{red}{+3x^6}-2x+1}{3x\color{red}{-x^6}+2+4x^2-8x^4}.$$

Observați că nici numărătorul și nici numitorul nu sunt aranjați frumos în ordine canonică, începând cu gradul cel mai mare. Nicio problemă. Nu ne speriem noi de așa ceva. Dimpotrivă, vom căuta cu grijă unde se află monomul de gradul cel mai mare la numărător și la numitor și vom avea „nesimțirea” să nu mai băgăm în seamă celelalte monoame!

Altfel spus, limita raportului dintre cele două polinoame se reduce drastic la limita raportului monoamelor principale. Așadar, avem
$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5\color{red}{+3x^6}-2x+1}{3x\color{red}{-x^6}+2+4x^2-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{\color{red}{+3x^6}}{\color{red}{-x^6}}.$$

Iar de aici încolo știți să mergeți mai departe, nu-i așa? Căci nu vă rămâne decât să simplificați fracția $\frac{+3x^6}{-x^6}$ cu $x^6$ și obținem că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5+3x^6-2x+1}{3x-x^6+2+4x^2-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^6}{-x^6}=\frac{3}{-1}=-3.$$

Cazul gradelor diferite

Cazul gradului mai mare la numărător

Mai rămâne să vedem ce facem în cazul în care gradele monoamelor principale de la numărător și numitor sunt diferite, nu egale, cum era în cazul simplu de mai sus. Oare credeți că în acest caz se modifică ceva? Nici vorbă! Dimpotrivă, în acest caz, după simplificare, nici măcar nu mai obținem caz exceptat!

Să luăm repede un exemplu clar. Fie de calculat limita
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5+3x^8-5x}{12x^3+6x^6+2-4x^7-8x^4}.$$

Căutăm, desigur, monoamele principale ale celor două polinoame și avem
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5\color{red}{+3x^8}-5x}{12x^3+6x^6+2\color{red}{-4x^7}-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{+3x^8}{-4x^7}.$$
Simplificăm cu $x^7$ și avem, deci
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5+3x^8-5x}{12x^3+6x^6+2-4x^7-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{+3x}{-4}=-\infty.$$

Cazul gradului mai mare la numitor

Ce credeți că am fi obținut dacă gradul mai mare era la numitor? Păi, ia imaginați-vă că ați primi să calculați limita fracției răsturnate de mai sus. Ce ați obține? Nimic altceva decât răsturnatul lui $-\infty$, adică $\frac{1}{-\infty}$, adică $0$.

O mică concluzie, deci:

• Dacă la numărător gradul este mai mare, atunci obținem ca limită ceva cu infinit (poate fi minus infinit);
• Dacă la numitor gradul este mai mare, atunci obținem ca limită zero.

Mult spor s-aveți!

Un exemplu simplu cu limite de fracții în cazul infinit pe infinit

Acest articol vine ca o continuare firească a celui anterior. Arătăm aici cum se calculează o limită de fracții polinomiale în cazul în care, după înlocuirea imediată a lui $x$, obținem cazul exceptat $\frac{\infty}{\infty}$.

Un exemplu simplu de asemenea limită, în care am ales niște coeficienți cât mai diferiți pentru ca elevul să observe legăturile, este

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2\cdot\infty+3}{4\cdot\infty-5}=\frac{\infty}{\infty}.$$

Cum asemenea limite nu se pot calcula direct prin înlocuire, ci trebuie prelucrate, vom căuta să modificăm ceva la expresia noastră
$$\frac{2x+3}{4x-5}$$
astfel încât să scăpăm de nedeterminare.

Atunci, în ipoteza că nu avem voie să folosim regula lui l'Hôpital, pentru a scăpa de infinit vom încerca să vedem ce se întâmplă dacă simplificăm cu „infinit”, adică dacă simplificăm cu $x$ înainte de a-l înlocui cu $\infty$.

Pentru a putea simplifica fracția
$$\frac{2x+3}{4x-5}$$
cu $x$ suntem nevoiți să-l dăm factor forțat pe $x$, atât la numărător, cât și la numitor, căci doar așa vom putea simplifica cu $x$.

