Un sistem de două ecuații cu două necunoscute

Unul dintre cele mai simple sisteme de două ecuații cu două necunoscute este următorul
$$\begin{cases}
x+y=5\\
x-y=1
\end{cases}.$$
Acest sistem ne va permite să înțelegem ușor cum putem rezolva în general asemenea sisteme.

Voi vorbi aici despre două metode mai accesibile, metoda substituției și metoda reducerii, dar despre metoda lui Cramer sau a lui Gauss vom vorbi cu altă ocazie.



Începem cu metoda substituției. Substituție înseamnă înlocuire. Deci metoda substituției este metoda înlocuirii.

Din păcate, metoda substituției este cea mai urâtă, cea mai neelegantă metodă de a rezolva un sistem de ecuații. Dar este și cea mai puternică. Este puternică deoarece cu metoda substituției putem rezolva sisteme (neliniare) foarte complicate pe care nu le mai putem rezolva cu celelalte metode.


Cu metoda substituției sistemul nostru se rezolvă astfel:

-Se alege una dintre ecuații și una dintre necunoscute. În cazul acestui sistem simplu pe care îl avem noi ca exemplu alegerea pe care o facem este destul de arbitrară, căci nu ne afectează prea mult viteza de calcul. Însă, în cazul altor sisteme, e bine să aruncăm un ochi la ecuația și necunoscuta pe care o alegem, în așa fel încât să evităm pe cât posibil fracțiile prea complicate.

Necunoscuta aleasă este cea care vrem să dispară din calculele noaste cât mai repede, iar ecuația aleasă este cea în care necunoscuta aleasă capătă cea mai simplă formă.

Noi vom alege atunci, fără niciun criteriu relevant, prima ecuație și prima necunoscută, deci ecuația
$$x+y=5$$
și necunoscuta $x$.

-Se tratează celelalte necunoscute de parcă ar fi niște numere concrete și se determină necunoscuta aleasă în funcție de celelalte necunoscute. Calculul se face în ecuația aleasă.

În cazul nostru, din ecuația
$$x+y=5,$$
trecând necunoscuta $y$ în partea dreaptă a egalității (așa cum facem cu valorile cunoscute în cazul rezolvării unei ecuații cu o necunoscută), obținem
$$x=5-y.$$

-Valoarea obținută în pasul precedent se înlocuiește în celelalte ecuații peste tot unde apare necunoscuta aleasă .

În cazul nostru, cealaltă ecuație este
$$x-y=1.$$
În această ecuație vom înlocui peste tot unde găsim necunoscuta $x$ cu valoarea corespunzătoare acesteia pe care am găsit-o din prima ecuație, adică cu $5-y$. Deci, vom obține
$$(5-y)-y=1.$$

-După acest pas, a dispărut una dintre necunoscute, iar sistemul a devenit mai simplu cu o necunoscută și cu o ecuație. Din acest moment se repetă pașii precedenți de parcă acum am începe să rezolvăm sistemul.

În cazul nostru, sistemul care avea două ecuații și două necunoscute a devenit un „sistem” cu o singură ecuație (ecuația $(5-y)-y=1$) și cu o singură necunoscută, necunoscuta $y$. Așadar, vom rezolva această ecuație simplă și vom obține
$$5-y-y=1,$$
$$5-2y=1,$$
$$5-1=2y,$$
de unde reiese că $y=2$.

În acest moment, sistemul este aproape rezolvat, doar că în ecuația corespunzătoare primei necunoscute pe care am făcut-o să dispară, în loc de $y$ vom pune valoarea 2. Adică, în ecuația $x=5-y$ vom face $x=5-2$, deci vom obține în final $x=3$.






Deci, cu metoda substituției am terminat. Să vedem acum în ce fel rezolvăm sistemul cu metoda reducerii. Și cu această metodă eliminăm câte o necunoscută, numai că metoda de eliminare este mai elegantă și se bazează pe proprietățile remarcabile ale ecuațiilor.

Aceste proprietăți constă în faptul că înmulțirea unei ecuații cu un număr oarecare sau adunarea a două ecuații ale sistemului între ele (chiar și după ce au fost înmulțite cu un număr) lasă neschimbată esența sistemului, adică lasă neschimbate valorile pe care le obținem pentru necunoscute dacă alegem să trecem de la sistemul inițial la sistemul prelucrat.

Așadar, metoda reducerii ne permite să prelucrăm sistemul cum ne place nouă în așa fel încât să dispară (să se reducă) necunoscute prin adunarea sau scăderea ecuațiilor sistemului (eventual, după înmulțirea în prealabil a acestor ecuații cu numere convenabile care să permită reducerea).

În cazul sistemului nostru suntem fericiți, căci putem face să dispară o necunoscută (necunoscuta $y$) chiar și fără să înmulțim ecuațiile cu vreun număr convenabil. Această dispariție va avea loc dacă vom aduna pur și simplu prima ecuație $x+y=5$ cu cea de-a doua ecuație a sistemului $x-y=1$.

Adunându-le, vom obține
$$\begin{cases}
x+y=5\\
\underline{x-y=1}
\end{cases}\\
2x\,\,\backslash=6,$$
adică $2x=6$, ecuație suficient de banală încât să obținem ușor că $x=3$.

Cam atât pentru astăzi. Mâine vom vedea cum se rezolvă un sistem cu ceva mai complex.