Simplificarea nu este posibilă în adunare sau scădere!

Dacă aveți fracția $\frac{8}{2}$ sau fracția $\frac{2}{8}$, atunci puteți face simplificarea cu $2$. Dacă aveți fracția $\frac{6\cdot 2}{2}$, atunci din nou puteți face simplificarea cu $2$. 

Dar dacă aveți fracția $\frac{6+2}{2}$, aici NU PUTEȚI face simplificarea brută, pentru că obțineți un rezultat greșit! De asemenea, nici în fracția $\frac{6-2}{2}$ nu puteți face simplificarea brută, din același motiv ca la adunare.

Ca să vă convingeți, haideți să facem calculele în cazul simplificărilor greșite. Dacă am calcula fracția $\frac{6+2}{2}$ fără simplificare, am obține rezultatul corect $$\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Dar dacă am face simplificarea greșită, am obține $$\frac{6+2}{2}=\frac{6+1}{1}=7.\text{ FALS!!!}$$  
De asemenea, tot un rezultat greșit am obține și în cazul scăderii $$\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2\neq\frac{6-1}{1}=5.$$

Dacă, totuși, vreți să faceți simplificarea cu orice preț și la adunare sau scădere, atunci va trebui să dați FACTOR COMUN, ca să iasă până la urmă tot înmulțire. Mai exact, în fracția $\frac{6+2}{2}$, pot da un factor comun la numărător (acolo unde este adunare sau scădere) și voi obține $$\frac{6+2}{2}=\frac{2\cdot 3+2\cdot 1}{2}=\frac{2\cdot(3+1)}{2}=\frac{3+1}{1}=4.$$

Observați că am făcut simplificarea cu $2$ fără să greșesc, căci am simplificat FACTORUL $2$, nu TERMENUL $2$. Factorii sunt expresii între care se face înmulțire (sau împărțire), iar termenii sunt expresii între care se face adunare (sau scădere). Așadar, pe viitor fiți atenți la simplificări.

Planșele conțin esențialul

Dacă vreodată aveți chef de răsfoit netul după puțină matematică, vă sfătuiesc să vă orientați și după PLANȘE. Planșele conțin foarte multă informație condensată pe suprafață mică. Doar că ele sunt utile în special celui care le înțelege, adică celui care s-a lovit deja de câteva elemente prezentate pe planșa respectivă. Însă, oricât de greu de înțeles ar fi ele datorită densității (de regulă, informația foarte densă este mai greu de înțeles), merită să aruncați o privire și spre asemenea planșe. Studiindu-le, veți constata ce multă informație conțin ele și ce efort de abstractizare a depus profesorul care le-a întocmit străduindu-se să înghesuie cât mai multe cunoștințe importante în cât mai puțin spațiu.

Să se deducă formula volumului pentru trunchiul de piramidă

Să presupunem că la un examen ați primi această problemă, aceea de a deduce că volumul trunchiului de piramidă este dat de formula
$$V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right).$$

Sau poate că nu vă amintiți formula cu precizie și doriți să o deduceți din alte cunoștințe precedente pe care le aveți. Cum ați proceda? Ce cunoștințe precedente (învățate deja) ați folosi pentru a o deduce?

Păi, pornim întâi de la faptul că un trunchi de piramidă este o piramidă fără vârf. Ceva asemănător cu faptul că un trapez este un triunghi fără vârf. Adică, dacă la o piramidă pregătită de tăiere

cineva (un bun spadasin) îi retează în viteză cu o sabie ascuțită rău de tot partea de sus (paralel cu planul de jos), va rezulta un trunchi de piramidă foarte drăguț și cuminte:

Important este acum să observăm că „partea de sus”, cea retezată după planul roșu (sper că nu e de la sânge!), este tot o piramidă. Și, culmea, că această piramidă este sora mai mică a piramidei mari, în sensul că seamănă foarte mult prin ceva cu piramida mai mare din care a provenit trunchiul de piramidă.

Oare prin ce seamănă piramida mică cu piramida mare? Este important să stabilim asta, ca să putem duce mai departe raționamentul. Ei bine, vorbeam mai sus de „cunoștințe precedente”. Una dintre cunoștințele precedente de care avem nevoie pentru a putea deduce volumul trunchiului de piramidă este teorema lui Thales, adică teorema care ne va spune că fețele laterale ale piramidei mici (fețe care sunt întotdeauna triunghiuri) sunt asemenea cu fețele laterale ale piramidei mari.

Asta înseamnă că raportul (deci, împărțirea) dintre o latură a triunghiului mic (triunghi care este față laterală a piramidei mici) și o latură corespunzătoare din triunghiul mare (triunghiul mare este o față laterală a piramidei mari) este la fel (este egal) ca și raportul dintre o altă latură a triunghiului mic și latura corespunzătoare din triunghiul mare. Acest raport este un număr care poartă un nume clar: raportul de asemănare. El este numărul care arată prin ce se aseamănă sora mai mică cu sora cea mare, deci arată prin ce se aseamănă cele două piramide. Haideți să notăm acest raport cu $k$ și să vedem ce relații cantitative determină acesta.

Bineînțeles, nu doar fețele laterale sunt asemenea, ci chiar și bazele celor două piramide, adică podelele lor, precum și triunghiurile corespunzătoare care conțin înălțimile celor două piramide surori. Așadar, atât laturile bazelor sunt proporționale, cât și înălțimile piramidelor sunt proporționale în același raport de asemănare. Mai exact, dacă notăm cu minuscule laturile corespunzătoare ale piramidei mici și cu majuscule laturile piramidei mari, avem că $$\frac{l}{L}=\frac{h}{H}=k.$$

Acum e momentul să ne amintim de o altă cunoștință precedentă necesară pentru calculele noastre: dacă două triunghiuri (și, în consecință, două figuri plane oarecare) sunt asemenea și au raportul de asemănare egal cu $k$, atunci și ariile lor sunt proporționale, iar raportul lor este $k^2$. Acest fapt ne va permite să deducem că raportul de asemănare este tocmai radicalul raportului dintre ariile podelelor și ne vom apropia astfel de formula volumului trunchiului de piramidă. 

Pentru aceasta, vom nota cu $a$ aria podelei mici (podeaua roșie) și cu $A$ aria podelei mari (podeaua albastră). Cu aceste notații, putem scrie $$\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{a}{A}}.$$ 

Desigur, $h$ este aici înălțimea piramidei mici, adică este numărul care ne arată cât de înaltă este piramida mică, deci ne arată câți centimetri sunt pe verticală de la podeaua piramidei mici până la vârful acesteia, iar $H$ este înălțimea piramidei mari. Din aceste două înălțimi putem afla ușor cât este înălțimea trunchiului de piramidă, pe care o notăm cu $d$ (de la distanța dintre cele două podele): $$d=H-h.$$

Așadar, cât este volumul trunchiului de piramidă (notat cu $V_t$)? Este volumul piramidei mari (notat cu $V$) minus volumul piramidei mici, notat cu $v$. Deci, $$V_t=V-v.$$ 

De aici încolo ne mai amintim cât este volumul unei piramide, iar restul este calcul algebric. Dar volumul unei piramide este o treime din volumul prismei cu aceeași bază și înălțime, adică volumul piramidei mari este $$V=\frac{A\cdot H}{3},$$ iar al piramidei mici este $$v=\frac{a\cdot h}{3}.$$

Drept urmare, volumul trunchiului de piramidă va fi $$V_t=V-v=\frac{AH}{3}-\frac{ah}{3}=\frac{AH-ah}{3}.$$ Acum, în această formulă am dori să dispară înălțimea piramidei mari și a celei mici și am dori să apară înălțimea trunchiului de piramidă pentru că înălțimile piramidelor nu sunt parametri importanți, ci secundari, care nu prea ni se dau în probleme atunci când ni se cere volumul trunchiului. Mult mai importantă și mai relevantă este înălțimea trunchiului în asemenea probleme, așa că dorim ca formula noastră să conțină doar înălțimea trunchiului (și ariile podelelor), nu înălțimile piramidelor. Cum să procedăm ca să dispară $H$ și $h$ din formulă?

Ne folosim de cunoștințele precedente, materializate prin relațiile de mai sus: $$\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{a}{A}}$$ și $$d=H-h.$$ Cum, într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, obținem că $$h=H\sqrt{\frac{a}{A}}.$$ 

Astfel, scăpăm pentru început de $h$, căci peste tot unde vom găsi $h$ îl vom putea înlocui cu $H\sqrt{\frac{a}{A}}$. Mai exact, avem că $$d=H-H\sqrt{\frac{a}{A}}=H\left(1-\sqrt{\frac{a}{A}}\right).$$ Dar de aici îl putem scoate pe $H$ în funcție de $d$ și astfel vom scăpa și de $H$. Mai exact, după amplificarea cu $\sqrt{A}$, avem că $$H=\frac{d}{1-\sqrt{\frac{a}{A}}}=\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Atunci, $$h=H\sqrt{\frac{a}{A}}=\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}\sqrt{\frac{a}{A}}=\frac{d\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Se observă deja o oarecare simetrie. Numitorii celor două înălțimi sunt aceiași, iar numărătorii depind de radicalul ariei mari sau mici, după cum este și înălțimea mare sau mică. Cu această realizare, am scris înălțimile piramidelor în funcție de parametrii importanți ai trunchiului de piramidă.