Obținem atunci
$$\large{\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{x\cdot 2+x\cdot\frac{3}{x}}{x\cdot 4-x\cdot\frac{5}{x}}=\frac{x\left(2+\frac{3}{x}\right)}{x\left(4-\frac{5}{x}\right)}}.$$
Simplificând apoi cu $x$, obținem deci
$$\large{\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2+\frac{3}{x}}{4-\frac{5}{x}}}.$$
Prin urmare, limita noastră devine atunci

$$\large{\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{4x-5}=\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x}}{4-\frac{5}{x}}=\frac{2+\frac{3}{\infty}}{4-\frac{5}{\infty}}}.$$

Dar noi știm că 

$$\frac{1}{\infty}=\frac{oricenumărfinit}{\infty}=0.$$

Așadar, limita noastră devine în final

$$\large{\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2+\frac{3}{\infty}}{4-\frac{5}{\infty}}=\frac{2+0}{4-0}=\frac{2}{4}}.$$

Observați ceva interesant la rezultat? Am obținut că, limita este tocmai raportul coeficienților lui $x$, indiferent de ceea ce există în rest la numărător sau la numitor. Această consecință este cât se poate de generală. Vom vedea într-un material ulterior că limitele cu fracții polinomiale au ca rezultat raportul coeficienților ce apar în fața monoamelor de gradul maxim.

Limite de fracții în cazul zero pe zero

Desigur că titlul este oarecum vag, deoarece putem face fracție cu orice funcție. De exemplu, putem scrie că $f(x)=\frac{f(x)}{1}$ și asta ar însemna că articolul nostru ar trebui să discute despre orice fracție posibilă.

Desigur, nu-i chiar așa, iar un începător nu va fi atât de pretențios. Dimpotrivă, când va auzi „limite de fracții” el se va gândi că este vorba despre limite cu fracții polinomiale. Și va avea dreptate. Căci asemenea limite merită o discuție separată.

Așadar, dăm întâi un exemplu de limită cu fracție polinomială
$$\lim_{x\to 5}\frac{x-6}{2x-7},$$
ca să ne asigurăm că elevul înțelege bine la ce fel de fracții ne referim.

Limita dată în exemplul nostru este simplă și se poate calcula ușor prin înlocuirea lui $x$ cu 5. Dar există probleme atunci când ajungem la cazuri exceptate, precum $\frac{\infty}{\infty}$ sau $\frac{0}{0}$ despre care am povestit în articolul precedent. Noi aici ne vom ocupa deocamdată doar cu acest ultim caz exceptat, $\color{red}{\frac{0}{0}}$.

Să dăm, deci, un exemplu de limită în care apare cazul exceptat $\frac{0}{0}$. Să calculăm, de pildă
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}.$$

Observați că dacă înlocuim pe $x$ cu 3 (așa cum se cuvine pentru început), obținem
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{3^2-7\cdot 3+12}{3-3}=\frac{0}{0},$$
deci caz exceptat.

Ce facem când ajungem la un caz exceptat, vă mai amintiți? Prelucrăm expresia înainte de a face înlocuirea. Bine, bine, dar ce am putea prelucra noi la această expresie?

De regulă, la asemenea limite, numărătorul se împarte exact cu numitorul și rezultă un polinom mai simplu decât numărătorul. Prin împărțire scăpăm de fracție, deci scăpăm și de cazul exceptat. Dacă știți să împărțiți polinoame, atunci puteți face direct împărțirea numărătorului la numitor și obțineți

$\begin{array}{ ll | l }

x^2&-7x+12&x-3 \\
\hline
-x^2&+3x &\color{red}{x-4}\\
\hline
=&\underline{-4x+12}&\\
&\underline{+4x-12}&\\
&=====&\\
\end{array}$.

