Pătratul unui număr care se termină cu 5

Mi-am amintit de o șmecherie faină și doresc să v-o împărtășesc repede și vouă. Este vorba despre înmulțirea cu el însuși a unui număr ce se termină cu 5. De exemplu, vreau să știu rapid cât este $75\cdot 75$. Șmecheria este să luăm toată partea din fața lui 5 (în cazul nostru, îl luăm pe 7) și să o înmulțim cu numărul care urmează imediat după el (în cazul nostru, după 7 urmează imediat 8), iar după rezultat să punem $\color{blue}{25}$.

Așadar, în cazul nostru, vom avea $7\cdot 8=\color{red}{56}$, deci $75\cdot 75=\color{red}{56}\color{blue}{25}$.

Desigur, asta este valabil și pentru un număr de trei cifre, nu doar pentru unul cu două precum a fost 75. De exemplu, $125\cdot 125$ este $12\cdot 13=\color{red}{156}$, după care punem 25, așadar, $125\cdot 125=\color{red}{156}\color{blue}{25}$.



Să vedem și o mică demonstrație a acestui fapt drăguț. În general, dacă pornim cu un număr de forma $a\cdot 10+5$ și vrem să-l ridicăm la pătrat, vom avea conform formulei $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,
$$(a\cdot 10+5)^2=(a\cdot 10)^2+2\cdot a\cdot 10\cdot 5+5^2.$$
Așadar, făcând niște calcule, obținem
$$(a\cdot 10+5)^2=a^2\cdot+a\cdot 100+25=a(a+1)\cdot 100+25.$$
Ultimul rezultat reprezintă demonstrația căutată.