Deci de-acum suntem boieri, căci acum avem cu ce să-l înlocuim atât pe $h$, cât și pe $H$. Atunci, formula volumului trunchiului de piramidă va deveni $$V_t=\frac{AH-ah}{3}=\frac{A\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}-a\frac{d\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}}{3}.$$

Aici putem scoate factorul comun $\frac{d}{3}$. Atunci, formula devine parcă mai compactă: $$V_t=\frac{d}{3}\left(\frac{A\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}\right).$$

Și cum numitorii sunt aceiași, mai putem scrie $$V_t=\frac{d}{3}\frac{A\sqrt{A}-a\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Aoleu! Ce formulă-i asta?! Păi, nu trebuia să obținem formula de la început, adică $$V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right)?$$

Stați așa, nu vă grăbiți! Ajungem și la formula de început dacă vom observa că $A\sqrt{A}=\sqrt{A^3}=\left(\sqrt{A}\right)^3$ și, respectiv, $a\sqrt{a}=\sqrt{a^3}=\left(\sqrt{a}\right)^3$. Haideți să notăm pe $\sqrt{A}$ cu $x$, iar pe $\sqrt{a}$ cu $y$, ca să ne fie mai ușor să observăm ceva. Cu aceste notații, am obținut că formula volumului trunchiului de piramidă este $$V_t=\frac{d}{3}\frac{x^3-y^3}{x-y}.$$

Ei bine, iar acum ne trebuie ultima „cunoștință precedentă” ce constă în formula de calcul prescurtat $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$ valabilă pentru $x\neq y$. Cu această formulă, putem scrie că volumul trunchiului este $$V_t=\frac{d}{3}\frac{x^3-y^3}{x-y}=V_t=\frac{d}{3}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}.$$

Dar acum putem simplifica cu $x-y$, căci podeaua de sus nu este la fel de mare ca podeaua de jos, ci au arii diferite, deci $x-y$ nu este zero (cu zero nu putem face simplificări, căci $\frac{0}{0}$ este o nedeterminare). Așadar, formula volumului trunchiului devine $$V_t=\frac{d}{3}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=\frac{d}{3}(x^2+xy+y^2).$$

Iar dacă ținem seama că am notat cu $x$ pe $\sqrt{A}$ și cu $y$ pe $\sqrt{a}$ și cum $\left(\sqrt{A}\right)^2=A$, obținem că $$V_t=\frac{d}{3}(x^2+xy+y^2)=\frac{d}{3}\left(A+\sqrt{A}\sqrt{a}+a\right),$$ adică tocmai formula de la început: $$\color{red}{V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right)}.$$

În sfârșit!

Ei, nu-i așa că mai bine faceți un mic efort să o însușiți, decât să vă apucați de asemenea calcule pentru a v-o reaminti când aveți nevoie?

Observați că această formulă finală (deci, fără numitor) este valabilă și pentru cazul când cele două „podele” devin egale, adică $a=A$, caz în care trunchiul de piramidă devine o prismă. E suficient ca, în loc de $a$ să puneți $A$ și veți obține volumul prismei dat de $V_p=dA$. Totodată, această formulă este valabilă și pentru cazul când podeaua de sus devine mică, mică de tot, chiar zero, caz în care trunchiul se transformă în piramidă. Altfel spus, dacă știți volumul trunchiului de piramidă, atunci știți și volumul prismei și volumul piramidei.

O mică recapitulare: pentru a deduce formula volumului trunchiului de piramidă, am avut nevoie de teorema lui Thales, apoi de faptul că raportul de asemănare este radicalul raportului ariilor, ne-a mai trebuit formula volumului pentru o piramidă, iar în final am folosit formula de calcul prescurtat a diferenței cuburilor.

La ce este bună matematica?

Iată una dintre cele mai grele întrebări pe care mi le-au pus vreodată elevii cărora le predau (deocamdată, în particular) de-a lungul anilor. Și m-am descurcat destul de greu și nu am fost mulțumit niciodată de calitatea răspunsului pe care li-l dădeam.

Recent însă, am găsit un răspuns ceva mai convingător, care se pare că lasă urme  mai serioase în mintea lor prețioasă. Mi-am adus aminte de răspunsul pe care l-a dat marele fizician Michael Faraday atunci când a fost întrebat despre utilitatea inducției electromagnetice pe care a descoperit-o atunci. Pe vremea lui Faraday, când încă nu erau concepute generatoarele electrice și nu se întrezărea nimic din viitorul descoperirii sale, oamenii n-aveau cum să înțeleagă importanța descoperirii acestui mare savant. Așa că i s-a pus în mod firesc și această întrebare, oarecum jignitoare: „Domnule Faraday, la ce este bună descoperirea dumneavoastră?”. Dar, înțelegător, Faraday a răspuns tot cu o întrebare: „La ce este bun un nou-născut?”.

Chiar așa! La ce este bun un nou-născut? La ce bun ca părinții unui nou-născut să se chinuiască din greu cu acesta, dându-i păpică, schimbându-i scutecele, trezindu-se în toiul nopții datorită plânsetului insistent și ducându-l la doctor ori de câte ori se impune? Nou-născutul nu produce nimic, ci doar consumă. Așadar, după o logică superficială, nou-născutul nu este bun de nimic.

La fel este și matematica pentru unii elevi (în special, pentru cei de gimnaziu): o corvoadă, care le dă numai bătăi de cap, le consumă timpul și nu le aduce nicio satisfacție. La fel precum un nou-născut, matematica cere multă atenție, cere mult timp și nu dă mai nimic în schimb, la început. Matematica este ca o duzină de injecții dureroase pe care trebuie să le iei ca să te însănătoșești viguros. Așa că elevii de gimnaziu au tot dreptul să fie revoltați că sunt bătuți la cap cu o asemenea povară.

Dar, dragii mei, nou-născutul acela va crește mare peste câțiva ani și poate va deveni un geniu, precum acel Faraday ce a dat omenirii inducția electromagnetică (și Faraday a fost cândva un nou-născut, nu-i așa?). Matematica voastră, pentru care suferiți atât de mult acum, va crește și ea mare în mintea voastră, dacă veți avea răbdarea necesară, se va cristaliza și vă va permite să aveți o perspectivă mai deplină asupra lumii înconjurătoare. Vă va permite să vă alegeți locuri de muncă bine plătite și vă va permite să construiți tehnologia viitorului.

Ce ne-am fi făcut fără matematică? Ce era omenirea fără această abundență de informații ascunse în matematică? Cum am mai fi construit noi telefoane mobile, avioane sau nave cosmice? Nicicum. Ar fi trebuit să ne mulțumim în continuare cu un trai asemănător cu al animalelor și cu o viziune îngustă asupra realității.

Într-adevăr, pentru a mătura strada sau pentru a da la târnăcop nu vei avea nevoie de matematică. Dar dacă vei dori ceva mai mult, atunci împrietenește-te urgent cu această Știință minunată, ca să nu pierzi ani prețioși pe care i-ai putea regreta în viitor. 

Așadar, nu lăsa niște profesori nepricepuți să-ți distrugă viitorul prin simplul fapt că nu au darul să te facă să înțelegi ceva atât de clar precum este matematica. Dacă ei nu pot, caută singur. Este ghinionul tău că ai avut profesori slabi, dar nu lăsa acest ghinion să-și întindă ghearele asupra întregului tău viitor. Ia măsuri, fă eforturi, fă ceva ca să înțelegi matematica, dedică-i timp, căci matematica este o materie de referință în societate, fără de care nu poți face o mulțime de lucruri interesante.

Aria triunghiului în geometria analitică plană

Am furat de la domnul profesor Chris Mizell această minunăție de applet și l-am modificat puțin ca să se vadă și pe telefoane.

Appletul vă arată cum se determină aria unui triunghi atunci când cunoașteți coordonatele din plan ale vârfurilor sale.

Redescoperiți aici determinantul 

$$\Delta =

\begin{vmatrix}

x_A& y_A & 1 \\

x_B & y_B & 1 \\

x_C & y_C & 1 \\

\end{vmatrix}$$

format cu coordonatele vârfurilor triunghiului, despre care am mai discutat deja într-un alt articol. Desigur, faptul că matricea din applet este transpusă nu modifică valoarea determinantului, căci determinantul unei matrice este egal și cu determinantul matricei transpuse.

Mi-ar plăcea să știu că vă jucați cu acest applet, trăgând încoace și încolo de vârfurile triunghiului. 

De asemenea, mi-ar plăcea să observați ce se întâmplă cu determinantul atunci când reușiți să aliniați în așa fel vârfurile triunghiului încât acestea să devină coliniare. Veți reuși astfel să înțelegeți care este în geometria analitică plană condiția de coliniaritate a trei puncte din plan.

Numărul lui Euler și dobânda la o bancă ideală

Există în analiza matematică un număr ciudat și foarte important, numit „numărul lui Euler” și notat cu „e”, în onoarea marelui matematician care a descoperit o mulțime de proprietăți legate de acest număr. 

Nu Euler a descoperit numărul e, ci Jacob Bernoulli, în timp ce acesta studia probleme financiare legate de rata dobânzilor. Mai exact, Bernoulli și-a pus următoarea problemă:
-dacă aș depune un leu la o bancă ideală, corectă, care mi-ar calcula o dobândă de 100% pe an, dar nu doar o dată pe an, ci în fiecare lună, în fiecare zi, în fiecare oră, în fiecare minut, în fiecare secundă și așa mai departe, atunci cât aș primi după un an de la acea bancă ideală?

Desigur, un răspuns rapid ar fi că după un an ai primi în total doi lei de la bancă, din moment ce dobânda calculată la un leu este de 100%. Așa este, ar fi doi lei, dar asta în condițiile unei bănci care nu face efortul să-ți calculeze dobânda în fiecare moment al anului, ci doar după un an.

Dar cum ar fi dacă banca ar aplica dobânda de 100% pe an în fiecare lună sau în fiecare zi sau în fiecare oră sau în fiecare minut sau chiar în fiecare secundă? Tot doi lei aș primi de la bancă la sfârșit de an? Nici vorbă! Aș primi mai mult. Dar cât de mult aș primi de la bancă? Crește suma oricât de mult pe măsură ce micșorăm intervalul de timp pentru care calculăm dobânda? Sau există o limită superioară pe care n-o depășește niciodată, de exemplu, 3 lei?

Lunar

Păi, să vedem cum ar face calculele o asemenea bancă ideală. Pentru început, ca să capete prestigiu de corectitudine, șeful băncii și-ar putea propune să recalculeze și să aplice dobânda lunar la suma apărută. Ar însemna atunci că dobânda de 100% dintr-un an ar trebui s-o împartă la 12 și să aplice această dobândă în fiecare lună. 

