Asimptotele pe care le învățați în liceu sunt niște drepte. Punct. Așa că, dacă vi se cere să determinați asimptotele, de fapt vi se cere să determinați niște drepte. Prin urmare, rezultatul trebuie să fie tocmai ecuația unei drepte, nu altceva. Nu un număr, nu un cuvânt, ci ecuația unei drepte.
Există trei feluri principale de asimptote în plan, așa cum există trei feluri principale de drepte în plan. Mai exact, există asimptote (deci, drepte) orizontale, asimptote verticale și asimptote oblice.
Desigur, în ultimă instanță, toate dreptele pot fi considerate ca fiind drepte oblice, doar că unghiul de înclinare poate fi și de 0 grade și poate fi și de 90 de grade. Așadar, am putea spune că asimptotele oblice sunt cele mai importante.
Cu toate acestea, noi vom discuta aici numai despre cazul particular de asimptote oblice în care unghiul este 0 grade (asimptote orizontale) sau 90 de grade (asimptote verticale), lăsând discuția despre asimptotele oblice pentru altă ocazie.
Totuși, încă nu v-am spus cu adevărat ce sunt asimptotele. V-am spus că ele sunt niște drepte, dar nu v-am spus încă de ce nu ne mulțumim să le spunem în continuare doar „drepte” și ne încăpățânăm să facem pe deștepții și le spunem așa pompos „asimptote”. Ei bine, le spunem „asimptote” pentru că ele sunt niște drepte mai speciale, niște drepte de care se apropie necontenit graficul unei funcții.
Un exemplu bun de funcție al cărei grafic ne scoate bine în evidență asimptotele este funcția $f(x)=\frac{1}{x}$. Graficul acestei funcții este următorul:
Observați că graficul acestei funcții (cel desenat cu albastru) se apropie de două drepte care apar în desen cu linie punctată. Una dintre aceste drepte este o dreaptă orizontală (de la stânga la dreapta), iar cealaltă dreaptă este verticală (de jos în sus).
Dar cum adică „se apropie”? Ce înseamnă că graficul se apropie de o anumită dreaptă, de o anumită asimptotă? Înseamnă că pentru o anumită valoare limită a parametrului $x$, graficul funcției date devine tocmai identic cu asimptota respectivă.
Altfel spus, pentru valorile asimptotice ale lui $x$ putem scrie întotdeauna egalitatea între ecuația graficului funcției (care este exprimată prin $y=f(x)$) și ecuația dreptei asimptote (care este exprimată în general prin $y=mx+n$). Deci, pentru valorile asimptotice ale lui $x$ avem întotdeauna
$$f(x)=mx+n.$$
În cazul funcției noastre, dacă parametrul $x$ devine infinit (sau minus infinit), funcția devine $y=f(\pm\infty)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\pm\infty}=0$. Dar ecuația $y=0$ reprezintă tocmai ecuația dreptei orizontale OX, așadar, această dreaptă este asimptota orizontală a funcției date, atât către $\infty$, cât și către $-\infty$.
În general, vă puteți da seama „din ochi” cam ce asimptotă va avea o funcție dacă ea este reprezentată de o fracție de polinoame. Pentru aceasta comparați gradul numărătorului cu gradul numitorului. Dacă cele două grade sunt egale sau gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului, atunci fracția are asimptotă orizontală.
Acum povestim despre asimptota verticală a funcției. Ecuația unei asimptote verticale este întotdeauna de forma $x=un număr$. Acel număr se găsește studiind unde devine infinită (sau minus infinită) funcția.
Așadar, asimptota verticală este un fel de inversă a asimptotei orizontale, căci în timp ce în cazul asimptotei orizontale cel care era infinit era parametrul $x$, în cazul asimptotei verticale, cel care trebuie să fie infinit este parametrul $y=f(x)$.
Deci, pentru a găsi asimptota verticală în cazul funcției noastre trebuie să găsim acel număr care pus în locul lui $x$ face ca funcția să fie infinită sau minus infinită. Care o fi acest număr? Când devine infinită o fracție de forma $\frac{1}{x}$? Bineînțeles, atunci când numitorul se anulează.