Dacă nu vă mai amintiți cum se face împărțirea polinoamelor, atunci trebuie să vă amintiți măcar următoarea șmecherie cu factorul comun prin care trebuie să facem ceva cu numărătorul în așa fel încât să aibă legătură cu numitorul. Mai exact, scriem numărătorul astfel

$$x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3).$$

Observați că am prelucrat numărătorul în așa fel încât să dăm factor comun și să apară numitorul în paranteze. Astfel, mai dăm o dată factor comun tocmai numitorul și obținem

$$x^2-7x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)\color{red}{(x-4)}.$$

O altă șmecherie pe care o puteți folosi este să căutați rădăcinile polinomului de la numărător. Cum polinomul de la numărător are gradul doi, putem calcula delta

$$\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Atunci, rădăcinile vor fi

$$x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1},$$

deci $x_1=3$ și $x_2=4$. În acest caz, rădăcinile ne spun că polinomul nostru de gradul doi $x^2-7x+12$ poate fi scris ca un produs de polinoame de gradul întâi

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Dacă nu știți nici împărțirea polinoamelor, nici șmecheria cu factorul comun și nici măcar legătura dintre rădăcinile unui polinom și descompunerea acestuia în paranteze, dar vă mai amintiți, totuși, regula lui l'Hôpital, atunci sunteți câștigați, căci cu această regulă puteți calcula orice limite de fracții polinomiale. Problema este că regula lui l'Hôpital poate fi folosită doar atunci când este permisă utilizarea derivatei (cum este cazul la bac), iar derivatele se învață după limite, căci însăși derivata este o limită. Așa că, până la urmă, va trebui să învățați împărțirea polinoamelor, șmecheria cu factorul comun sau descompunerea cu parantezele.

Așadar, presupunând că printr-una dintre metode am reușit să obținem rezultatul împărțirii polinomului de la numărător cu polinomul de la numitor, am ajuns în situația în care putem scrie

$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x-4)=3-4=-1,$$

acesta fiind răspunsul căutat în cazul limitei noastre.

Toate cazurile exceptate sunt echivalente între ele

Am văzut deja două cazuri de nedeterminare în calculul limitelor. Era vorba despre cazurile
$$\frac{\infty}{\infty}$$ și $$\frac{0}{0}.$$

Să arătăm întâi că aceste două cazuri de nedeterminare (sau cazuri exceptate) sunt echivalente, adică pot fi deduse unul dintr-altul. Am văzut într-un material precedent că
$$\frac{1}{\infty}=0.$$

Așadar, din $\frac{0}{0}$ putem obține

$$\color{red}{\frac{0}{0}}=\frac{\frac{1}{\infty}}{\frac{1}{\infty}}=\frac{1}{\infty}\cdot\frac{\infty}{1}=\color{red}{\frac{\infty}{\infty}}.$$



Acum să mai observăm că o operație făcută cu o nedeterminare ne duce tot la o nedeterminare.

De exemplu, dacă înmulțim numărul 5 cu o nedeterminare $\frac{\infty}{\infty}$ obținem nedeterminarea
$$5\cdot\frac{\infty}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}.$$

La fel, dacă înmulțim numărul 8 cu o nedeterminare $\frac{0}{0}$ obținem nedeterminarea
$$8\cdot\frac{0}{0}=\frac{0}{0}.$$

Dacă ridicăm numărul 7 la o putere nedeterminată, vom obține tot o nedeterminare. Sau dacă vom logaritma o nedeterminare vom obține tot o nedeterminare.



Atunci haideți să vedem dacă $\infty\cdot 0$ este nedeterminare. Cum putem pune mereu în loc de 0 expresia $\frac{1}{\infty}$, avem că
$$\color{red}{\infty\cdot 0}=\infty\cdot\frac{1}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}.$$
Așadar, $\infty\cdot 0$ este și ea o nedeterminare.


Dar și $\infty-\infty$ este o nedeterminare, căci am putea da ca „factor comun” pe $\infty$, și am obține
$$\color{red}{\infty-\infty}=\infty\cdot(1-1)=\infty\cdot 0.$$


Logaritmând $\color{red}{1^{\infty}}$ și folosindu-ne de o proprietate a logaritmilor, obținem
$$\ln(1^{\infty})=\infty\ln 1=\infty\cdot 0,$$
deci, nedeterminare.