Astfel, după prima lună, în cont s-ar strânge un leu, plus încă a douăsprezecea parte dintr-un leu. Adică, s-ar strânge $$l_1=1+\frac{1}{12}.$$ În a doua lună deja ar trebui aplicată dobânda la această sumă nou apărută, adică ar trebui să adunăm la această sumă a douăsprezecea parte din noua sumă. Așadar, în luna a doua am avea în cont suma de $$l_2=l_1+\frac{l_1}{12}.$$

Bineînțeles, în a treia lună am avea în cont suma de $$l_3=l_2+\frac{l_2}{12},$$ după a șaptea lună am avea în cont suma de $$l_7=l_6+\frac{l_6}{12}$$ și așa mai departe, astfel încât în ultima lună am avea în cont suma de $$l_{12}=l_{11}+\frac{l_{11}}{12}.$$

Vrem să vedem cum arată mai exact acest rezultat. Calculăm mai amănunțit, ca să nu mai vedem rezultate intermediare precum au fost $l_7$, ci să vedem rezultatul final în funcție de leul acela depus inițial. Știind că $$l_2=l_1+\frac{l_1}{12},$$ după care dând factor comun pe $l_1$ și înlocuindu-l pe $l_1$ cu $1+\frac{1}{12}$, obținem că 
$$l_2=l_1+\frac{l_1}{12}=l_1\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^2.$$

Deci, în luna a doua a apărut acea paranteză la puterea a doua. Oare cum va fi în luna a treia? În luna a treia avem $$l_3=l_2+\frac{l_2}{12}=l_2\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^2\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^3.$$

Și, bineînțeles, în ultima lună paranteza aceasta magică va apărea la puterea a douăsprezecea, adică va fi $$\color{blue}{l_{12}=\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}}.$$ O fi oare numărul acesta mai mare și mai corect decât dacă șeful băncii nu s-ar fi complicat cu împărțirea dobânzii totale la 12 luni? Bineînțeles, dacă veți face calculul cu un calculator, veți constata că $$\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}\approx 2,613,$$ deci mult mai mare decât acei 2 lei pe care i-am fi primit de la o bancă ursuză căreia i-ar fi fost lene să facă aceste calcule lunar.

Zilnic

Dar ce s-ar întâmpla dacă șeful băncii noastre ideale (hai să-i spunem „banca lui Bernoulli”) ar decide că poate să fie și mai corect în aplicarea dobânzii și că ar fi mai bine dacă ar reface calculele în fiecare zi, nu în fiecare lună? 

Bineînțeles, după cum deja cred că intuiți, atunci suma finală se va obține înlocuind în suma precedentă pe $12$ (care a reprezentat numărul de luni dintr-un an) cu $365$ (care reprezintă numărul de zile dintr-un an obișnuit).

Așadar, banca noastră și mai corectă ne-ar da la sfârșit de an după un leu, de fapt suma $$\color{blue}{\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}\approx 2,714}.$$

Pe ore

În fine, pentru că acum ați înțeles ce se întâmplă, dacă șeful băncii s-ar încăpățâna să facă pe eroul, ar recalcula dobânda în fiecare oră, iar la sfârșit de an ne-ar oferi suma de $$\color{blue}{\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}\approx 2,718}.$$ 

Mai departe, văzând că efortul de calcul devine sisific, iar contribuția suplimentară la suma finală devine insignifiantă, probabil că șeful băncii lui Bernoulli va decide că este mai rațional și mai realist să se oprească aici, căci oricum banca lui va fi câștigat deja prestigiul de bancă excelentă și foarte corectă.



Desigur, un matematician zelos va căuta totuși să vadă ce e cu numărul acesta ciudat de care se apropie suma de la sfârșit de an pe măsură ce împărțim acest an în intervale de timp egale din ce în ce mai mici. Astfel, el va scrie o expresie chinezească foarte complicată și va spune că numărul de care se apropie suma finală este $$\color{red}{e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}.$$ Acesta este fascinantul număr al lui Euler, care apare în matematică alături de numărul $\pi$ ca să nu ne lase să ne plictisim.

Dacă știți una, le știți și pe celelalte

Să presupunem că ați reținut o singură formulă trigonometrică de trecere de la sumă la produs și ați vrea să le puteți deduce pe celelalte. Să presupunem, deci, că ați reținut-o pe cea mai frumoasă, adică pe următoarea:
$$\large{\color{red}{\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}}.$$

Ca să le puteți afla pe celelalte trebuie să vă amintiți două lucruri care sunt mult mai ușor de reținut decât toate formulele-astea urâte de trecere de la sumă la produs.

Primul lucru pe care va trebui să vi-l amintiți este paritatea funcțiilor trigonometrice, adică faptul că sinus de minus ceva este minus sinus de acel ceva, adică $\sin(-ceva)=-\sin ceva$ și că cosinus de minus ceva este ca și cosinus fără minus, adică $\cos(-x)=\cos x$ (minusul iese în față la sinus, iar la cosinus dispare). Asta înseamnă cu alte cuvinte, mai chinezești, că funcția sinus este funcție impară, iar funcția cosinus este funcție pară.


Al doilea lucru ce trebuie să vi-l amintiți este o metodă de a putea trece ușor de la sinus la cosinus sau invers. Această metodă este foarte simplă și anume: $\sin(ceva)=\cos(90^\circ-ceva)$ și $\cos(ceva)=\sin(90^\circ-ceva)$.


Haideți acum să folosim aceste două chestii faine ca să deducem celelalte urâțenii de formule de trecere de la sumă la produs. Pentru început, să presupunem că ne interesează cât ar fi $$\sin a-\sin b$$, când noi știm doar cât este $\sin a+\sin b$, după cum am văzut mai sus. Ne folosim de paritatea funcției sinus, citită în sens invers, adică ne folosim de faptul că $-\sin x=\sin(-x)$. Așa vom putea transforma scăderea în adunare și ne vom putea folosi de formula frumoasă cu adunare.

Așadar, $$\sin a-\sin b=\sin a+\sin(-b).$$ Altfel spus, dacă vrem să obținem formula pentru scădere, este suficient ca în loc de $b$ să punem în formula pentru adunare pe $-b$. Vom obține atunci $$\sin a-\sin b=\sin a+\sin(-b)=2\sin\frac{a+(-b)}{2}\cos\frac{a-(-b)}{2},$$ adică $$\large{\color{blue}{\sin a-\sin b=2\sin\frac{a-b}{2}\cos\frac{a+b}{2}}}.$$


Acum să presupunem că ne interesează cât este $$\cos a+\cos b$$ ca și produs de funcții trigonometrice. Ne amintim cum trecem de la cosinus la sinus și avem $$\cos a+\cos b=\sin(90^\circ-a)+\sin(90^\circ-b).$$ Iată, deci, că am reușit să transformăm suma de cosinuși în suma de sinuși. Ne folosim, deci, de formula frumoasă a sumei de sinuși care ne spune, după cum ați văzut chiar la început, că $$\sin ceva+\sin altceva=2\sin\frac{ceva+altceva}{2}\cos\frac{ceva-altceva}{2}.$$

Acum, ceva-ul nostru este $90^\circ-a$, iar altceva-ul nostru este $90^\circ-b$. Atunci 

$$\cos a+\cos b=\sin(90^\circ-a)+\sin(90^\circ-b)=\\

=2\sin\frac{90^\circ-a+90^\circ-b}{2}\cos\frac{90^\circ-a-(90^\circ-b)}{2}=\\

2\sin\frac{180^\circ-a-b}{2}\cos\frac{-a+b}{2}.$$

Aranjând convenabil prima fracție, putem să-l împărțim separat pe 180 la 2 (care va deveni 90) și obținem ceva interesant: $$\cos a+\cos b=2\sin\left(\frac{180^\circ}{2}-\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(-\frac{a-b}{2}\right),$$ adică $$\cos a+\cos b=2\sin\left(90^\circ-\frac{a+b}{2}\right)\cos\frac{a-b}{2}.$$
Observați că la cosinus am folosit deja paritatea și am scăpat de minusul din fața fracției, deci am scăpat de paranteză (nu întotdeauna ne plac parantezele).

De aici încolo mă folosesc de transformarea lui $\sin(90^\circ-ceva)$ în $\cos(ceva)$ și obțin, în sfârșit, o altă formulă faină: $$\large{\color{blue}{\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}}.$$

Iar dacă veți lupta în mod asemănător ca să găsiți o formulă pentru scăderea cosinușilor, veți obține că $$\large{\color{blue}{\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}}}.$$


Așadar, nu le tociți pe toate. Faceți legături frumoase între ele și rețineți-le pe cele care vă atrag cel mai mult. Iar la un examen aveți mari șanse să vă amintiți cum să le deduceți. Și ați văzut că nu ar trebui să vă ia prea mult timp ca să le deduceți, dacă știți de-acum metoda.

Bacalaureat, V39SIP6 (arie triunghi dreptunghic special)

Să se calculeze aria unui triunghi dreptunghic care are un unghi de $60^\circ$ și ipotenuza de lungime $8$.

Aria unui triunghi dreptunghic? Hmmm... Ce știți despre aria unui triunghi dreptunghic? Cum o calculăm? Vă amintiți ceva formule pentru aria unui triunghi dreptunghic?

În general, aria unui triunghi este „baza ori înălțimea supra doi”. Dar în cazul triunghiului dreptunghic avem o formulă mai concretă. Aria unui triunghi dreptunghic este „cateta unu ori cateta doi supra doi”. Deci, ca să găsim aria unui triunghi dreptunghic, înmulțim cele două catete, iar rezultatul îl împărțim la doi.

Ok, deci ne trebuie cele două catete ale triunghiului nostru dreptunghic. Off... Dar examinatorul ne-a dat doar ipotenuza! De ce? Ne-a dat exact ceea ce nu ne trebuie! Căci nouă ne-ar trebui catetele...

Da, recunosc, examinatorul pare un om rău, căci nu ne-a dat catetele. Totuși, este bun pentru că ne-a dat și un unghi. Mai mult de atât, este un om și mai bun decât ne-am imaginat, deoarece unghiul pe care ni l-a dat nu este unui aiurea de 43,5 grade să zicem, ci este un unghi foarte frumos, adică un unghi „normal”, de 60 de grade, despre care știm foarte multe.

