Dacă reușim să calculăm derivata unei funcții, atunci găsim o mulțime de informații. De exemplu, dacă știm că derivata unei funcții este mereu pozitivă pe o anumită porțiune din mulțimea numerelor reale (porțiune care se numește interval), atunci știm și despre funcția respectivă (deci, despre cea nederivată) că este mereu crescătoare. Și, desigur, acolo unde derivata este mereu negativă, funcția este mereu descrescătoare.
Pentru o funcție crescătoare, la un $x$ din ce în ce mai mare îi corespunde un $y$ din ce în ce mai mare, iar la o funcție descrescătoare este invers, adică la un $x$ din ce în ce mai mare îi corespunde un $y$ din ce în ce mai mic.
Așadar, pentru o funcție crescătoare, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{red}{\geq 0}$$
va avea mereu semnul plus pentru că cele două diferențe vor avea mereu același semn.
În schimb, pentru o funcție descrescătoare, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{blue}{\leq 0}$$
va avea mereu semnul minus pentru că cele două diferențe vor avea mereu semn contrar.
Și cum derivata nu este altceva decât tocmai o limită de asemenea fracții, reiese astfel de ce semnul derivatei ne dă informații despre monotonia funcției.
Dar, oare ce se întâmplă acolo unde derivata nu e nici pozitivă și nici negativă (sau e și pozitivă și negativă, cum preferați), deci este nulă? Cum va fi funcția acolo? Păi, încercăm să deducem logic: pe intervalul pe care derivata este nulă, funcția nu va fi nici crescătoare și nici descrescătoare, ci va avea mereu aceleași valori peste tot, adică va fi constantă.
Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa OX.
Observăm atunci că pentru o funcție constantă, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{limegreen}{= 0}$$
va avea mereu valoarea nulă pentru că numărătorul ei va fi mereu nul.
Așadar, putem concluziona următoarele:
Pentru o funcție crescătoare, la un $x$ din ce în ce mai mare îi corespunde un $y$ din ce în ce mai mare, iar la o funcție descrescătoare este invers, adică la un $x$ din ce în ce mai mare îi corespunde un $y$ din ce în ce mai mic.
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{red}{\geq 0}$$
va avea mereu semnul plus pentru că cele două diferențe vor avea mereu același semn.
În schimb, pentru o funcție descrescătoare, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{blue}{\leq 0}$$
va avea mereu semnul minus pentru că cele două diferențe vor avea mereu semn contrar.
Și cum derivata nu este altceva decât tocmai o limită de asemenea fracții, reiese astfel de ce semnul derivatei ne dă informații despre monotonia funcției.
Dar, oare ce se întâmplă acolo unde derivata nu e nici pozitivă și nici negativă (sau e și pozitivă și negativă, cum preferați), deci este nulă? Cum va fi funcția acolo? Păi, încercăm să deducem logic: pe intervalul pe care derivata este nulă, funcția nu va fi nici crescătoare și nici descrescătoare, ci va avea mereu aceleași valori peste tot, adică va fi constantă.
Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa OX.
Observăm atunci că pentru o funcție constantă, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{limegreen}{= 0}$$
va avea mereu valoarea nulă pentru că numărătorul ei va fi mereu nul.
Așadar, putem concluziona următoarele:
- Dacă derivata unei funcții este pozitivă (și nenulă) pe un anumit interval, atunci putem trage liniștiți concluzia că funcția respectivă este (strict) crescătoare pe acel interval;
- Dacă derivata unei funcții este negativă (și nenulă) pe un anumit interval, atunci putem trage liniștiți concluzia că funcția respectivă este (strict) descrescătoare;
- Dacă derivata unei funcții este nulă pe un anumit interval, atunci putem trage liniștiți concluzia că funcția respectivă este constantă.
Parantezele de mai sus se corespund, adică dacă derivata funcției este pe deasupra și nenulă, atunci funcția este strict monotonă (deci, strict crescătoare sau strict descrescătoare, deci doar în urcare sau doar în coborâre). Altfel, funcția poate fi și constantă pe undeva, nu doar în urcare sau în coborâre.
Foarte bun articolul, multumesc!
RăspundețiȘtergereMulțumesc și eu! Mă bucur că a fost util!
Ștergere