Problemă cu intersecție între două grafice

Azi rezolvăm o problemă. Fie funcțiile $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, date prin $f(x)=x^2-3x+2$ și, respectiv, $g(x)=x+2$. Să se determine abscisele punctelor de intersecție dintre cele două grafice.

Întotdeauna, în locul în care se intersectează două grafice funcțiile sunt egale. Așadar, pornim întotdeauna de la egalitatea
$$f(x)=g(x).$$

Această egalitate (care este o ecuație în $x$) ne va furniza valorile absciselor punctelor de intersecție, deci valorile lui $x$ în care cele două funcții sunt egale.

În cazul nostru concret, avem
$$x^2-3x+2=x+2.$$

Trecând conținutul din dreapta în stânga, obținem
$$x^2-3x+2-x-2=0,$$
adică
$$x^2-4x=0.$$
Această ecuație de gradul doi ne furnizează două rădăcini, pe care le putem găsi repede dacă dăm factor comun pe $x$, ecuația devenind
$$x(x-4)=0.$$
Cum un produs de numere reale este nul doar atunci când cel puțin unul dintre factori este nul, avem rădăcinile $x_1=0$ și $x_2=4$.

Așadar, punctele de intersecție au abscisele $x_1=0$ și $x_2=4$.

Observați că dacă punem valorile acestor abscise ($x_1$ și, respectiv, $x_2$), pe rând, în cele două funcții $f(x)$ și $g(x)$ (înlocuindu-l pe $x$ în fiecare funcție cu $x_1$ și, respectiv, cu $x_2$), obținem aceeași valoare pentru ordonată în ambele funcții. 

De exemplu, dacă punem prima abscisă, adică $x_1=0$, în funcția $f(x)=x^2-3x+2$ obținem ordonata $y_1=0^2-3\cdot 0+2=2$, iar dacă punem prima abscisă în funcția $g(x)=x+2$ obținem ordonata $y_1=0+2=2$, adică obținem aceeași valoare.

Și, desigur, același lucru este valabil și pentru cea de-a doua abscisă, care ne furnizează o ordonată egală cu 6 în ambele funcții.

Observați că, pentru a găsi ordonatele, din moment ce ele sunt aceleași pentru ambele funcții, e mai bine să folosim funcția mai simplă pentru a le obține (în cazul nostru, e mai bine să folosim funcția $g(x)=x+2$).

În concluzie, dacă primiți o problemă cu intersecție de grafice, va trebui să egalați cele două funcții și să rezolvați ecuația în $x$ care apare după această egalare. Rezolvând ecuația, veți obține abscisele. Apoi, dacă vi se vor cere și ordonatele, veți înlocui abscisele în funcția mai simplă, iar ordonatele vor apărea ca prin minune.