Ce știm despre unghiul de 60 de grade? Păi, îi cunoaștem sinusul (radical din trei supra doi) și îi cunoaștem cosinusul (unu pe doi). Cunoscând sinusul sau cosinusul, putem afla oricare dintre catete, dacă ne amintim că sinusul este „cateta opusă supra ipotenuză” sau cosinusul este „cateta alăturată supra ipotenuză”. Apoi, după ce am aflat catetele, avem tot ce ne trebuie pentru a calcula aria, desigur (cu formula „catetă ori catetă supra doi”). 

Am putea să mergem și pe linia asta, a calculării catetelor, dar mai interesant ar fi să ne mai reamintim o proprietate faină a unui triunghi dreptunghic care are un unghi special, de 60 de grade, proprietate pentru care nu aveți nevoie de cunoștințe de trigonometrie, cu sinus și cosinus. Acestei proprietăți i se mai spune „teorema 30, 60, 90”. Teorema spune că într-un triunghi dreptunghic special, în care există un unghi de 60 de grade, cateta mică este jumătate din ipotenuză.

Deci, dacă ni s-a dat ipotenuza și un unghi de 60 de grade, atunci automat putem trage concluzia că una dintre catete (cea mai micuță) este jumătate din ipotenuză, adică în cazul nostru, jumătate din 8, deci 4. Una dintre catete este 4. 

Mai rămâne să aflăm cealaltă catetă. Tot cu mijloace simple, precum este teorema lui Pitagora, teoremă foarte importantă într-un triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora ne spune că suma pătratelor catetelor este tocmai pătratul ipotenuzei. Așadar, dacă notăm cateta necunoscută cu $x$, atunci teorema lui Pitagora ne va spune că $$4^2+x^2=8^2.$$
Deci, $16+x^2=64$, deci $x^2=64-16=48$. Iar dacă ceva la pătrat este 48, atunci numai ceva-ul acela neridicat la pătrat va fi radical din 48. Astfel, cateta necunoscută este $$x=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$ 

Bun. Deci, una dintre catete este $4$, iar cealaltă este $4\sqrt{3}$. Cât va fi atunci aria căutată? Am văzut mai sus că aria este semiprodusul catetelor. Așadar, $$A=\frac{4\cdot 4\sqrt{3}}{2}=\color{red}{8\sqrt{3}}.$$

Bacalaureat, V39SIP5 (lungimea medianei)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$, $B(1,1)$, $C(3,-1)$. Să se calculeze lungimea medianei duse din vârful $A$ al triunghiului $ABC$.


Când auziți de „reper cartezian” și de niște puncte cărora li se dau coordonatele, apăi înseamnă că musai este vorba de geometrie analitică, adică de un cârnaț de formule de care e bine să vă amintiți instantaneu.

Ni se cere „lungimea medianei”. Bun. Înseamnă că ni se cere, în primul rând, o lungime. În geometria analitică, o lungime. Cum calculăm o lungime în geometria analitică? Hmmm... Lungimea (unui segment, căci numai segmentele au lungimi) este un număr care ne arată câți metri sunt de la un punct până la altul (de la un capăt al segmentului la celălalt). Deci lungimea (unui segment) este tot una cu distanța (dintre capetele segmentului).

Ca să putem calcula o lungime, deci o distanță, în geometria analitică, va trebui să calculăm un „radical”. Asociați cuvintele „lungime” sau „distanță” cu cuvântul „radical”. Radicalul acela se naște din teorema lui Pitagora aplicată ipotenuzei triunghiului dreptunghic determinat de capetele segmentului. Acest triunghi dreptunghic are catetele paralele cu axele, iar ipotenuza este tocmai segmentul determinat de cele două puncte.

Așadar, dacă ne trebuie distanța dintre punctele $P(x_P;y_P)$ și $Q(x_Q;y_Q)$, atunci trebuie să calculăm radicalul dat de O SUMĂ de două paranteze la pătrat. În spațiu avem trei paranteze, dar în plan avem doar două paranteze sub radical, o paranteză în care punem DIFERENȚA $x$-ilor și o paranteză în care pune diferența $y$-ilor. Deci 
$$d_{PQ}=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}.$$
Exact cum vă arătam într-un articol de prin 2014.

Deci, am stabilit că va trebui să calculăm un radical. De-acum se pune problema ce vom pune sub radical. Mai exact, care sunt punctele pentru care calculăm lungimea? Noi am primit acolo sus în problemă trei puncte. Dar oare între care dintre puncte trebuie să calculăm lungimea? Acum va trebui să ne gândim la „mediană”. Ce este mediana?

Mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Medi=mijloc. Deci, noi trebuie să calculăm lungimea medianei duse din vârful $A$ pe mijlocul laturii $BC$. Așadar, avem sub radical un singur punct. Ne mai trebuie celălalt. Ne mai trebuie mijlocul laturii $BC$.

Mijlocul unei figuri este dat de media aritmetică a capetelor sale. Mai riguros spus, coordonatele mijlocului sunt medii aritmetice ale coordonatelor vârfurilor (capetelor). Deci, coordonatele mijlocului nostru pe care îl notăm cu $M_{BC}$ vor fi $$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}\text{, iar   }\,\,\,y_M=\frac{y_B+y_C}{2}.$$

Și cum noi cunoaștem toate coordonatele de care avem nevoie, vom obține că $x_M=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$ și $y_M=\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0$. Așadar, mijlocul căutat va fi $M_{BC}(2;0)$.

Acum avem tot ce ne trebuie pentru a calcula radicalul, adică lungimea medianei din vârful $A$, adică lungimea segmentului $AM$. Aplicăm formula și avem $$d_{AM}=\sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2},$$ adică $$d_{AM}=\sqrt{(2-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{0^2+4^2}=\sqrt{16}=\color{red}{4}.$$

Rezultatul parcă vă sugerează că dacă ați ajuns cu bine până aici la bac, aveți șansa să luați deja un $4$.

Bacalaureat V39SIP4

Câte numere formate din 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,4\}$?

Un exemplu de număr bun este 123 pentru că el trebuie să fie din trei cifre. Un contraexemplu (număr ne-bun) este 111 pentru că cifrele acestui număr nu sunt distincte. Alt număr ne-bun este 567 pentru că cifrele sale nu se află în mulțimea indicată. 

Alt număr bun este 321. Deci, iată că la noi contează ordinea cifrelor, căci modificând ordinea cifrelor putem adăuga alte numere în lista pe care trebuie s-o numărăm.

Câte posibilități sunt? Observați că dacă nu am folosi cifra 4 problema noastră s-ar reduce la una mai simplă: câte numere de trei cifre distincte (deci, diferite) puteți forma cu (primele) trei cifre? 

Dar câte numere de trei cifre diferite puteți forma cu trei cifre diferite? Contează ordinea cifrelor. Și fiecare trebuie să ajungă în toate pozițiile. Asta înseamnă că trebuie să le permutăm pe toate. Deci, răspunsul acesta mic ar fi „permutări de trei”. Permutări de trei înseamnă „trei factorial”, adică $3\cdot 2\cdot 1$, adică șase.

Deci, sunt șase posibilități de a scrie un număr de trei cifre diferite cu trei cifre, indiferent care ar fi acele cifre. Iată, deci, că dacă lipsește cifra 4 din listă, putem forma șase numere bune pentru noi.

Dar tot șase numere bune vom putea forma și dacă lipsește cifra 3. Căci nu contează care lipsește. Căci și cu cifrele 1, 2, 4 putem forma tot „permutări de trei”, căci tot trei cifre sunt acolo, indiferent care sunt ele.

Observați, deci, că în total putem forma de patru ori combinații de câte șase. Șase numere când lipsește cifra 4, șase numere când lipsește cifra 3, șase numere când lipsește cifra 2 și șase numere când lipsește cifra 1. Acest joc de combinații se numește „aranjamente”. Deci, putem aranja patru cifre în grupuri de câte trei în $4\cdot 6=\color{red}{24}$ de feluri. 



Atunci când elementele folosite trebuie să fie distincte și când contează ordinea lor folosim aranjamente. Dacă nu contează ordinea lor, folosim combinări. 

Dacă ni s-ar fi dat mulțimea $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ și ni s-ar fi cerut să aflăm câte numere cu câte 2 cifre distincte (în loc de 3 cum ni s-a cerut în problema dată) putem face cu cifre din această mulțime, am fi raționat astfel: 

• distincte, deci vom folosi aranjamente sau combinări
• contează ordinea, căci trebuie să formăm numere, deci folosim aranjamente. Dacă ni s-ar fi cerut să formăm submulțimi, atunci nu ar fi contat ordinea (căci nu contează ordinea elementelor într-o mulțime) și am fi folosit combinări.
• așadar, rezultatul ar fi fost $A_6^2=6\cdot 5=30$, căci sunt șase cifre în mulțimea pe care o putem folosi și trebuie să formăm numere de câte două cifre.

Bacalaureat, M2, V39SIP3

Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația $$\sqrt{169-x^2}=12.$$

În mulțimea numerelor reale? Hmmm... Bun. Atunci, înseamnă că expresia de sub radical nu are voie să fie negativă. Adică, trebuie să punem întâi CONDIȚII DE EXISTENȚĂ pentru necunoscuta $x$.

Radicalul (de ordin par) din CEVA dă soluții reale numai dacă CEVA-ul nu este negativ. Căci radical (de ordin par) din ceva negativ ne dă cu numere complexe (adică numere care îl conțin pe $i=\sqrt{-1}$).

Deci, vom pune și noi condiția ca expresia de sub radicalul nostru să nu fie negativă, adică $$169-x^2\geq 0.$$ Din această condiție noi vrem să ajungem la ceva de genul $x\leq ceva$ sau $x\geq ceva$.

Inecuația $$169-x^2\geq 0$$ se poate rezolva atât cu metoda generală (formă canonică, delta, rădăcini, tabel), cât mai ales printr-o metodă mai rapidă ce ține de forma concretă pe care o are deja această ecuație particulară drăguță și mică. Uitați cum voi face. Îl voi arunca întâi pe $x^2$ în dreapta (ca să scap de semnul său negativ). Voi obține, așadar, $$169\geq x^2.$$ 
Și cum din $a<b$ rezultă că $b>a$ (valabil pentru orice semn de inegalitate aș pune între literele $a$ și $b$), avem că inecuația noastră impusă de condiția de existență a radicalului a devenit $$x^2\leq 169.$$ Mai departe, inecuația cu necunoscuta la pătrat implică o inecuație cu modul (căci radical din $x^2$ este modul de $x$).

