Derivata este o limită

Să presupunem că ni se cere să găsim care este derivata funcției $f(x)=x^2$. Noi știm că răspunsul este simplu, adică $2x$, dar vrem să scoatem clar în evidență modul în care se obține acest răspuns.

Există două definiții echivalente ale derivatei. Una se scrie astfel

$$f^\prime(ceva)=\lim_{x\to ceva}\frac{f(x)-f(ceva)}{x-ceva},$$

iar a doua se scrie

$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

A doua derivată se obține din prima dacă înlocuim în prima definiție peste tot unde vedem $ceva$ cu $x$ și peste tot unde a fost $x$ în prima definiție înlocuim cu $x+h$.



Eu prefer să folosesc acum cea de-a doua definiție, pentru că obțin direct rezultatul cu $x$, nu cu $ceva$. Folosind  a doua definiție, vom arăta că
$$(x^2)^\prime=2x.$$

Să trecem la treabă. Funcția noastră pe care trebuie s-o derivăm este, deci, $f(x)=x^2$. Definiția ne spune că
$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Deci, vom înlocui în cazul nostru peste tot unde vedem $f(x)$ cu $x^2$ și peste tot unde vedem $f(x+h)$ cu $(x+h)^2$. Așadar,
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}.$$

Dar din formulele de calcul prescurtat noi știm că $(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$. Deci, calculul nostru devine
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}.$$

Dar se observă că la numărător se reduce $x^2$ cu $-x^2$, deci rămâne
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}.$$

Cum această limită este în continuare un caz exceptat de tipul $\frac{0}{0}$, rezultă că trebuie să prelucrăm cumva mai departe expresia $\frac{2xh+h^2}{h}$ ca să scăpăm de cazul exceptat.

Pentru aceasta, vom observa că putem da factor comun pe $h$ în expresia $2xh+h^2$. Astfel, calculul nostru devine acum
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{h\cdot(2x+h)}{h}.$$
Acum putem simplifica fracția noastră cu $h$ și ne rămâne
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}(2x+h)$$
care nu mai este caz exceptat. Mai exact, trecând la limită și egalându-l acum pe $h$ cu $0$ fără frica de a mai obține vreun caz exceptat, obținem
$$\large{\color{red}{(x^2)^\prime}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=\color{red}{2x}}.$$

Ați văzut aici, așadar, un exemplu simplu care arată în ce mod derivata este o limită.