Parte stabilă

Fie $M=(2,\infty)$ și operația $x\circ y=6-2x-2y+xy$. Să se demonstreze că mulțimea $M$ este parte stabilă în raport cu operația $\circ$.


Pentru a demonstra că o mulțime este parte stabilă în raport cu o operație anume este necesar să demonstrăm că operația respectivă ne dă ca rezultat numai elemente din mulțimea respectivă (dacă operăm cu elemente din mulțimea aleasă).

Așadar, în cazul nostru, va trebui să arătăm că dacă vom compune (cu operația $\circ$) două numere din mulțimea $M=(2,\infty)$ (deci, două numere mai mari decât 2), atunci vom obține ca rezultat tot un număr mai mare decât 2.

Cum am putea face acest lucru? Cum am putea să demonstrăm că
$$cevamaimareca 2\circ cevamaimareca 2$$
ne dă ca rezultat
$$cevamaimareca 2?$$



Pornim de la o șmecherie (pe care o puteți considera regulă). Dacă ceva este mai mare decât 2, atunci ceva-ul acela minus 2 va fi mai mare decât 0. Adică, simbolic, dacă $x>2$ și $y>2$, atunci $x-2>0$ și $y-2>0$. Deci, $x-2$ este ceva cu plus. Și la fel $y-2$ este ceva cu plus.

Bine, bine, dar ce facem cu astea? Păi, ceva cu plus înmulțit cu ceva cu plus ne dă tot ceva cu plus. Mai exact, dacă înmulțim pe $(x-2)$ cu $(y-2)$ vom obține tot ceva cu plus. Aceasta este esența mișcării noastre!

Acum, ne mai trebuie o altă șmecherie (pe care, de asemenea, o puteți considera o regulă). De regulă, legile de compoziție pe care le veți întâlni în asemenea cazuri vor conține un produs de paranteze de genul $(x-2)(y-2)$, produs de care vom avea mare nevoie pe mai departe.



Cu aceste două „șmecherii” în minte, facem următorul raționament. Întâi verificăm dacă legea noastră $x\circ y=6-2x-2y+xy$ conține produsul nostru mult dorit.

Păi, să vedem. Ca să verificăm dacă legea noastră conține produsul, vom alege calea prin care verificăm prin ce diferă produsul de legea noastră. Mai exact, vom desface parantezele produsului și vom vedea apoi care sunt deosebirile dintre produs și lege.

Avem atunci
$$(x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4.$$
Iar legea noastră este
$$x\circ y=6-2x-2y+xy=xy-2x-2y+6.$$

Ce observăm? Că legea se termină cu 6, nu cu 4. Atunci ce avem de făcut? Simplu. Putem scrie că legea este produsul plus 2. Adică, avem
$$x\circ y=(x-2)(y-2)+2.$$

Această ultimă relație, împreună cu cele două „șmecherii” anterioare, ne apropie de finalul demonstrației pe care trebuie să o facem.



N-ați uitat că noi trebuie să demonstrăm că operând cu numere mai mari ca 2 trebuie să obținem tot un număr mai mare ca 2. De asemenea, n-ați uitat că din faptul că $x>2$ obținem $(x-2)>0$ și din $y>2$ obținem $(y-2)>0$, deci $(x-2)$ e cu plus și $(y-2)$ este și el cu plus.

Dar, ați văzut mai sus, ceva cu plus ori ceva cu plus este și el ceva cu plus, adică, mai mare ca zero. Așadar,
$$(x-2)(y-2)>0.$$

Și cum legea noastră este produsul la care mai adăugăm un 2, adică
$$x\circ y=(x-2)(y-2)+2,$$

înseamnă că legea noastră este, de fapt,

$$x\circ y=ceva cu plus+2.$$

Dar $ceva cu plus+2$ este mai mare decât 2. Înseamnă că 

$$x\circ y>2.$$

Și cum mulțimea $M=(2,\infty)$ conține tocmai numerele mai mari ca doi, putem scrie că 

$$x\circ y\in M.$$

Așadar, din $x\in M$ și $y\in M$ am obținut că $x\circ y\in M$. Dar tocmai acest lucru a trebuit să-l demonstrăm. El ne dă dreptul să afirmăm că mulțimea $M=(2,\infty)$ este parte stabilă în raport cu operația $\circ$.

Desigur, nu orice mulțime poate fi parte stabilă a unei operații. De exemplu, mulțimea $M=(0,\infty)$ nu ar fi fost parte stabilă pentru operația noastră, căci există numere din $M$ care dau prin compunere un număr mai mic decât 0. Găsiți două asemenea exemple.