Așadar, inecuația noastră a devenit acum mai simplă: $$|x|\leq 13,$$ căci radical din 169 este 13. Și, după cum mai puteți găsi pe undeva pe blogul meu (din câte îmi amintesc acum), o inecuație cu modul ne dă drept soluții niște intervale.  Dacă semnul este cu „mai mic”, atunci intervalul nu îl conține pe infinit (și nu are nici reuniune), ci este un interval simplu, închis dacă avem și egalitate și deschis dacă nu avem egalitate. Inecuația noastră va avea, deci, ca soluție intervalul închis $$[-13;13]$$ deoarece noi avem și egalul în inecuație. Acest interval ne spune unde trebuie să se afle soluțiile ecuației iraționale (cu radical) pe care am primit-o în problemă.


După ce am terminat cu munca laborioasă și parcă inutilă a condițiilor de existență, restul e floare la ureche. Ridicăm la pătrat ecuația dată, ca să scăpăm de radical. Obținem că $$\left(\sqrt{169-x^2}\right)^2=12^2,$$ adică $$169-x^2=144.$$ Arunc apoi termenii cu $x$ într-o parte și numerele în partea cealaltă și obțin $$169-144=x^2,$$ adică $$25=x^2$$ deci $$x^2=25.$$ Iar această ecuație are două soluții (fiind de gradul doi). Aceste soluții sunt $x_1=\color{red}{5}$ și $x_2=\color{red}{-5}$. Și ambele aceste soluții se află în intervalul pe care l-am găsit la studiul condițiilor de existență $[-13;13]$.

În general, cam așa rezolvăm ecuațiile iraționale: stabilim întâi condițiile de existență, apoi, dacă aceste condiții de existență sunt compatibile (se poate întâmpla ca din studiul condițiilor de existență să ajungem la concluzia că nu pot exista soluții, deci că mulțimea soluțiilor posibile este vidă, caz în care nu are rost să mai continuăm calculele de la pasul următor), atunci ridicăm la puterea corespunzătoare prin care să scăpăm de radicalii ce apar în ecuație, desfacem eventualele paranteze, restrângem termenii asemenea și rezolvăm ecuația obținută fără radicali (ecuația rămasă fiind de regulă (sau putând fi redusă la) o ecuație polinomială de gradul întâi sau de gradul al doilea).

Bacalaureat, M2, V39SIP2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3-2x$. Să se calculeze $f(0)+f(1)+f(2)+\dots +f(6)$.


Problema poate fi rezolvată „băbește” (deci, cam așa cum ar proceda o băbuță care nu prea știe Matematică). Adică, putem lua pe rând fiecare termen al sumei și să ne apucăm să-l determinăm, după care să adunăm termenii obținuți, să ne bucurăm de rezultat și să ne mirăm de ce nu am primit punctajul maxim din moment ce am prezentat rezultatul.

Facem, așadar: $f(0)=3-2\cdot 0=3-0=3$, $f(1)=3-2\cdot 1=3-2=1$, $f(2)=3-2\cdot 2=3-4=-1$ și așa mai departe, până la $f(6)=3-2\cdot 6=3-12=-9$. 

Dar, atenție la expresia „și așa mai departe”! Tocmai asta înseamnă punctele acelea de suspensie „$\dots$”, că trebuie să calculăm și $f(3)$ și $f(4)$ și $f(5)$! Unii elevi le lasă pe astea afară, pentru că nu cunosc încă semnificația punctelor de suspensie (pentru că nici nu s-a deranjat vreun profesor de mate să le spună vreodată un asemenea „fleac”, ci, eventual au fost subînțelese din limbajul natural). Ori, asemenea eșecuri îi determină pe elevi să urască Matematica, lucru extrem de grav pentru el însuși și pentru societate.

Deci, am calculat băbește toți cei șapte termeni (șase plus unu), aceștia fiind $3$, $1$, $-1$, $-3$, $-5$, $-7$ și $-9$. Mai departe ne apucăm să-i adunăm, desigur, tot băbește: $$3+1+(-1)+(-3)+(-5)+(-7)+(-9)=\color{red}{-21}.$$

Deci, rezultatul cerut este $-21$. Metoda de aflare a acestui rezultat îi spune deja examinatorului foarte multe despre lucrarea pe care urmează să o corecteze, despre elevul a cărui lucrare o are în față. Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare mai eficientă, bazată pe niște cunoștințe mai generale. Ce făcea elevul dacă, în loc de $f(6)$, expresia de calculat s-ar fi terminat cu $f(60)$ sau cu $f(600)$? Ar fi calculat până la ieșirea din examen?

Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare bazată pe cunoștințele elevului despre PROGRESII ARITMETICE. Aceste cunoștințe i-ar fi permis elevului să folosească REGULA SUMEI pentru progresiile aritmetice, care spune că:

• suma termenilor unei progresii aritmetice este, de fapt, mai simplu, un produs (o înmulțire) dintre numărul de termeni care trebuie adunați și media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.

Așadar, elevul trebuia să înceapă rezolvarea cu observația că termenii ce trebuie adunați sunt în progresie aritmetică (de rație $-2$ (numărul din fața lui $x$), adică termenii merg din $-2$ în $-2$). Cum numărul de termeni din această progresie este ușor de stabilit (șase plus unu, deci șapte), rezulta că singurul lucru mai greu de calculat era media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.

Dar, așa cum media notelor este suma lor împărțită cu numărul lor, tot astfel, media aritmetică dintre primul și ultimul număr al sumei este $$\frac{f(0)+f(6)}{2}=\frac{3+(-9)}{2}=\frac{-6}{2}=\color{lightgreen}{-3}.$$

Așadar, din regula sumei, aflăm că rezultatul este $$S=\color{blue}{7}\cdot(\color{lightgreen}{-3})=\color{red}{-21}.$$

Același rezultat ca mai sus, dar obținut mult mai elegant, mult mai rapid și valabil pentru mult mai multe cazuri. Iar a cunoaște Matematică înseamnă a cunoaște cât mai multe dintre asemenea scurtături.

Bacalaureat, varianta 39, M2, subiectul I, problema 1

Încep aici prin a vă prezenta rezolvarea unei variante alese la întâmplare (varianta 39) din lista variantelor de M2 date pentru anii trecuți.

Să se calculeze $$\log_2 4+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-\sqrt[3]{8}.$$

Fiind vorba despre subiectul I, elevul se poate baza pe faptul că rezolvările ar fi bine să decurgă mai repejor, căci nivelul de dificultate nu este foarte mare. Altfel spus, nu vă gândiți că e cine știe ce mare filozofie la acest subiect. Dimpotrivă, gândiți-vă că ar trebui să fie ceva simplu, fără calcule foarte laborioase.

Așadar, să începem. Ca să putem găsi suma celor trei termeni (așa se numește rezultatul ce trebuie obținut), vom calcula fiecare termen pe rând.

Întâi calculăm $\log_2 4$. Când vă loviți de logaritmi, amintiți-vă măcar următorul lucru: $\log_2 8=3$ pentru că $2^3=8$. Deci, logaritmul este exponentul la care trebuie să ridicăm baza logaritmului (numărul de mai jos) pentru a obține argumentul logaritmului (numărul de mai sus). Atunci, $\log_2 4=\color{red}{2}$, deoarece $2^\color{red}{2}=4$.

Cât o fi $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$? Întotdeauna când vedeți o fracție la un exponent negativ puteți răsturna fracția, iar exponentul își va schimba semnul. Așadar, avem $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\left(\frac{2}{1}\right)^{1}=\color{red}{2}$. Deci, din nou $\color{red}{2}$.

În fine, cât o fi $\sqrt[3]{8}$? În cazul logaritmului se cerea exponentul la care trebuie să ridicăm baza pentru a obține argumentul. În cazul radicalului se cere, de fapt, baza pe care trebuie s-o ridicăm la puterea a treia pentru a obține opt. Deci, cât la puterea a treia ne-ar da opt? Desigur, doi. Așadar, din nou, $\sqrt[3]{8}=\color{red}{2}$, căci $\color{red}{2}^3=8$.

Prin urmare $$\log_2 4+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-\sqrt[3]{8}=2+2-2=\color{red}{2}.$$

Rezultatul aproape că sugerează că aveți deja nota doi asigurată la Bac dacă rezolvați problema asta (deși ea vă aduce doar o jumătate de punct).

Integrale importante cu $e^x$

Haideți să clarificăm o dată pentru totdeauna cum e cu niște integrale importante, de genul $$\int(x+7)e^xdx,$$ care apar foarte des în probleme.

Voi începe chiar cu răspunsul, ca să mă puteți urmări mai bine, ca să știți la ce să vă uitați mai atenți în decursul raționamentelor.

Avem următoarea șmecherie faină: $$\int(x+\color{red}{7})e^xdx=(x+\color{blue}{6})e^x+constanta.$$

Observați că la rezultat scădem o unitate în paranteză.

Dacă am calcula derivata, atunci ar trebui să adunăm o unitate, căci am avea $$\left[(x+\color{blue}{7})e^x\right]^\prime=(x+\color{red}{8})e^x.$$ Integrala este antiderivata.

Și să vă arăt cum puteți redescoperi prin calcul această regulă, în ipoteza în care ați uitat-o exact în mijlocul unui examen. Integrala se calculează prin părți. Avem așa: $$\int(x+7)e^xdx=\int(x+7)(e^x)'dx,$$ căci în loc de $e^x$ putem pune oricând $(e^x)'$, aceasta fiind funcția remarcabilă care nu se schimbă nici prin derivare și nici prin integrare (bine, abstracție făcând de acea constantă pe care o putem aduna la integrare).

