Faceți căutări pe acest blog

luni, 6 octombrie 2014

Elemente inversabile


După ce am aflat care este elementul neutru al operației $x\circ y=6-2x-2y+xy$ (am văzut că $e=3$), a venit vremea să vorbim despre elementele inversabile corespunzătoare acestei operații.

Elementele inversabile, notate cu $x^\prime$, se pot afla din relația
$$x\circ x^\prime=e$$
sau din relația
$$x^\prime\circ x=e,$$
căci
$$x\circ x^\prime=x^\prime\circ x.$$

Pentru adunare, elementele inversabile sunt cele opuse. De exemplu, „inversul” lui 5 față de adunare este opusul lui $5$, adică $\color{red}{-5}$, deoarece $5+(-5)=0$, căci elementul neutru al adunării este $0$. Adică adunarea dintre un număr și opusul său este tocmai egală cu elementul neutru al adunării.

La fel, pentru înmulțire, elementele inversabile sunt inversele. Mai exact, „inversul” lui 5 față de înmulțire este inversul lui $5$, adică $\color{blue}{5^{-1}}=\frac{1}{5}$, deoarece $5\cdot\frac{1}{5}=1$, căci elementul neutru al înmulțirii este $1$.

Ați observat că, având în vedere faptul că adunarea și înmulțirea sunt cele mai importante operații cunoscute, ele au câte un nume special pentru elementele inversabile. Mai exact, elementele inversabile pentru adunare se numesc „opuși”, iar elementele inversabile pentru înmulțire se numesc tocmai „inverși”.




Ne rămâne să vedem care sunt elementele inversabile pentru operația noastră, astfel încât compunerea cu ele să dea elementul neutru al operației noastre, care element neutru este de data aceasta, după cum am văzut, $3$.

Pornim de la relația
$$x^\prime\circ x=3,$$
adică
$$(x^\prime-2)(x-2)+2=3.$$

Îl trecem pe $2$ în dreapta egalității și obținem
$$(x^\prime-2)(x-2)=3-2=1.$$

Nu uitați că noi trebuie să-l obținem pe $x^\prime$ în funcție de $x$. Din relația anterioară, împărțind-o cu $x-2$, mai putem scrie

$$x^\prime-2=\frac{1}{x-2}.$$

Acum ne mai încurcă acel $-2$ de lângă $x^\prime$, pe care îl vom trece în dreapta ca să scăpăm și de el. Vom avea așadar egalitatea
$$\color{limegreen}{x^\prime=\frac{1}{x-2}+2}.$$

Și asta-i tot. Am găsit cum arată elementele inversabile $x^\prime$, atunci când cunoaștem elementele neinversate $x$.



Să luăm un exemplu de inversare. Vrem să vedem care este inversul lui 5 față de operația noastră. Formula ne spune că, înlocuindu-l pe $x$ cu 5, vom obține
$$5^\prime=\frac{1}{5-2}+2=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}.$$

Deci, inversul lui $5$ este $\frac{7}{3}$. Desigur, și inversul lui $\frac{7}{3}$ va fi $5$, pentru că
$$\left(\frac{7}{3}\right)^\prime=\frac{1}{\frac{7}{3}-2}+2=\frac{1}{\frac{1}{3}}+2=3+2=5.$$

În general
$$(x^\prime)^\prime=x,$$
adică, inversarea repetată de două ori ne dă rezultatul de la care am pornit cu inversarea. Mai putem spune că „inversul inversului este neinversul”.