Sau,
$$\color{red}{0^0}=0^{1-1}=\frac{0}{0},$$
nedeterminare.
La fel
$$\color{red}{\infty^0}=\infty^{1-1}=\frac{\infty}{\infty},$$
altă nedeterminare.

Concluzia este că dacă știți bine că $\color{red}{\frac{\infty}{\infty}}$ este nedeterminare, atunci obțineți toate celelalte nedeterminări

$\color{red}{\frac{0}{0}}$, $\color{red}{\infty\cdot 0}$, $\color{red}{\infty-\infty}$, $\color{red}{1^{\infty}}$, $\color{red}{0^0}$ și $\color{red}{\infty^0}$.

Nu uitați aceste nedeterminări (sau cazuri exceptate), căci ele vă obligă să prelucrați expresia de sub limită înainte de înlocuire.

Nu orice limită poate fi calculată prin simpla înlocuire

În materialele precedente am văzut că anumite limite simple se pot calcula prin simpla înlocuire a variabilei $x$ cu constanta spre care tinde această variabilă. De asemenea, am văzut că dacă variabila tinde spre infinit, limita se complică puțin, dar chiar și în acest caz ea poate fi calculată în situații obișnuite tot prin simpla înlocuire.

Vom arăta acum că există situații extraordinare în care simpla înlocuire nu ne mai ajută. Să începem cu un exemplu. Vrem să calculăm
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}.$$

Prin simpla înlocuire am obține că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=\frac{\infty}{\infty}.$$

Dar noi știm că $\frac{5}{5}=1$, deci și în cazul nostru am fi tentați să scriem că rezultatul este 1. Dar, vai, noi știm că $2\cdot\infty=\infty$, așadar, am putea scrie fără să greșim că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=\frac{\infty}{\infty}=\frac{2\cdot\infty}{\infty}.$$

Acest ultim rezultat ar părea să fie nu 1, ci 2, ceea ce este contradictoriu. Ce ne facem atunci? Ce număr alegem pentru această limită, 1 sau 2?

Păi, nu știm ce să alegem. Suntem indeciși. Suntem în fața unei nedeterminări. Ea ne spune că nu orice limită poate fi rezolvată prin simpla înlocuire. Asemenea nedeterminări trebuie evitate cumva. Cum le-am putea evita? Cum am putea evita nedeterminarea din cazul limitei noastre?

Avem o singură soluție: să nu sărim direct să înlocuim variabila $x$ cu $\infty$, ci să încercăm să prelucrăm expresia înainte de a înlocui.

În cazul nostru concret vom face simplificarea fracției cu variabila $x$ înainte de înlocuirea cu $\infty$ și vom obține
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=\lim_{x\to\infty}1=1.$$

Iată, deci, că prelucrarea expresiei ne scapă de nedeterminarea $\frac{\infty}{\infty}$ și ne dă un rezultat simplu în care nu ne mai chinuim.




Ei bine, problema este că nu doar expresia $\frac{\infty}{\infty}$ este nedeterminare, ci și spre exemplu expresia $\frac{0}{0}$. Aceasta se întâmplă deoarece avem $0=2\cdot 0$, deci putem fi la fel de îndreptățiți să scriem  „egalitatea” ciudată
$$\frac{0}{0}=\frac{2\cdot 0}{0}.$$

Așadar și $\frac{0}{0}$ este o nedeterminare și trebuie să o evităm prin prelucrarea expresiei înainte de înlocuire.

Vom vedea în materialul următor nu doar că mai sunt o grămadă de alte cazuri de nedeterminare, ci și că toate cazurile de nedeterminare sunt echivalente între ele.

Limită când x tinde la infinit din unu pe x

Am văzut în materialul anterior cum se calculează o limită dintre cele mai simple posibile, pe care le poate calcula chiar și un elev de gimnaziu.