Așadar, $$\int(x+7)e^xdx=\int(x+7)(e^x)'dx.$$

Acum aplicăm integrarea prin părți, despre care știm că are forma $$\int fg'=fg-\int f'g.$$ Deci $$\int(x+7)(e^x)'dx=(x+7)e^x-\int(x+7)' e^xdx.$$ Dar $(x+7)'=1$, iar $1\cdot e^x=e^x$. Astfel, avem atunci $$\int(x+7)(e^x)'dx=(x+7)e^x-\int e^xdx=(x+7)e^x-e^x+constanta.$$ Aici nu ne rămâne decât să mai dăm un factor comun pe $e^x$ ca să nu-l scriem de două ori și avem $$(x+7)e^x-e^x=(x+7)e^x-1\cdot e^x=(x+7-1)e^x=(x+6)e^x.$$ Acum înțelegeți, deci, de ce $$\int(x+\color{red}{7})e^xdx=(x+\color{blue}{6})e^x+constanta.$$


De-acum înainte, dacă veți întâlni integrale de genul $$\large{\color{red}{\int(x+n)e^xdx}},$$ voi veți ști că rezultatul este $$\large{\color{red}{(x+n-1)e^x+C}}.$$

De exemplu, dacă primiți integrala faină de tot și foarte frecventă $$\int xe^xdx,$$ voi îi puteți afla foarte repede rezultatul deoarece o puteți scrie rapid sub forma $$\int xe^xdx=\int(x+0)e^xdx$$ și, conform regulii de mai sus, obținem $$(x+0-1)e^x=(x-1)e^x,$$ plus constanta.

Calculați $\int\ln(x+3)dx$ (desigur, pe domeniul de definiție subînțeles, adică pe $(-3,\infty)$).

Când primim de calculat o integrală, ne gândim desigur cam ce metode cunoaștem pentru a calcula integrale. Oare această integrală se calculează „prin părți” sau cu „u” sau cu alte artificii? Habar n-avem. Pentru început, habar n-avem. Un lucru e sigur: integrala dată nu este deja în tabel, așa că va trebui să-i venim cumva de hac.

Ne apucăm să încercăm „prin părți”. La prima vedere, nici vorbă! Această integrală nu poate fi calculată prin părți! Căci, pentru a o putea calcula prin părți, ar trebui să avem sub integrală un produs de două funcții, dintre care una să fie o derivată, deci ori $\int f\cdot g'$, ori $\int f'\cdot g$.

Desigur, noi avem sub integrală o singură funcție, $\ln(x+3)$, nu două. Înseamnă că încercarea noastră de a o calcula prin părți a eșuat? Nicidecum! Din fericire, în loc de $ceva$ putem scrie întotdeauna $1\cdot ceva$. A apărut $1$ acolo, ca din senin, ca să ne ajute pe noi să putem scrie funcția noastră ca un produs de două funcții.

Ok. Deci integrala noastră devine acum $$\int\ln(x+3)dx=\int 1\cdot\ln(x+3)dx.$$ Parcă sună altfel acum.

Hmmm... Mai trebuie să aducem conținutul integralei la o formă care să conțină ceva derivat. O fi greu oare asta? Nu, nici asta nu e greu. Căci în loc de $1$ putem să scriem $x'$ sau $(x+1)'$ sau chiar $(x+3)'$. Și iată că am obținut și derivata necesară.

Dar, vai! Totuși! Oare ce vom alege să punem în locul lui $1$, atunci? Vom pune $x'$ sau $(x+1)'$ sau $(x+3)'$? Pe ce criteriu alegem constanta pe care o vom pune lângă $x$? Pe criteriul experienței... Aveți libertatea să încercați să puneți întâi doar $x'$ în locul lui $1$, dar veți vedea că, la momentul oportun, veți ajunge într-o fundătură (nu veți mai putea simplifica), așa după cum veți înțelege mai jos.

Experiența ne spune că în locul lui $1$ trebuie să punem $(x+3)'$. Astfel, integrala noastră devine $$\int\ln(x+3)dx=\int 1\cdot\ln(x+3)dx=\int(x+3)'\ln(x+3)dx.$$ Această formă este numai bună de abordat prin părți, căci cunoaștem formula hiperutilizată $$\int f'g=fg-\int fg'.$$

Conform acestei formule, avem $$\int(x+3)'\ln(x+3)dx=(x+3)\ln(x+3)-\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx.$$ Mai rămâne să scăpăm și de a doua integrală, care, musai, trebuie să fie mai simplă (sau cel mult la fel de complicată) ca integrala de la care am pornit, altfel suntem pe un drum greșit, căci demersul de a o calcula prin părți este sortit eșecului.

Din fericire, integrala rezultată în urma aplicării formulei prin părți a devenit mai simplă decât integrala inițială, căci prin derivarea logaritmului după formula $$(\ln u)'=\frac{u'}{u},$$ acesta dispare și avem
$$\left[\ln(x+3)\right]'=\frac{(x+3)'}{x+3}=\frac{1}{x+3},$$ deci integrala a doua devine
$$\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx=\int(x+3)\frac{1}{x+3}dx.$$

Dar $$(x+3)\frac{1}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}=1.$$ Așadar $$\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx=\int(x+3)\frac{1}{x+3}dx=\int 1 dx=x,$$ plus constanta, desigur.

Culegând acest rezultat, îl punem în locul integralei din formula rezultată prin părți și obținem, în sfârșit,
$$\int\ln(x+3)dx=\color{red}{(x+3)\ln(x+3)-x+C}.$$

Ce credeți că s-ar fi întâmplat dacă în locul lui $3$ aveam $4$ sau $1$ sau orice alt număr ați vrea voi? De asemenea, acum observați de ce am ales să punem în locul lui $1$ tocmai pe $(x+3)'$ și nu altceva?

Mai observați că, având în vedere că în locul constantei putem pune orice număr, mai puteam scrie și $$\int\ln(x+3)dx=(x+3)\ln(x+3)-(x+3)+C.$$ Sau puteam da factor comun pe $(x+3)$ și obțineam $$\int\ln(x+3)dx=\color{red}{(x+3)[\ln(x+3)-1]+C}.$$.

Calculați $\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx$

Integrala $\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx$ poate fi calculată „cu $u$” sau „prin părți”.

Cu $u$

Pentru a o calcula „cu $u$” (deci, cu cea mai elegantă și eficientă metodă în cazul acestei integrale) găsim, bâjbâind, o funcție de $x$ aflată sub integrală, funcție pe care să o notăm prescurtat cu „$u$”.

Dacă suntem norocoși sau experimentați, notăm din prima $$u=\ln x.$$ Automat, calculăm și $$u'=\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}.$$ Toate acestea ne vor permite acum să constatăm că integrala noastră poate fi scrisă mai condensat, cu litera $u$, astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u'\cdot u^2 dx=\int u^2\cdot u' dx.$$

Apoi, ca să scăpăm chiar și de ultimul $x$ de sub integrală, ne folosim de legea de schimbare a diferențialei care ne spune că $u'dx$ poate fi înlocuit simplu cu $du$. Atunci, integrala noastră devine și mai elegantă $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du.$$ De aici încolo, calculul e floare la ureche. Ne amintim cât este $\int x^2 dx$ și punem același rezultat pentru orice altă literă pe care am dori s-o folosim în locul lui $x$, de data asta litera $u$.

Și cum $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C,$$ înseamnă că și $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C.$$

Acum, ne amintim că $u$-ul nostru este, de fapt, $\ln x$. Deci, avem un lanț frumos de egalități $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C=\color{red}{\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$

Prin părți

Dar să vedem „prin părți” ce se poate face. Ca să o putem calcula prin părți, trebuie să aducem integrala noastră la ceva de genul $\int f\cdot g'$ sau  $\int f'\cdot g$. Desigur, elevul care știe că $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$, va înlocui fracția cu derivata logaritmului, deci va scrie integrala astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx.$$

De-acum, integrala are o formă cerută de formula de integrare prin părți, adică este de forma $\int f'g$. Iar noi știm că avem $$\int f'g=fg-\int fg'.$$ Pe această linie, integrala noastră devine $$I=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx=\ln x\cdot\ln^2 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx,$$ adică, $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx.$$

Mai trebuie să vedem cât este $$\left(\ln^2 x\right)',$$ deci cât este $$\left(ceva^2\right)'.$$ Pentru asta trebuie să vă amintiți dintr-a XI-a când ați învățat despre derivata funcției compuse , că avem $$\left(ceva^2\right)'=2\cdot ceva\cdot ceva'.$$

Și cum $ceva$-ul nostru este $\ln x$, înseamnă că $$\left(\ln^2 x\right)'=2\ln x\cdot\left(\ln x\right)'=2\ln x\frac{1}{x}.$$

Punând rezultatele laolaltă, avem că $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx=ln^3 x-\int\ln x\cdot 2\ln x\frac{1}{x}dx.$$ Haideți să scoatem constanta în fața integralei și să aranjăm puțin factorii încât să observăm ceva: $$I=ln^3 x-2\int\ln x\cdot\ln x\frac{1}{x}dx=ln^3 x-2\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx.$$

Dar acum observați?! După $2$ se află, din nou, tocmai integrala pe care trebuia s-o calculăm! Adică, am obținut $$I=\ln^3 x-2I.$$ De-acum, pentru a-l găsi pe $I$ procedăm ca și pentru a rezolva o ecuație cu $I$, deci ducem termenul $-2I$ din dreapta în stânga egalității (cu semn schimbat) și vom avea $$I+2I=\ln^3 x,$$ adică $$3I=\ln^3 x,$$ de unde rezultă din nou că $$\color{red}{I=\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$

Așadar, mai sus aveți două metode pentru a calcula integrala din enunț.

Calculați $\int(3x-7)^2 dx$.

Un elev care nu știe să folosească funcții compuse, va face eventual efortul de a desface paranteza de sub integrală și de a calcula mai apoi integrala fiecărui termen rezultat. Mai exact, folosindu-se de formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, el va face ceva de genul $$\int(3x-7)^2dx=\int (3x)^2-2\cdot 3x\cdot 7 +7^2 dx.$$ Așadar, $$\int(3x-7)^2dx=\int9x^2-42x+49dx.$$

Apoi, va desface integrala în trei integrale, conform proprietății $\int(f\pm g)=\int f\pm\int g$. Va obține atunci, sărăcuțul, după o groază de lucru, ceva de genul $$\int(3x-7)^2=\int 9x^2 dx-\int 42x dx+\int 49 dx.$$ Și încă tot nu a terminat, desigur. Gândiți-vă că de-acum trebuie să ia în parte fiecare dintre cele trei integrale, pentru a le calcula.

