În materialul precedent vorbeam despre o limită simplă în care $x$ tindea spre $\infty$. De ce era ea simplă? Pentru că, atât la numărător, cât și la numitor, am avut câte un polinom amărât de gradul întâi. Și am aflat acolo că e ceva cu raportul coeficienților.
Vrem să clarificăm acum ce se întâmplă cu acest raport al coeficienților, în general, când ne permitem libertatea să ne jucăm în fracțiile noastre cu orice fel de polinom, atât la numărător, cât și la numitor.
Știm că orice polinom poate fi scris în forma canonică, adică forma în care începem cu monoamele de gradul cel mai mare și continuăm frumos cu monoamele de grad din ce în ce mai mic. De exemplu, forma canonică a polinomului $x+3x^2-2x^3+1$ este $-2x^3+3x^2+x+1$. Deci, monomul de gradul cel mai mare în cazul nostru este $-2x^3$. Acesta este monomul principal al polinomului.
În calculul limitelor noastre nu vom avea nevoie de altceva, decât de monomul principal al fiecăruia dintre polinoamele care apar la numărător, respectiv, la numitor. Haideți să vedem.
Să presupunem că ni se cere să calculăm următoarea limită
$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5\color{red}{+3x^6}-2x+1}{3x\color{red}{-x^6}+2+4x^2-8x^4}.$$
Observați că nici numărătorul și nici numitorul nu sunt aranjați frumos în ordine canonică, începând cu gradul cel mai mare. Nicio problemă. Nu ne speriem noi de așa ceva. Dimpotrivă, vom căuta cu grijă unde se află monomul de gradul cel mai mare la numărător și la numitor și vom avea „nesimțirea” să nu mai băgăm în seamă celelalte monoame!
Altfel spus, limita raportului dintre cele două polinoame se reduce drastic la limita raportului monoamelor principale. Așadar, avem
$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5\color{red}{+3x^6}-2x+1}{3x\color{red}{-x^6}+2+4x^2-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{\color{red}{+3x^6}}{\color{red}{-x^6}}.$$
Iar de aici încolo știți să mergeți mai departe, nu-i așa? Căci nu vă rămâne decât să simplificați fracția $\frac{+3x^6}{-x^6}$ cu $x^6$ și obținem că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5+3x^6-2x+1}{3x-x^6+2+4x^2-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^6}{-x^6}=\frac{3}{-1}=-3.$$
Mai rămâne să vedem ce facem în cazul în care gradele monoamelor principale de la numărător și numitor sunt diferite, nu egale, cum era în cazul simplu de mai sus. Oare credeți că în acest caz se modifică ceva? Nici vorbă! Dimpotrivă, în acest caz, după simplificare, nici măcar nu mai obținem caz exceptat!
Să luăm repede un exemplu clar. Fie de calculat limita
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5+3x^8-5x}{12x^3+6x^6+2-4x^7-8x^4}.$$
Căutăm, desigur, monoamele principale ale celor două polinoame și avem
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5\color{red}{+3x^8}-5x}{12x^3+6x^6+2\color{red}{-4x^7}-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{+3x^8}{-4x^7}.$$
Simplificăm cu $x^7$ și avem, deci
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5+3x^8-5x}{12x^3+6x^6+2-4x^7-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{+3x}{-4}=-\infty.$$
Ce credeți că am fi obținut dacă gradul mai mare era la numitor? Păi, ia imaginați-vă că ați primi să calculați limita fracției răsturnate de mai sus. Ce ați obține? Nimic altceva decât răsturnatul lui $-\infty$, adică $\frac{1}{-\infty}$, adică $0$.
O mică concluzie, deci:
Vrem să clarificăm acum ce se întâmplă cu acest raport al coeficienților, în general, când ne permitem libertatea să ne jucăm în fracțiile noastre cu orice fel de polinom, atât la numărător, cât și la numitor.
Știm că orice polinom poate fi scris în forma canonică, adică forma în care începem cu monoamele de gradul cel mai mare și continuăm frumos cu monoamele de grad din ce în ce mai mic. De exemplu, forma canonică a polinomului $x+3x^2-2x^3+1$ este $-2x^3+3x^2+x+1$. Deci, monomul de gradul cel mai mare în cazul nostru este $-2x^3$. Acesta este monomul principal al polinomului.
În calculul limitelor noastre nu vom avea nevoie de altceva, decât de monomul principal al fiecăruia dintre polinoamele care apar la numărător, respectiv, la numitor. Haideți să vedem.
Cazul gradelor egale
Să presupunem că ni se cere să calculăm următoarea limită
$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5\color{red}{+3x^6}-2x+1}{3x\color{red}{-x^6}+2+4x^2-8x^4}.$$
Observați că nici numărătorul și nici numitorul nu sunt aranjați frumos în ordine canonică, începând cu gradul cel mai mare. Nicio problemă. Nu ne speriem noi de așa ceva. Dimpotrivă, vom căuta cu grijă unde se află monomul de gradul cel mai mare la numărător și la numitor și vom avea „nesimțirea” să nu mai băgăm în seamă celelalte monoame!
Altfel spus, limita raportului dintre cele două polinoame se reduce drastic la limita raportului monoamelor principale. Așadar, avem
$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5\color{red}{+3x^6}-2x+1}{3x\color{red}{-x^6}+2+4x^2-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{\color{red}{+3x^6}}{\color{red}{-x^6}}.$$
Iar de aici încolo știți să mergeți mai departe, nu-i așa? Căci nu vă rămâne decât să simplificați fracția $\frac{+3x^6}{-x^6}$ cu $x^6$ și obținem că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5+3x^6-2x+1}{3x-x^6+2+4x^2-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^6}{-x^6}=\frac{3}{-1}=-3.$$
Cazul gradelor diferite
Cazul gradului mai mare la numărător
Să luăm repede un exemplu clar. Fie de calculat limita
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5+3x^8-5x}{12x^3+6x^6+2-4x^7-8x^4}.$$
Căutăm, desigur, monoamele principale ale celor două polinoame și avem
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5\color{red}{+3x^8}-5x}{12x^3+6x^6+2\color{red}{-4x^7}-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{+3x^8}{-4x^7}.$$
Simplificăm cu $x^7$ și avem, deci
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5+3x^8-5x}{12x^3+6x^6+2-4x^7-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{+3x}{-4}=-\infty.$$
Cazul gradului mai mare la numitor
O mică concluzie, deci:
- Dacă la numărător gradul este mai mare, atunci obținem ca limită ceva cu infinit (poate fi minus infinit);
- Dacă la numitor gradul este mai mare, atunci obținem ca limită zero.
Mult spor s-aveți!
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.