Am văzut în materialul anterior cum se calculează o limită dintre cele mai simple posibile, pe care le poate calcula chiar și un elev de gimnaziu.
Vom face acum un pas suplimentar, către o limită pentru care nu sunt suficiente cunoștințele pe care le poate obține un elev obișnuit la gimnaziu. Este vorba despre limita din titlu, care se scrie simbolic astfel
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}.$$
Ați văzut în materialul precedent că pentru calculul limitelor se începe cu înlocuirea. Adică, cu înlocuirea lui $x$ cu numărul spre care tinde el. În cazul nostru, începem prin înlocuirea lui $x$ cu $\infty$ și obținem, deci, că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\infty}.$$
Înlocuirea o poate face și elevul de gimnaziu, că nu este mare lucru. Că doar nu va pune în locul lui $x$ cine știe ce altă valoare diferită de $\infty$. Deci nu este problema cu înlocuirea. Problema este cu mersul mai departe după înlocuire. Mai exact, elevul de gimnaziu nu știe cât este $\frac{1}{\infty}$.
Dar, dacă cumva ne urmărește un elev de gimnaziu acum (fiți siguri că ne urmărește :) ), el va afla aici cât este $\frac{1}{\infty}$. Nu vom da răspunsul din prima, ci vom face întâi un mic raționament cu o pâine.
Imaginați-vă că vă duceți cu o pâine într-un loc cu oameni amărâți și flămânzi, precum sunt în Africa. Și doriți să împărțiți acea pâine în mod egal la cât mai mulți oameni. Dacă dați toată pâinea unui singur om, atunci el o va primi pe toată, dar ceilalți vor privi supărați și ne vor acuza de nedreptate.
Dacă doriți să împărțiți pâinea la doi oameni, atunci fiecare va primi doar o jumătate de pâine, dar măcar vor fi doi pe care i-ați hrănit.
Desigur, putem împărți pâinea și la patru oameni, caz în care ei vor primi fiecare câte un sfert de pâine.
Dacă o vom împărți la zece oameni, atunci fiecare va primi doar o zecime de pâine. Așadar, cu cât împărțim în mod egal pâinea la mai mulți oameni flămânzi, cu atât fiecare om va primi o bucățică mai mică de pâine.
Desigur, putem ajunge să ne imaginăm cât va primi fiecare om dacă am împărți o pâine la un milion de oameni flămânzi. Sau chiar la un miliard. Are o pâine un miliard de firimituri? Mă îndoiesc. Sau, cel puțin, firimiturile ar deveni invizibile cu ochiul liber.
Și acum vine întrebarea fundamentală: cât ar primi un om dacă am împărți pâinea la o infinitate de oameni?
Am văzut că bucățile de pâine și firimiturile se micșorează pe măsură ce oamenii se înmulțesc. Și cum această tendință nu are de ce să se schimbe pe măsură ce numărul de oameni devine din ce în ce mai mare, rezultă că și bucata de pâine primită de un om va fi din ce în ce mai mică.
Și atunci, pasul următor este să extrapolăm. Adică, admitem că dacă numărul oamenilor este infinit de mare, atunci firimiturile sunt infinit de mici. Dar „infinit de mic” înseamnă zero! Numai zero este infinit de mic. Firimituri mai mici decât cele de volum zero nu există.
Obținem atunci ceva foarte interesant, profund, filozofic, ceva care contravine oarecum bunului simț și nu-i permite elevului de gimnaziu să înțeleagă o asemenea subtilitate. Obținem că dacă împărțim o pâine la o infinitate de oameni, atunci aceștia nu mai primesc nimic din ea.
Așa că mai bine împărțiți o pâine la un număr mai mic de oameni, căci măcar așa veți fi siguri că ei primesc ceva din pâinea respectivă.
După acest raționament ciudat, vom scrie că
$$\large{\color{red}{\frac{1}{\infty}=0}}.$$
Este o relație despre care se crede că un elev de gimnaziu n-o poate înțelege, motiv pentru care limitele se predau doar la liceu. Căci, elevul de gimnaziu ar putea să calculeze (prin înlocuire) eventual doar limite extrem de simple, în care nu se lucrează cu infiniți, ci se înlocuiește $x$ cu numere obișnuite. Doar că asemenea limite banale sunt aproape inutile.
Așadar, voi să nu uitați niciodată (cel puțin până la bac :) ) că limita din titlu este
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\infty}=0.$$
Vom face acum un pas suplimentar, către o limită pentru care nu sunt suficiente cunoștințele pe care le poate obține un elev obișnuit la gimnaziu. Este vorba despre limita din titlu, care se scrie simbolic astfel
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}.$$
Ați văzut în materialul precedent că pentru calculul limitelor se începe cu înlocuirea. Adică, cu înlocuirea lui $x$ cu numărul spre care tinde el. În cazul nostru, începem prin înlocuirea lui $x$ cu $\infty$ și obținem, deci, că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\infty}.$$
Înlocuirea o poate face și elevul de gimnaziu, că nu este mare lucru. Că doar nu va pune în locul lui $x$ cine știe ce altă valoare diferită de $\infty$. Deci nu este problema cu înlocuirea. Problema este cu mersul mai departe după înlocuire. Mai exact, elevul de gimnaziu nu știe cât este $\frac{1}{\infty}$.
Dar, dacă cumva ne urmărește un elev de gimnaziu acum (fiți siguri că ne urmărește :) ), el va afla aici cât este $\frac{1}{\infty}$. Nu vom da răspunsul din prima, ci vom face întâi un mic raționament cu o pâine.