Să calculăm întâi integrala $\int 9x^2 dx$. Dacă ne amintim ușor, ne vom folosi de proprietatea că, atât la derivate, cât și la integrale constanta iese în față. Așadar, $$\int 9x^2 dx=9\int x^2 dx.$$ De-acum, fără acel $9$, integrala este una pe care o regăsim în tabel. Căci știm că $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}$. Astfel, $$\int 9x^2 dx=9\frac{x^3}{3}=3x^3.$$

Apoi, vom avea că $$\int 42 x dx=42\int x dx=42\frac{x^2}{2}=21x^2.$$

În fine, $$\int 49 dx=49\int 1 dx=49x.$$

Punem acum rezultatele împreună și punem și constanta aceea plictisitoare, deci avem calculul integralei inițiale $$\int(3x-7)^2 dx=3x^3-21x^2+49x+c.$$

După o groază de lucru, elevul nostru a reușit să obțină rezultatul, pentru că a cunoscut formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ și pentru că a mai cunoscut că o constantă iese în față și a mai cunoscut cum se calculează o integrală dintr-o putere a lui $x$.



Dar, haideți să vedem cum ar fi procedat un alt elev, mai sârguincios, care știe să calculeze integrala unei funcții compuse. Privind mai lung la integrală, s-ar fi gândit dacă nu cumva ar putea s-o aducă la forma $$\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}.$$ Observați că aici șmecheria este acel $ceva'$. Dacă sub integrală avem o funcție de $ceva$ și, pe lângă, îl mai avem și pe $ceva'$, atunci suntem cei mai fericiți, căci putem aplica formule de integrare pe care le știm deja din tabelul cu $x$.

Așadar, elevul nostru trebuie să stabilească întâi cine este acel $ceva$, după care să-l calculeze pe $ceva'$. Desigur, $ceva$-ul acestei integrale este, evident, $$ceva=3x-7.$$ Apoi, $$ceva'=(3x-7)'=(3x)'-7'=3x'-7'=3-0=3.$$

Dar, vai! Noi nu-l avem pe $3$ sub integrală și ne trebuie, căci numai atunci putem aplica formula aia frumoasă cu $\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}$! Cum facem atunci? Păi, ne amintim că $$orice=1\cdot orice=\frac{3}{3}\cdot orice=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot orice.$$ Iată, deci, cum am reușit să îl aducem pe $3$ lângă orice vrem noi. În baza acestei șmecherii, vom avea $$\int(3x-7)^2 dx=\int\frac{1}{3}\cdot 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$ Și cum constanta pe care vrem noi o putem scoate în față, mai obținem $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\int 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$

Dar acum, ceea ce a rămas sub integrală este tocmai de forma $$\int ceva'\cdot ceva^2 dx,$$ deci îl putem înlocui cu $$\frac{ceva^3}{3}.$$ Astfel, avem în final, $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{(3x-7)^3}{9}+C,$$ care este o formă mult mai compactă decât cea pe care a găsit-o elevul precedent. Mai mult, această metodă este mult mai ușoară și mult mai generală, pentru că ea este aplicabilă și pentru exponenți mai ciudați. Cum ar fi procedat primul elev dacă în loc de exponentul $2$ al puterii de sub integrală i s-ar fi dat exponentul $30$? Ar fi desfăcut și acea paranteză? Desigur, nu, căci i-ar fi luat toată ora dedicată examenului.

Dar, oare, sunt egale cele două rezultate pe care le-au obținut cei doi elevi? Oare $$\color{blue}{\frac{(3x-7)^3}{9}+C=3x^3-21x^2+49x+c}?$$  Observați că în partea stângă a egalității constanta este $C$ mare, pe când în partea dreaptă avem $c$ mic, căci cele două constante nu sunt obligatoriu egale.

Vrem să verificăm, deci, dacă cele două rezultate sunt egale, ținând seama că în partea dreaptă constanta poate fi alta decât în partea stângă. Pentru asta, trebuie să știm cum ridicăm la puterea a treia un binom. Deci, ne folosim de formula $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

Astfel, $$(3x-7)^3=(3x)^3-3\cdot(3x)^2\cdot 7+3\cdot (3x)\cdot 7^2-7^3,$$ mai exact $$(3x-7)^3=27x^3-189 x^2+441x-343.$$ Atunci $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3-189x^2+441x-343}{9}+C.$$ Dar, o fracție de mai mulți termeni poate fi transformată în mai mulți termeni cu fracții, dacă desfacem numărătorul după metoda $$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}.$$ Atunci, $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3}{9}-\frac{189x^2}{9}+\frac{441x}{9}-\frac{343}{9}+C.$$ Împărțind cu $9$ ceea ce se poate împărți, obținem $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=3x^3-21x^2+49x-\frac{343}{9}+C.$$

Hmmm... Dar primul elev a obținut parcă altceva: $$3x^3-21x^2+49x+c.$$ Așa este. Deci, coincide doar partea care îl conține pe $x$ și nu coincide constanta.

Dar, cum spuneam, constanta aceea poate fi oricât! Deci, dacă numai constantele diferă, înseamnă că integrala este bine calculată. Căci două primitive distincte ale aceleiași funcții diferă numai printr-o constantă.

Inecuații cu modul

Dacă în postarea precedentă vorbeam de ecuații cu un modul, azi putem vorbi de inecuații cu un modul. Acestea sunt inegalități cu un modul, inegalități care conțin necunoscute.

Există două tipuri fundamentale de inecuații cu modul: tipul care conține semnul „mai mic” și tipul care conține semnul „mai mare”. 

Inecuațiile de primul tip sunt ceva de genul: $$|ceva|<8,$$ iar soluțiile unei asemenea inecuații sunt în intervalul deschis $$(-8,8).$$ Dacă semnul „mai mic” este însoțit și de semnul „egal”, atunci intervalul trebuie închis, deci soluțiile vor fi în intervalul $$[-8,8],$$ care înseamnă că soluțiile pot fi inclusiv $-8$ și $8$.





Inecuațiile de al doilea tip sunt ceva de genul: $$|ceva|>8,$$ iar soluțiile unei asemenea inecuații sunt într-o reuniune de intervale deschise $$(-\infty,-8)\cup(8,\infty).$$ Dacă semnul „mai mare” este însoțit și de semnul „egal”, atunci intervalul trebuie închis acolo unde nu există infinit, deci soluțiile vor fi într-o reuniune de intervale de forma $$(-\infty,-8]\cup[8,\infty),$$ care înseamnă că soluțiile pot fi inclusiv $-8$ și $8$.

În concluzie, la semnul „mai mic” nu apare infinitul.

Ecuații cu modul

Modulul este o ciudățenie care îi supără pe mulți elevi. Ce rost au barele acelea verticale ce apar în dreptul modulului? Sunt introduse doar pentru a ne complica viața?

Să presupunem că primiți o problemă de genul:

Să se rezolve ecuatia $$|2x-3|=5$$.

De ce au mai pus barele modulului? Nu puteau să ne dea aceeași ecuație fără barele-acelea verticale? Ecuația fără bare era mult mai simplu de rezolvat. Ce modificări aduc în plus barele? Cu ce se complică problema la apariția barelor? 

Ecuațiile cu modul sunt de două ori mai complicate decât ecuațiile fără modul. Atât. Doar de două ori. Altfel spus, o ecuație cu modul devine cât două ecuații fără modul. Așadar, dacă primiți spre rezolvare o ecuație cu modul, primiți de fapt spre rezolvare două ecuații fără modul. Și astfel, totul devine mai simplu.

Să concretizăm. Să vedem cum facem din ecuația cu modul de mai sus tocmai două ecuații fără modul.

Prima ecuație fără modul este cea mai simplă. Pur și simplu, copiați ecuația, dar fără barele modulului. Așadar, rezolvăm ecuația $$2x-3=5.$$ Îl aruncăm pe $-3$ în dreapta egalității și obținem $$2x=5+3=8.$$ Apoi, scăpăm cumva și de $2$-ul acela din fața lui $x$, aruncându-l și pe el în dreapta „cu semn schimbat”, dar de data asta „cu operație schimbată”, adică, înmulțirea dintre $2$ și $x$ care există în termenul $2x$ va deveni împărțire. Așadar, $$x=8:2$$ sau, mai elegant, $$x=\frac{8}{2}=4.$$ Iată, deci, rezolvarea primei ecuații fără modul. Această primă ecuație ne-a dus la prima soluție, $x_1=4$.

Dar, ecuațiile cu un modul au, de regulă, două soluții. A doua soluție va fi dată de a doua ecuație fără modul. Recunosc, această a doua ecuație este un pic, dar numai un pic, mai ciudată decât prima, mai nenaturală. Ea ne obligă să punem undeva (sau să ne gândim la) semnul minus. 

Unii elevi sar greșit la concluzia că, dacă prima soluție a fost $x_1=4$, atunci, știind că undeva trebuie să apară semnul minus, ar însemna că automat cea de-a doua soluție ar fi $x_2=-4$. Dar, din păcate, nu este așa de simplu. Nu putem conclude că dacă prima soluție are o anumită valoare, atunci cea de-a doua soluție ar avea aceeași valoare dar cu semn schimbat. Nu! Minusul apare altundeva!

Iată cum arată cea de-a doua ecuație fără modul, cea în care trebuie să ținem seama de semnul minus: $$2x-3={\large{\color{red}{-}}}5.$$ Desigur, nici această ecuație simplă de gradul întâi nu ne face probleme de rezolvare acu, dar rezolvarea ei ne va arăta că cea de-a doua soluție obținută nu are neapărat semnul opus primei soluții.

Avem, deci, după aruncarea lui $-3$ în dreapta egalității, $$2x=-5+3=-2.$$ Iar după aruncarea lui $2$ în dreapta (cu împărțire, nu cu scădere!), vom avea $$x=\frac{-2}{2}=-1.$$ Iată că a doua soluție este $x_2=-1$ și nicidecum $-4$!

