Integrala definită e o sumă infinită

Vă place titlul? Forma lui versificată v-ar putea ajuta să rețineți formula interesantă pe care o vom scrie cu roșu în acest articol.

Să presupunem că vrem să calculăm următoarea limită:
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}.$$
Altfel spus, ni se cere să adunăm 5 termeni
$$\frac{1}{5^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^2}+\frac{5}{5^2},$$
atunci când în loc de 5 punem numere din ce în ce mai mari, până la cel mai mare număr posibil, deci până la infinit.

Observați rapid că avem o metodă băbească de a calcula această sumă (voi folosi întâi suma cu 5 termeni): dăm factor comun pe $\frac{1}{5^2}$, după care calculăm suma termenilor progresiei aritmetice simple $1+2+3+4+5$ rămase (care este o sumă Gauss simplă). Concret, cum suma termenilor progresiei este $\frac{5\cdot 6}{2}$, obținem
$$\frac{1}{5^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^2}+\frac{5}{5^2}=\frac{5\cdot 6}{2\cdot 25}=\frac{6}{2\cdot 5}.$$
Desigur, acest rezultat se modifică (se micșorează) pe măsură ce în loc de 5 punem numere din ce în ce mai mari. De exemplu, dacă am pune în loc de 5 numărul 6, am obține ca rezultat numărul $\frac{7}{12}$, care este mai mic decât $\frac{3}{5}$.

Să vedem acum suma în general tot cu metoda băbească. Dăm factor comun pe $\frac{1}{n^2}$ și calculăm suma $1+2+...+n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}$. Așadar, limita căutată va fi
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\cdot(n+1)}{2n^2}.$$
Simplificăm acum cu $n$ și obținem
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}.$$
Calculând această limită simplă, obținem în final cu metoda băbească rezultatul
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}.$$


Să arătăm acum că există o metodă elegantă de a calcula limita cerută, o metodă ce ne scutește de complicații dacă știm să calculăm integrale. Pentru aceasta, ne-a fost dăruită următoarea formulă minunată
$$\large{\color{red}{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx}}.$$

Să vedem cum calculăm atunci limita de mai sus cu formula primită. Trebuie să stabilim doar cum arată $f(x)$ la noi. Noi avem de calculat limita
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}.$$
Această limită va trebui adusă la forma din partea stângă a formulei, ca să putem descoperi cum arată la noi $f(x)$. Așadar, vom muta unul dintre cele două $n$-uri de la numitor în fața sumei și vom obține
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}.$$
Acum luăm expresia de după sumă din limita noastră de calculat și o egalăm cu expresia de după sumă din formulă și obținem
$$\frac{k}{n}=f\left(\frac{k}{n}\right).$$
Dar această egalitate ne spune deja cum arată $f(x)$. Pentru că nu avem decât să înlocuim pe $\frac{k}{n}$ cu $x$ și obținem
$$x=f(x),$$
adică
$$f(x)=x.$$
Cu acestea, limita noastră devine
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}=\int_0^1 x dx=\left.\frac{x^2}{2}\right\vert_0^1=\frac{1}{2}.$$
Deci, am obținut același rezultat ca în cazul obținut cu metoda băbească.


Desigur, metoda elegantă este mult mai utilă, căci poate fi aplicată mult mai multor sume, chiar mai complicate decât exemplul nostru anterior, așa cum este posibil să întâlniți la bac.