Prin urmare, ecuația asimptotei verticale corespunzătoare funcției noastre dată ca exemplu este $x=0$, căci dacă punem în locul lui $x$ valoarea 0 în expresia funcției $\frac{1}{x}$ obținem valoarea $\pm\infty$.
Există trei feluri principale de asimptote în plan, așa cum există trei feluri principale de drepte în plan. Mai exact, există asimptote (deci, drepte) orizontale, asimptote verticale și asimptote oblice.
Desigur, în ultimă instanță, toate dreptele pot fi considerate ca fiind drepte oblice, doar că unghiul de înclinare poate fi și de 0 grade și poate fi și de 90 de grade. Așadar, am putea spune că asimptotele oblice sunt cele mai importante.
Cu toate acestea, noi vom discuta aici numai despre cazul particular de asimptote oblice în care unghiul este 0 grade (asimptote orizontale) sau 90 de grade (asimptote verticale), lăsând discuția despre asimptotele oblice pentru altă ocazie.
Totuși, încă nu v-am spus cu adevărat ce sunt asimptotele. V-am spus că ele sunt niște drepte, dar nu v-am spus încă de ce nu ne mulțumim să le spunem în continuare doar „drepte” și ne încăpățânăm să facem pe deștepții și le spunem așa pompos „asimptote”. Ei bine, le spunem „asimptote” pentru că ele sunt niște drepte mai speciale, niște drepte de care se apropie necontenit graficul unei funcții.
Un exemplu bun de funcție al cărei grafic ne scoate bine în evidență asimptotele este funcția $f(x)=\frac{1}{x}$. Graficul acestei funcții este următorul:
Observați că graficul acestei funcții (cel desenat cu albastru) se apropie de două drepte care apar în desen cu linie punctată. Una dintre aceste drepte este o dreaptă orizontală (de la stânga la dreapta), iar cealaltă dreaptă este verticală (de jos în sus).
Dar cum adică „se apropie”? Ce înseamnă că graficul se apropie de o anumită dreaptă, de o anumită asimptotă? Înseamnă că pentru o anumită valoare limită a parametrului $x$, graficul funcției date devine tocmai identic cu asimptota respectivă.
Altfel spus, pentru valorile asimptotice ale lui $x$ putem scrie întotdeauna egalitatea între ecuația graficului funcției (care este exprimată prin $y=f(x)$) și ecuația dreptei asimptote (care este exprimată în general prin $y=mx+n$). Deci, pentru valorile asimptotice ale lui $x$ avem întotdeauna
$$f(x)=mx+n.$$
În cazul funcției noastre, dacă parametrul $x$ devine infinit (sau minus infinit), funcția devine $y=f(\pm\infty)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\pm\infty}=0$. Dar ecuația $y=0$ reprezintă tocmai ecuația dreptei orizontale OX, așadar, această dreaptă este asimptota orizontală a funcției date, atât către $\infty$, cât și către $-\infty$.
În general, vă puteți da seama „din ochi” cam ce asimptotă va avea o funcție dacă ea este reprezentată de o fracție de polinoame. Pentru aceasta comparați gradul numărătorului cu gradul numitorului. Dacă cele două grade sunt egale sau gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului, atunci fracția are asimptotă orizontală.
Acum povestim despre asimptota verticală a funcției. Ecuația unei asimptote verticale este întotdeauna de forma $x=un număr$. Acel număr se găsește studiind unde devine infinită (sau minus infinită) funcția.
Așadar, asimptota verticală este un fel de inversă a asimptotei orizontale, căci în timp ce în cazul asimptotei orizontale cel care era infinit era parametrul $x$, în cazul asimptotei verticale, cel care trebuie să fie infinit este parametrul $y=f(x)$.
Deci, pentru a găsi asimptota verticală în cazul funcției noastre trebuie să găsim acel număr care pus în locul lui $x$ face ca funcția să fie infinită sau minus infinită. Care o fi acest număr? Când devine infinită o fracție de forma $\frac{1}{x}$? Bineînțeles, atunci când numitorul se anulează.
Prin urmare, ecuația asimptotei verticale corespunzătoare funcției noastre dată ca exemplu este $x=0$, căci dacă punem în locul lui $x$ valoarea 0 în expresia funcției $\frac{1}{x}$ obținem valoarea $\pm\infty$.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.