Imaginați-vă că vă duceți cu o pâine într-un loc cu oameni amărâți și flămânzi, precum sunt în Africa. Și doriți să împărțiți acea pâine în mod egal la cât mai mulți oameni. Dacă dați toată pâinea unui singur om, atunci el o va primi pe toată, dar ceilalți vor privi supărați și ne vor acuza de nedreptate.
Dacă doriți să împărțiți pâinea la doi oameni, atunci fiecare va primi doar o jumătate de pâine, dar măcar vor fi doi pe care i-ați hrănit.
Desigur, putem împărți pâinea și la patru oameni, caz în care ei vor primi fiecare câte un sfert de pâine.
Dacă o vom împărți la zece oameni, atunci fiecare va primi doar o zecime de pâine. Așadar, cu cât împărțim în mod egal pâinea la mai mulți oameni flămânzi, cu atât fiecare om va primi o bucățică mai mică de pâine.
Desigur, putem ajunge să ne imaginăm cât va primi fiecare om dacă am împărți o pâine la un milion de oameni flămânzi. Sau chiar la un miliard. Are o pâine un miliard de firimituri? Mă îndoiesc. Sau, cel puțin, firimiturile ar deveni invizibile cu ochiul liber.
Și acum vine întrebarea fundamentală: cât ar primi un om dacă am împărți pâinea la o infinitate de oameni?
Am văzut că bucățile de pâine și firimiturile se micșorează pe măsură ce oamenii se înmulțesc. Și cum această tendință nu are de ce să se schimbe pe măsură ce numărul de oameni devine din ce în ce mai mare, rezultă că și bucata de pâine primită de un om va fi din ce în ce mai mică.
Și atunci, pasul următor este să extrapolăm. Adică, admitem că dacă numărul oamenilor este infinit de mare, atunci firimiturile sunt infinit de mici. Dar „infinit de mic” înseamnă zero! Numai zero este infinit de mic. Firimituri mai mici decât cele de volum zero nu există.
Obținem atunci ceva foarte interesant, profund, filozofic, ceva care contravine oarecum bunului simț și nu-i permite elevului de gimnaziu să înțeleagă o asemenea subtilitate. Obținem că dacă împărțim o pâine la o infinitate de oameni, atunci aceștia nu mai primesc nimic din ea.
Așa că mai bine împărțiți o pâine la un număr mai mic de oameni, căci măcar așa veți fi siguri că ei primesc ceva din pâinea respectivă.
După acest raționament ciudat, vom scrie că
$$\large{\color{red}{\frac{1}{\infty}=0}}.$$
Este o relație despre care se crede că un elev de gimnaziu n-o poate înțelege, motiv pentru care limitele se predau doar la liceu. Căci, elevul de gimnaziu ar putea să calculeze (prin înlocuire) eventual doar limite extrem de simple, în care nu se lucrează cu infiniți, ci se înlocuiește $x$ cu numere obișnuite. Doar că asemenea limite banale sunt aproape inutile.
Așadar, voi să nu uitați niciodată (cel puțin până la bac :) ) că limita din titlu este
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\infty}=0.$$
as vrea sa ma ajuti la o limita...
RăspundețiȘtergerelimita cand x tinde la infinit din (e la puterea x - x)
😁
Pentru a calcula o limită, de regulă sărim imediat și înlocuim valoarea lui $x$ cu valoarea spre care trebuie să tindă $x$. Dar, în cazul tău, dacă ne grăbim să înlocuim pe $x$ cu infinit, obținem infinit minus infinit, care este caz exceptat (adică, nu știe nimeni cât este infinit minus infinit).
ȘtergereÎn aceste cazuri, înainte de a face înlocuirea, mai încercăm să prelucrăm expresia cu $x$. Dar $x-x$ este zero. Așa că nu mai avem nicio complicație. Altfel spus, limita cerută este e la puterea zero.
Dar orice număr la puterea zero este unu. Așa că și limita căutată va fi tot unu.
Acest rezultat (unu) este în cazul în care x-x este la exponent. Dacă al doilea x nu este la exponent, limita se calculează, desigur, altfel.
Să presupunem acum că al doilea $x$ nu este la exponent. Mai exact, să presupunem că avem de calculat limita $\lim_{x\to\infty} (e^x-x)$. Atunci, din nou, dacă ne grăbim să înlocuim variabila $x$ cu $\infty$, obținem iar cazul exceptat $\infty-\infty$, deci iar nu e bine și trebuie să facem prelucrări ÎNAINTE de a face înlocuirea.
ȘtergereDar ce prelucrare am putea face, oare? Căutăm o prelucrare care ne salvează de cazul exceptat. În cazul de față ne salvează factorul comun (forțat). Concret, îl dăm pe $x$ factor comun (chiar dacă în primul termen al limitei (deci în termenul $e^x$) nu avem acest factor). Astfel, limita noastră devine $\lim_{x\to\infty} (e^x-x)=\lim_{x\to\infty} x\left(\frac{e^x}{x}-1\right)$.
Sub această formă, limita noastră nu mai este în cazul exceptat $\infty-\infty$. Dar ne mai face mici probleme fracția, căci ea este caz exceptat $\frac{\infty}{\infty}$. Dar asemenea cazuri exceptate se pot rezolva ușor cu ajutorul pe care ni l-a dat l'Hopital. Așadar, în final, limita căutată este $\color{red}{\infty}$.
Nu ezita să mă întrebi amănunte, dacă am lăsat lucruri neînțelese.