Alt sistem de două ecuații cu două necunoscute

Ieri v-am povestit despre cum se rezolvă sistemul foarte simplu
$$\begin{cases}
x+y=5\\
x-y=1
\end{cases}.$$
de două ecuații cu două necunoscute și ați putut observa câteva deosebiri importante dintre metoda substituției și metoda reducerii.

Pentru a înțelege și mai multe despre deosebirile dintre cele două metode, azi vom rezolva următorul sistem ceva mai complex, tot cu două ecuații și cu două necunoscute
$$\begin{cases}
2x+y=5\\
x+2y=1
\end{cases}.$$

De data aceasta, vom putea constata câteva complicații în plus pe care le poate aduce un asemenea sistem. Pentru aceasta, vom începe cu metoda substituției.

Spuneam că prin metoda substituției alegem o necunoscută într-o ecuație, iar rezultatul îl punem în celelalte ecuații. Azi vom vedea în ce fel contează care necunoscută alegem să substituim.

Să presupunem, deci, că alegem la întâmplare să înlocuim necunoscuta $x$ din prima ecuație. Din ecuația $2x+y=5$, ducându-l pe y în partea dreaptă a egalității (cu semn schimbat) Obținem că
$$2x=5-y.$$
Acum, îl scoate de aici pe $x$ împărțind toată egalitatea cu 2 și avem că
$$x=\frac{5-y}{2}.$$
Această expresie urâtă cu fracții trebuie să o folosim în doua ecuație $x+2y=1$ și avem
$$\frac{5-y}{2}+2y=1.$$
Acum, pentru a scăpa de numitor, înmulțim această ecuație cu 2 și obținem
$$2\cdot\frac{5-y}{2}+2\cdot 2y=2\cdot 1,$$
adică
$$5-y+4y=2,$$
deci
$$5+3y=2,$$
de unde rezultă că $y=-1$.

Folosind acum valoarea lui $y$ vom putea găsi valoarea lui $x$ dacă ne folosim de una dintre ecuațiile sistemului. Din ecuația $2x+y=5$, obținem $2x-1=5$, adică $2x=5+1$, deci $x=3$.

Să vedem acum dacă erau la fel de complicate calculele în ipoteza că porneam cu substituția de la cea dea doua ecuație, nu de la prima. Mai exact, din ecuația
$$x+2y=1$$
îl scoatem pe $x$ și avem
$$x=1-2y.$$
Înlocuind această valoare în prima ecuație, avem
$$2(1-2y)+y=5,$$
sau
$$2-4y+y=5$$
și încă
$$2-3y=5,$$
deci din nou $y=-1$.

Observați că a doua alegere ne-a scutit de fracții și a permis calcule mai simple. De aceea e bine să alegem de regulă ecuații în care necunoscuta dorită apare fără coeficienți în fața ei (deci, cu coeficientul egal cu 1).




Dar haideți cum să vedem cum rezolvăm acest sistem cu metoda reducerii pentru că acest sistem este mai complicat decât cel de ieri. Ieri am putut să adunăm liniștiți cele două ecuații ale sistemului și ne-am trezit că una dintre necunoscute ($y$) a dispărut ca prin minune (prin reducere).

Astăzi, degeaba adunăm cele două ecuații ale sistemului nostru, pentru că nu ni se va reduce niciuna dintre necunoscute. Astăzi mai trebuie să facem ceva în plus, înainte de a aduna ecuațiile. Mai exact, trebuie să profităm de proprietatea remarcabilă prin care putem înmulți o ecuație cu ce număr vrem noi, fără ca prin aceasta să riscăm ceva privind rezolvarea sistemului.

Să privim încă o dată sistemul nostru de astăzi:
$$\begin{cases}
2x+y=5\\
x+2y=1
\end{cases}.$$

Vrem să înmulțim una dintre ecuații (sau chiar pe ambele, dacă e necesar) cu un număr astfel încât după adunarea celor două ecuații să ni se reducă una dintre necunoscute. Să zicem că vrem să ni se reducă necunoscuta $x$. Atunci, având în vedere că în prima ecuație necunoscuta $x$ are în fața ei coeficientul 2, vom înmulți a doua ecuație cu un număr astfel încât în această ecuație, după înmulțirea cu numărul necesar, necunoscuta $x$ să apară cu același coeficient în față ca și în prima ecuație, doar că acest coeficient să fie de data aceasta cu semn schimbat.

Deci, vrem ca în cea de-a doua ecuație, necunoscuta $x$ să aibă în față coeficientul $-2$. Deocamdată are coeficientul $1$ (atunci când nu apare alt coeficient, înseamnă că e coeficientul $1$). Așadar, trebuie să înmulțim a doua ecuație cu $-2$. Atunci, sistemul nostru va deveni

$$\begin{cases}
2x+y=5\\
(-2)\cdot x+(-2)\cdot 2y=(-2)\cdot 1
\end{cases}.$$

După calcule, sistemul devine

$$\begin{cases}
\,\,\,2x+\,\,y=\,\,5\\
-2x-4y=-2
\end{cases}.$$

Acest sistem este echivalent cu sistemul inițial, deoarece ne furnizează aceleași valori pentru necunoscutele $x$ și $y$. Atâta doar că este un sistem în care putem aduna liniștiți cele două ecuații și ni se va reduce una dintre necunoscute.

Atunci haideți să le adunăm.

$$\begin{cases}
\,\,\,\,\,2x+\,\,y=\,\,5\\
\underline{-2x-4y=-2}
\end{cases}\\
\,\,\backslash\,\,\,\,-3y\,=\,\,3,$$
adică rămâne ecuația cu o necunoscută $-3y=3$, de unde obținem $y=-1$.

Așadar, esența metodei reducerii este de a înmulți două ecuații cu asemenea numere încât să obținem dispariția (reducerea) necunoscutei pe care o alegem. Și sper că prin acest exemplu ați reușit să înțelegeți utilitatea metodei reducerii.