Am văzut deja două cazuri de nedeterminare în calculul limitelor. Era vorba despre cazurile
$$\frac{\infty}{\infty}$$ și $$\frac{0}{0}.$$
Să arătăm întâi că aceste două cazuri de nedeterminare (sau cazuri exceptate) sunt echivalente, adică pot fi deduse unul dintr-altul. Am văzut într-un material precedent că
$$\frac{1}{\infty}=0.$$
Așadar, din $\frac{0}{0}$ putem obține
$$\color{red}{\frac{0}{0}}=\frac{\frac{1}{\infty}}{\frac{1}{\infty}}=\frac{1}{\infty}\cdot\frac{\infty}{1}=\color{red}{\frac{\infty}{\infty}}.$$
Acum să mai observăm că o operație făcută cu o nedeterminare ne duce tot la o nedeterminare.
De exemplu, dacă înmulțim numărul 5 cu o nedeterminare $\frac{\infty}{\infty}$ obținem nedeterminarea
$$5\cdot\frac{\infty}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}.$$
La fel, dacă înmulțim numărul 8 cu o nedeterminare $\frac{0}{0}$ obținem nedeterminarea
$$8\cdot\frac{0}{0}=\frac{0}{0}.$$
Dacă ridicăm numărul 7 la o putere nedeterminată, vom obține tot o nedeterminare. Sau dacă vom logaritma o nedeterminare vom obține tot o nedeterminare.
Atunci haideți să vedem dacă $\infty\cdot 0$ este nedeterminare. Cum putem pune mereu în loc de 0 expresia $\frac{1}{\infty}$, avem că
$$\color{red}{\infty\cdot 0}=\infty\cdot\frac{1}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}.$$
Așadar, $\infty\cdot 0$ este și ea o nedeterminare.
Dar și $\infty-\infty$ este o nedeterminare, căci am putea da ca „factor comun” pe $\infty$, și am obține
$$\color{red}{\infty-\infty}=\infty\cdot(1-1)=\infty\cdot 0.$$
Logaritmând $\color{red}{1^{\infty}}$ și folosindu-ne de o proprietate a logaritmilor, obținem
$$\ln(1^{\infty})=\infty\ln 1=\infty\cdot 0,$$
deci, nedeterminare.
Sau,
$$\color{red}{0^0}=0^{1-1}=\frac{0}{0},$$
nedeterminare.
La fel
$$\color{red}{\infty^0}=\infty^{1-1}=\frac{\infty}{\infty},$$
altă nedeterminare.
Concluzia este că dacă știți bine că $\color{red}{\frac{\infty}{\infty}}$ este nedeterminare, atunci obțineți toate celelalte nedeterminări
Nu uitați aceste nedeterminări (sau cazuri exceptate), căci ele vă obligă să prelucrați expresia de sub limită înainte de înlocuire.
$$\frac{\infty}{\infty}$$ și $$\frac{0}{0}.$$
Să arătăm întâi că aceste două cazuri de nedeterminare (sau cazuri exceptate) sunt echivalente, adică pot fi deduse unul dintr-altul. Am văzut într-un material precedent că
$$\frac{1}{\infty}=0.$$
Așadar, din $\frac{0}{0}$ putem obține
$$\color{red}{\frac{0}{0}}=\frac{\frac{1}{\infty}}{\frac{1}{\infty}}=\frac{1}{\infty}\cdot\frac{\infty}{1}=\color{red}{\frac{\infty}{\infty}}.$$
Acum să mai observăm că o operație făcută cu o nedeterminare ne duce tot la o nedeterminare.
De exemplu, dacă înmulțim numărul 5 cu o nedeterminare $\frac{\infty}{\infty}$ obținem nedeterminarea
$$5\cdot\frac{\infty}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}.$$
La fel, dacă înmulțim numărul 8 cu o nedeterminare $\frac{0}{0}$ obținem nedeterminarea
$$8\cdot\frac{0}{0}=\frac{0}{0}.$$
Dacă ridicăm numărul 7 la o putere nedeterminată, vom obține tot o nedeterminare. Sau dacă vom logaritma o nedeterminare vom obține tot o nedeterminare.
Atunci haideți să vedem dacă $\infty\cdot 0$ este nedeterminare. Cum putem pune mereu în loc de 0 expresia $\frac{1}{\infty}$, avem că
$$\color{red}{\infty\cdot 0}=\infty\cdot\frac{1}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}.$$
Așadar, $\infty\cdot 0$ este și ea o nedeterminare.
Dar și $\infty-\infty$ este o nedeterminare, căci am putea da ca „factor comun” pe $\infty$, și am obține
$$\color{red}{\infty-\infty}=\infty\cdot(1-1)=\infty\cdot 0.$$
Logaritmând $\color{red}{1^{\infty}}$ și folosindu-ne de o proprietate a logaritmilor, obținem
$$\ln(1^{\infty})=\infty\ln 1=\infty\cdot 0,$$
deci, nedeterminare.
Sau,
$$\color{red}{0^0}=0^{1-1}=\frac{0}{0},$$
nedeterminare.
La fel
$$\color{red}{\infty^0}=\infty^{1-1}=\frac{\infty}{\infty},$$
altă nedeterminare.
Concluzia este că dacă știți bine că $\color{red}{\frac{\infty}{\infty}}$ este nedeterminare, atunci obțineți toate celelalte nedeterminări
$\color{red}{\frac{0}{0}}$, $\color{red}{\infty\cdot 0}$, $\color{red}{\infty-\infty}$, $\color{red}{1^{\infty}}$, $\color{red}{0^0}$ și $\color{red}{\infty^0}$.
Nu uitați aceste nedeterminări (sau cazuri exceptate), căci ele vă obligă să prelucrați expresia de sub limită înainte de înlocuire.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.