Vom face acum un pas suplimentar, către o limită pentru care nu sunt suficiente cunoștințele pe care le poate obține un elev obișnuit la gimnaziu. Este vorba despre limita din titlu, care se scrie simbolic astfel
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}.$$

Ați văzut în materialul precedent că pentru calculul limitelor se începe cu înlocuirea. Adică, cu înlocuirea lui $x$ cu numărul spre care tinde el. În cazul nostru, începem prin înlocuirea lui $x$ cu $\infty$ și obținem, deci, că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\infty}.$$
Înlocuirea o poate face și elevul de gimnaziu, că nu este mare lucru. Că doar nu va pune în locul lui $x$ cine știe ce altă valoare diferită de $\infty$. Deci nu este problema cu înlocuirea. Problema este cu mersul mai departe după înlocuire. Mai exact, elevul de gimnaziu nu știe cât este $\frac{1}{\infty}$.

Dar, dacă cumva ne urmărește un elev de gimnaziu acum (fiți siguri că ne urmărește :)  ), el va afla aici cât este $\frac{1}{\infty}$. Nu vom da răspunsul din prima, ci vom face întâi un mic raționament cu o pâine.

Imaginați-vă că vă duceți cu o pâine într-un loc cu oameni amărâți și flămânzi, precum sunt în Africa. Și doriți să împărțiți acea pâine în mod egal la cât mai mulți oameni. Dacă dați toată pâinea unui singur om, atunci el o va primi pe toată, dar ceilalți vor privi supărați și ne vor acuza de nedreptate.

Dacă doriți să împărțiți pâinea la doi oameni, atunci fiecare va primi doar o jumătate de pâine, dar măcar vor fi doi pe care i-ați hrănit.

Desigur, putem împărți pâinea și la patru oameni, caz în care ei vor primi fiecare câte un sfert de pâine.

Dacă o vom împărți la zece oameni, atunci fiecare va primi doar o zecime de pâine. Așadar, cu cât împărțim în mod egal pâinea la mai mulți oameni flămânzi, cu atât fiecare om va primi o bucățică mai mică de pâine.

Desigur, putem ajunge să ne imaginăm cât va primi fiecare om dacă am împărți o pâine la un milion de oameni flămânzi. Sau chiar la un miliard. Are o pâine un miliard de firimituri? Mă îndoiesc. Sau, cel puțin, firimiturile ar deveni invizibile cu ochiul liber.




Și acum vine întrebarea fundamentală: cât ar primi un om dacă am împărți pâinea la o infinitate de oameni?

Am văzut că bucățile de pâine și firimiturile se micșorează pe măsură ce oamenii se înmulțesc. Și cum această tendință nu are de ce să se schimbe pe măsură ce numărul de oameni devine din ce în ce mai mare, rezultă că și bucata de pâine primită de un om va fi din ce în ce mai mică.

Și atunci, pasul următor este să extrapolăm. Adică, admitem că dacă numărul oamenilor este infinit de mare, atunci firimiturile sunt infinit de mici. Dar „infinit de mic” înseamnă zero! Numai zero este infinit de mic. Firimituri mai mici decât cele de volum zero nu există.

Obținem atunci ceva foarte interesant, profund, filozofic, ceva care contravine oarecum bunului simț și nu-i permite elevului de gimnaziu să înțeleagă o asemenea subtilitate. Obținem că dacă împărțim o pâine la o infinitate de oameni, atunci aceștia nu mai primesc nimic din ea.

Așa că mai bine împărțiți o pâine la un număr mai mic de oameni, căci măcar așa veți fi siguri că ei primesc ceva din pâinea respectivă.

După acest raționament ciudat, vom scrie că
$$\large{\color{red}{\frac{1}{\infty}=0}}.$$

Este o relație despre care se crede că un elev de gimnaziu n-o poate înțelege, motiv pentru care limitele se predau doar la liceu. Căci, elevul de gimnaziu ar putea să calculeze (prin înlocuire) eventual doar limite extrem de simple, în care nu se lucrează cu infiniți, ci se înlocuiește $x$ cu numere obișnuite. Doar că asemenea limite banale sunt aproape inutile.

Așadar, voi să nu uitați niciodată (cel puțin până la bac :) ) că limita din titlu este

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\infty}=0.$$