Ieri vă povesteam cum integrala și derivata „se simplifică” reciproc. Am făcut-o pentru că am avut în minte un gând pentru articolul de astăzi. Căci, vom vedea azi că această formulă de simplificare ne ajută să înțelegem mai bine formula integrării prin părți și ne ajută să ne-o amintim mai ușor la bac dacă din cauza emoțiilor s-ar putea să nu fiți siguri de vreun semn sau ceva.
Așadar, să recapitulăm un pic. Avem nevoie de două lucruri de bază:
formula $$\int(f)^\prime=f$$
și implicația conform căreia din egalitatea $f=g$ rezultă egalitatea $\int f=\int g$ (unde am omis să ne mai strofocăm cu constanta și cu $dx$, ca să se rețină esența).
Acum, haideți să ne amintim de formula de derivare a produsului a două funcții, care ne spune
$$\large{\color{blue}{(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime}}.$$
Ok. Dar, dacă din egalitatea $f=g$ rezultă egalitatea $\int f=\int g$, înseamnă că și din egalitatea
$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime$$
va rezulta egalitatea
$$\int(f\cdot g)^\prime=\int(f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime),$$
unde am pus în paranteză expresia din dreapta ca să se înțeleagă că integrarea se face pentru tot termenul din dreapta egalității.
Mai departe, din faptul că $\int(f)^\prime=f$, obținem că
$$\int(f\cdot g)^\prime=f\cdot g.$$
Înseamnă că putem scrie fără integrală în partea stângă a egalității și avem
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime).$$
Păi, suntem aproape gata. Mai avem de împrăștiat semnul integralei la cei doi termeni, căci $\int(u+v)=\int u+\int v$. Obținem, deci,
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime).$$
Dar aceasta este tocmai formula de integrare prin părți, numai că nu este aranjată așa cum se învață la școală. Haideți să ajungem la forma sub care se învață la școală.
Știm că din $a=b$ rezultă și că $b=a$, căci egalitatea este, evident, comutativă. Așadar, din
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime)$$
rezultă
$$\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime)=f\cdot g.$$
Acum nu ne mai rămâne decât să aruncăm o integrală din stânga în dreapta, unde va ajunge cu semn schimbat, desigur. Pe care vreți s-o aruncăm în dreapta? Căci o putem arunca pe oricare. Eu prefer să o aruncăm pe a doua, deci vom obține
$$\int(f^\prime\cdot g)=f\cdot g-\int(f\cdot g^\prime).$$
În fine, vom scrie formula fără paranteze ca să aveți cât mai puține semne de memorat, concentrându-vă la esențe, și ne vom întipări formula finală de integrare prin părți pe care acum sper că o vedeți cu alți ochi
$$\large{\color{red}{\int f^\prime\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^\prime}}.$$
Așadar, să recapitulăm un pic. Avem nevoie de două lucruri de bază:
formula $$\int(f)^\prime=f$$
și implicația conform căreia din egalitatea $f=g$ rezultă egalitatea $\int f=\int g$ (unde am omis să ne mai strofocăm cu constanta și cu $dx$, ca să se rețină esența).
Acum, haideți să ne amintim de formula de derivare a produsului a două funcții, care ne spune
$$\large{\color{blue}{(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime}}.$$
Ok. Dar, dacă din egalitatea $f=g$ rezultă egalitatea $\int f=\int g$, înseamnă că și din egalitatea
$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime$$
va rezulta egalitatea
$$\int(f\cdot g)^\prime=\int(f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime),$$
unde am pus în paranteză expresia din dreapta ca să se înțeleagă că integrarea se face pentru tot termenul din dreapta egalității.
Mai departe, din faptul că $\int(f)^\prime=f$, obținem că
$$\int(f\cdot g)^\prime=f\cdot g.$$
Înseamnă că putem scrie fără integrală în partea stângă a egalității și avem
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime).$$
Păi, suntem aproape gata. Mai avem de împrăștiat semnul integralei la cei doi termeni, căci $\int(u+v)=\int u+\int v$. Obținem, deci,
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime).$$
Dar aceasta este tocmai formula de integrare prin părți, numai că nu este aranjată așa cum se învață la școală. Haideți să ajungem la forma sub care se învață la școală.
Știm că din $a=b$ rezultă și că $b=a$, căci egalitatea este, evident, comutativă. Așadar, din
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime)$$
rezultă
$$\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime)=f\cdot g.$$
Acum nu ne mai rămâne decât să aruncăm o integrală din stânga în dreapta, unde va ajunge cu semn schimbat, desigur. Pe care vreți s-o aruncăm în dreapta? Căci o putem arunca pe oricare. Eu prefer să o aruncăm pe a doua, deci vom obține
$$\int(f^\prime\cdot g)=f\cdot g-\int(f\cdot g^\prime).$$
În fine, vom scrie formula fără paranteze ca să aveți cât mai puține semne de memorat, concentrându-vă la esențe, și ne vom întipări formula finală de integrare prin părți pe care acum sper că o vedeți cu alți ochi
$$\large{\color{red}{\int f^\prime\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^\prime}}.$$
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.