Toate cazurile exceptate sunt echivalente între ele

Am văzut deja două cazuri de nedeterminare în calculul limitelor. Era vorba despre cazurile
$$\frac{\infty}{\infty}$$ și $$\frac{0}{0}.$$

Să arătăm întâi că aceste două cazuri de nedeterminare (sau cazuri exceptate) sunt echivalente, adică pot fi deduse unul dintr-altul. Am văzut într-un material precedent că
$$\frac{1}{\infty}=0.$$

Așadar, din $\frac{0}{0}$ putem obține

$$\color{red}{\frac{0}{0}}=\frac{\frac{1}{\infty}}{\frac{1}{\infty}}=\frac{1}{\infty}\cdot\frac{\infty}{1}=\color{red}{\frac{\infty}{\infty}}.$$



Acum să mai observăm că o operație făcută cu o nedeterminare ne duce tot la o nedeterminare.

De exemplu, dacă înmulțim numărul 5 cu o nedeterminare $\frac{\infty}{\infty}$ obținem nedeterminarea
$$5\cdot\frac{\infty}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}.$$

La fel, dacă înmulțim numărul 8 cu o nedeterminare $\frac{0}{0}$ obținem nedeterminarea
$$8\cdot\frac{0}{0}=\frac{0}{0}.$$

Dacă ridicăm numărul 7 la o putere nedeterminată, vom obține tot o nedeterminare. Sau dacă vom logaritma o nedeterminare vom obține tot o nedeterminare.



Atunci haideți să vedem dacă $\infty\cdot 0$ este nedeterminare. Cum putem pune mereu în loc de 0 expresia $\frac{1}{\infty}$, avem că
$$\color{red}{\infty\cdot 0}=\infty\cdot\frac{1}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}.$$
Așadar, $\infty\cdot 0$ este și ea o nedeterminare.


Dar și $\infty-\infty$ este o nedeterminare, căci am putea da ca „factor comun” pe $\infty$, și am obține
$$\color{red}{\infty-\infty}=\infty\cdot(1-1)=\infty\cdot 0.$$


Logaritmând $\color{red}{1^{\infty}}$ și folosindu-ne de o proprietate a logaritmilor, obținem
$$\ln(1^{\infty})=\infty\ln 1=\infty\cdot 0,$$
deci, nedeterminare.


Sau,
$$\color{red}{0^0}=0^{1-1}=\frac{0}{0},$$
nedeterminare.
La fel
$$\color{red}{\infty^0}=\infty^{1-1}=\frac{\infty}{\infty},$$
altă nedeterminare.

Concluzia este că dacă știți bine că $\color{red}{\frac{\infty}{\infty}}$ este nedeterminare, atunci obțineți toate celelalte nedeterminări

$\color{red}{\frac{0}{0}}$, $\color{red}{\infty\cdot 0}$, $\color{red}{\infty-\infty}$, $\color{red}{1^{\infty}}$, $\color{red}{0^0}$ și $\color{red}{\infty^0}$.

Nu uitați aceste nedeterminări (sau cazuri exceptate), căci ele vă obligă să prelucrați expresia de sub limită înainte de înlocuire.