Derivata și integrala "se simplifică" reciproc

Vă povesteam prin 31 august care este relația dintre primitiva $F$ a unei funcții $f$ și funcția însăși. Mai exact, știți că avem formula banală
$$F^\prime=f.$$

De asemenea, mai știm că dacă două funcții sunt egale, deci $f=g$, atunci și integralele lor sunt egale, adică $\int f=\int g$, bineînțeles, fără să uităm de constanta de integrare care face diferența dintre două primitive ale aceleiași funcții.

Mai întâi să înțelegem bine ce ne spune formula $F^\prime=f$ și faptul că egalitatea $f=g$ implică egalitatea $\int f=\int g$. Mai exact, din egalitatea $F^\prime=f$ putem trage și concluzia că $\int(F^\prime)=\int f$.

Dar, din definiția funcției $F$ ca fiind o primitivă a funcției $f$, știm că $\inf f=F$. Deci, putem scrie atunci mai departe că că $\int(F^\prime)=\int f=F$. Luând începutul și sfârșitul acestei egalități obținem, de fapt
$$\int(F^\prime)=F.$$

Dar această formulă nu depinde de litera pe care o folosim pentru $F$. Așa că putem scrie și
$$\int(f^\prime)=f$$
sau chiar
$$\int(g^\prime)=g,$$
adică orice literă ne trece nouă prin cap. Și atunci noi vom prefera să rescriem această formulă pentru litera $f$, care este o literă mai folosită. Deci, avem relația deosebită:
$$\large{\color{red}{\int(f^\prime)=f}}.$$
Bineînțeles, nu ne-am bătut capul nici cu constanta irelevantă aici și nici cu semnul $dx$ pe care voi trebuie să le scrieți mereu. Noi am scos aici în evidență doar esența acestei relații importante.

Exemplu

Haideți să vedem treaba asta pe un exemplu. Să vedem dacă relația este adevărată pentru o anumită funcție simplă a cărei integrală o cunoaștem bine, de exemplu, pentru funcția $f=x^2$. Adică, să vedem dacă
$$\int (x^2)^\prime dx=x^2.$$

Pentru aceasta, avem de făcut puțină muncă. Adică, întâi trebuie să derivăm pe $x^2$, după care să calculăm integrala din rezultat. Haideți să vedem. De la derivate știți că avem
$$(x^2)^\prime=2x.$$
Așadar, trebuie să integrăm pe $2x$, deci calculăm $\int 2x dx$.

Această integrală este ușor de calculat dacă știm că constanta iese în față și dacă știm formula
$$\int x^8 dx=\frac{x^9}{9},$$
pardon (că asta nu-i „formulă”), dacă știm formula
$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.$$

Deci,
$$\int 2x dx=2\int x dx=2\int x^1 dx=2\cdot\frac{x^2}{2}=x^2.$$

Iată, deci, că putem spune că
$$\color{blue}{\int (x^2)^\prime dx}=\int 2x dx=\color{blue}{x^2}.$$

Iată, așadar, o grămadă de lucru pentru o nimica toată, când puteam observa de la bun început rezultatul. Tocmai de aceea, aveți mare grijă când întâlniți o asemenea integrală din ceva ce trebuie derivat; nu vă mai chinuiți să derivați după care să integrați derivata, ci pur și simplu scrieți rezultatul direct (cu adăugarea la sfârșit a constantei de integrare, pentru profesorii care nu se mulțumesc cu esența răspunsului).