Facem o probă? Haideți să facem și o probă. În locul lui $x$ din ecuația cu modul pe care am primit-o spre rezolvare vom pune pe rând cele două soluții ca să vedem dacă obținem, într-adevăr, rezultatul $5$, cât se află în partea dreaptă a egalității. Deci $$|2\cdot 4-3|=|8-3|=|5|=5.$$ Așadar, prima soluție este verificată. Să vedem și a doua. În locul lui $x$ punem acum $-1$. Obținem $$|2\cdot(-1)-3|=|-2-3|=|-5|=5.$$ Deci, din nou, obținem verificarea ecuației.

Așadar, nu uitați, o ecuație cu un modul nu diferă foarte mult de ecuațiile fără modul, ci este echivalentă cu două ecuații fără modul, iar într-una dintre ele apare implicat semnul minus. Aceasta se întâmplă deoarece valoarea unui modul nu se schimbă dacă schimbăm semnul conținutului pe care îl are acel modul.

Ecuația redusă a dreptei

Appletul pe care vi-l prezint astăzi aduce lumină în legătură cu ceea ce se întâmplă cu o dreaptă în plan atunci când modificăm unul dintre punctele care definesc dreapta.

Modificați-l cu mausul pe $a$ sau pe $b$ și veți vedea cum se modifică parametrii dreptei. $a$ este abscisa punctului $A(a,2)$, $b$ este ordonata punctului $B(2,b)$, $d$ este ecuația redusă a dreptei, $\alpha$ este unghiul dintre dreaptă și axa OX dat în radiani, iar $\beta$ este același unghi dat în grade.

Panta dreptei este tocmai numărul din fața lui $x$ care apare în ecuația redusă a dreptei și ne arată cât de înclinată este dreapta. Chiar dacă cele două nu sunt unul și același lucru, există totuși o legătură directă între unghiul de înclinare $\alpha$ și pantă, legătură dată de formula $$panta=\tan\alpha.$$

Observați că dacă panta se anulează (caz în care dreapta devine paralelă cu axa $OX$), atunci ecuația redusă a dreptei este de forma $y=număr$, iar dacă panta devine infinit de mare (dreapta devine perpendiculară pe $OX$), atunci ecuația dreptei este de forma $x=număr$.

Mai observați că dacă panta dreptei este pozitivă, atunci dreapta „urcă”, pe când dacă panta dreptei este negativă, atunci dreapta „coboară”.

Jucați-vă cu funcția de gradul al doilea (sau de gradul întâi)

Am găsit oarece timp și am creat un applet în aplicația fascinantă oferită de Geogebra, care vă prezintă evoluția graficului funcției de gradul al doilea (sau chiar al funcției de gradul întâi, pe care o obțineți dacă îl anulați pe $a$).

Aveți posibilitatea să mutați cu mausul (sau cu degețelul, pe telefon sau tabletă) valorile fiecăruia dintre cei trei parametri, $a$, $b$ și $c$, ca să vedeți ce se întâmplă cu graficul atunci când modificați unul dintre parametri. De asemenea, aveți posibilitatea să declanșați animația produsă de un anumit parametru.

Sper că v-am făcut o  surpriză plăcută!

Cât este 8-7 sau despre complexitatea creierașului de elev

Desigur, un școlar din clasele primare va da un răspuns aproape instantaneu dacă îi vom cere să ne spună care este rezultatul scăderii din titlu.

Însă se poate întâmpla ca un elev din clasele mai mari să stea mai mult pe gânduri.

În clasele primare, școlăreii încă n-au apucat să învețe despre numerele întregi negative, așa că pentru ei un asemenea calcul este floare la ureche. Însă nu la fel stau lucrurile cu un elev din clase mai mari.

Elevul dintr-o clasă gimnazială sau chiar și un licean va fi mai tulburat puțin de o asemenea întrebare, căci bagajul său de cunoștințe este mai bogat. S-ar putea ca el să creadă că problema este dificilă și va aplica regula complicată (dar firească) de operare a numerelor întregi, aceea cu "dacă două numere întregi au semne diferite, atunci rezultatul adunării lor va avea semnul celui mai mare dintre ele (în valoare absolută) și valoarea dată de diferența dintre cel mai mare și cel mai mic". Vă dați seama, o groază de muncă pentru un creier foarte concentrat și adâncit în rezolvarea problemei.

Așadar, este o crimă să criticăm un elev că stă pe gânduri la întrebarea din titlu! Este o gravă eroare pedagogică deoarece descurajează un suflet inocent în formare. Oamenii sunt foarte complecși și merită să avem răbdare cu ei, merită să nu tragem concluzii privind capacitatea lor din asemenea ezitări vremelnice. 

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2c

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $(2n+3) I_{n+1} =2(n+1) I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Elevii care se consideră slabi nu mai ajung la acest subiect, renunțând și ieșind din sala de examen fără să mai încerce rezolvarea. În schimb, elevul căruia profesorul i-a sugerat mereu că mintea lui este sclipitoare nu se va gândi să abandoneze, ci dimpotrivă, chiar dacă e obosit după atâta muncă, el va încerca să rezolve și această problemă. 

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2b

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $I_{n+1} \leq I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Ca să demonstrăm o asemenea inegalitate de integrale ne folosim de monotonia integralei. Într-un articol precedent recent spuneam ceva important despre monotonie, spuneam că funcțiile crescătoare nu modifică semnul inegalității, pe când cele descrescătoare îl modifică.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2a

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Arătați că $I_1=\frac 2 3$.

Ce înseamnă $I_1$? Înseamnă tocmai $I_n$ în care punem în locul lui $n$ numărul $1$. Așadar, $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx.$$

Deci, avem de calculat integrala drăguță $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx=\int_0^1 1-x^2 dx. $$

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1c

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Demonstrați că $f(2\sqrt 3 )<f(3\sqrt 2)$.


Dacă v-aș fi cerut să comparați numerele $2\sqrt 3 $ și $3\sqrt 2 $, ați fi găsit că $2\sqrt 3 <3\sqrt 2$, căci ați fi introdus sub radical (prin ridicare la pătrat) numerele din fața radicalului.

Acum amintiți-vă regula aia minunată: funcțiile crescătoare nu modifică semnul unei inegalități. În schimb, funcțiile descrescătoare modifică (îl inversează) semnul inegalităților asupra cărora sunt aplicate. Amănunte despre această proprietate puteți găsi în articolul în care descriam legătura dintre monotonie și derivată.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1b

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Calculați $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {f^\prime(x)} { f(x)}}. $$


Pe $f ^\prime (x) $ am găsit-o deja la subpunctul precedent, așa că limita care se cere este de fapt $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {e^x-x-1} {e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1}}. $$

Prima metodă (riguroasă și rapidă): 

Cum calculăm această limită, cât mai rapid? Vă povesteam cândva cum se poate calcula rapid limita unei fracții de polinoame atunci când $x$ tinde la infinit. La ceea ce am discutat acolo voi mai adăuga aici o observație importantă: funcția $e^x$ poate fi considerată ca fiind un polinom de gradul infinit.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1a

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Arătați că $f^\prime(x) =e^x-x-1$. 

De obicei, problemele de la subpunctul a sunt mai ușoare. Și aceasta este ușoară. Avem de calculat derivata unei funcții destul de simple, o funcție care conține trei termeni.

Derivata unei sume (sau, bineînțeles, diferențe) de trei termeni se reduce la o sumă de trei derivate. Mai exact, $$\color{blue} {(f+g+h)^\prime=f'+g'+h'}. $$

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2c

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Demonstrați că polinomul $f$ are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

Ei? Asta da, asta deja este o problemă ce dă oarece bătăi de cap. Cum dumnezeu să demonstrăm că polinomul dat are cel mult o rădăcină întreagă, că în liceu nu se învață nimic asemănător, nicio regulă care să ne ducă pe o cale regală către o asemenea demonstrație? Atunci ce trebuie să facă elevul?

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2b

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1^3 +x_2^3+x_3^3=2016-4a$, unde $x_1$, $x_2 $ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Ce sunt rădăcinile unui polinom? Sunt acele numere care anulează funcția polinomială asociată polinomului dat. Așadar, dacă înlocuim pe $x$ cu o rădăcină (să zicem, cu $x_1$), obţinem rezultatul zero. Adică, $$f(x_1) =0.$$

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2a

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Arătați că $f(0)=a$.

Vai, dar ce grea este problema asta! Vedeți câtă grijă are examinatorul? Are grijă să ne mai și odihnim între timp. Problema asta este pentru odihnă și pentru recuperarea timpului.

Oricărui polinom i se asociază o funcție polinomială. Polinomului nostru i se asociază funcția $f(x) =x^3 - 5x+a$. Sper că ați observat deosebirea dintre polinom și funcția polinomială, deosebirea dintre majuscula $X$ și minuscula $x$. Iată că în matematică trebuie să fim atenți chiar și la asemenea chestii.

Așadar, pentru a calcula $f(0)$, va trebui ca în funcția polinomială atașată polinomului nostru să-l înlocuim pe $x$ cu $0$. Obținem, deci, $$\color {red} {f(0)} =0^3 - 5\cdot 0+a=0-0+a=\color{red} {a}, $$ ceea ce trebuia demonstrat. 

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1c

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Știind că $A(n)=A(1)\cdot A (2)\cdot A (3)\cdot\dots\cdot A (2016) $, demonstrați că $n$ este număr natural divizibil cu $2017$.

Elevul concentrat și eliberat deja de emoția începutului de examen, se va gândi că ar trebui să fie o legătură între numărul $2016$ și $2017$. Apoi, gândind că aceste numere sunt alese la întâmplare, în funcție de anul curent, va conștientiza că trebuie să caute o metodă generală pentru a găsi soluția, o metodă independentă de aceste numere.

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1b

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Determinați numerele reale $x$, știind că $A(x)\cdot A(2x)=A(x^2+2)$.



Când trebuie să găsim necunoscute înseamnă că trebuie să ajungem cumva la o ecuație (de gradul întâi sau al doilea) care conține acele necunoscute. Altfel spus, noi vrem să scăpăm de litera $A$. Mai neriguros spus, vrem să "simplificăm" cu litera $A$.


Pentru a scăpa de litera $A$ va trebui să facem înmulțirea din partea stângă a egalității. Avem de făcut înmulțirea:$$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 1&2x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{2x}\\ \end{array} \right). $$