Nu orice limită poate fi calculată prin simpla înlocuire

În materialele precedente am văzut că anumite limite simple se pot calcula prin simpla înlocuire a variabilei $x$ cu constanta spre care tinde această variabilă. De asemenea, am văzut că dacă variabila tinde spre infinit, limita se complică puțin, dar chiar și în acest caz ea poate fi calculată în situații obișnuite tot prin simpla înlocuire.

Vom arăta acum că există situații extraordinare în care simpla înlocuire nu ne mai ajută. Să începem cu un exemplu. Vrem să calculăm
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}.$$

Prin simpla înlocuire am obține că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=\frac{\infty}{\infty}.$$

Dar noi știm că $\frac{5}{5}=1$, deci și în cazul nostru am fi tentați să scriem că rezultatul este 1. Dar, vai, noi știm că $2\cdot\infty=\infty$, așadar, am putea scrie fără să greșim că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=\frac{\infty}{\infty}=\frac{2\cdot\infty}{\infty}.$$

Acest ultim rezultat ar părea să fie nu 1, ci 2, ceea ce este contradictoriu. Ce ne facem atunci? Ce număr alegem pentru această limită, 1 sau 2?

Păi, nu știm ce să alegem. Suntem indeciși. Suntem în fața unei nedeterminări. Ea ne spune că nu orice limită poate fi rezolvată prin simpla înlocuire. Asemenea nedeterminări trebuie evitate cumva. Cum le-am putea evita? Cum am putea evita nedeterminarea din cazul limitei noastre?

Avem o singură soluție: să nu sărim direct să înlocuim variabila $x$ cu $\infty$, ci să încercăm să prelucrăm expresia înainte de a înlocui.

În cazul nostru concret vom face simplificarea fracției cu variabila $x$ înainte de înlocuirea cu $\infty$ și vom obține
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=\lim_{x\to\infty}1=1.$$

Iată, deci, că prelucrarea expresiei ne scapă de nedeterminarea $\frac{\infty}{\infty}$ și ne dă un rezultat simplu în care nu ne mai chinuim.




Ei bine, problema este că nu doar expresia $\frac{\infty}{\infty}$ este nedeterminare, ci și spre exemplu expresia $\frac{0}{0}$. Aceasta se întâmplă deoarece avem $0=2\cdot 0$, deci putem fi la fel de îndreptățiți să scriem  „egalitatea” ciudată
$$\frac{0}{0}=\frac{2\cdot 0}{0}.$$

Așadar și $\frac{0}{0}$ este o nedeterminare și trebuie să o evităm prin prelucrarea expresiei înainte de înlocuire.

Vom vedea în materialul următor nu doar că mai sunt o grămadă de alte cazuri de nedeterminare, ci și că toate cazurile de nedeterminare sunt echivalente între ele.