Aria cercului cu ajutorul integralei definite

Am arătat în articolul precedent utilitatea folosirii integralei definite pentru calculul ariilor. Vrem să calculăm aici aria cercului, cu ajutorul integralei definite. Pentru aceasta, vom calcula întâi aria primului cadran al cercului de rază $r$, arie ce reprezintă un sfert din aria totală a cercului, după care vom înmulți acest rezultat cu 4 și vom obține formula căutată.

Am văzut că pentru a calcula aria ne trebuie o funcție. În exemplul ales de noi, aria primului cadran este aria porțiunii albastre din cercul de rază 3 aflată în desenul

Cercul este definit ca fiind linia ce se menține la distanță egală de centru. Linia este o mulțime de puncte. Fiecare punct M de pe cerc este dat de o pereche de coordonate $M(x;y)$ și se află la aceeași distanță de centru, indiferent care ar fi coordonatele sale. Dar distanța de la punctul $M(x;y)$ la centrul cercului este lungimea ipotenuzei triunghiului dreptunghic roșu format cu „coordonatele” (deci, cu proiecțiile pe axe ale) punctului M.

Din teorema lui Pitagora avem că $x^2+y^2=3^2$. Această relație ne dă funcția pe care o vom folosi pentru calculul ariei cu ajutorul integralei definite, căci $y$ este de fapt $f(x)$. Putem scrie atunci că $f^2(x)=3^2-x^2$, de unde $f(x)=\sqrt{3^2-x^2}$.

Așadar, aria porțiunii albastre va fi $$A_{cadran I}=\int_0^3 f(x) dx=\int_0^3 \sqrt{3^2-x^2} dx.$$

Deci, ne trebuie întâi o primitivă a funcției $\sqrt{3^2-x^2}$. Fără a intra acum în aceste detalii, știm că o primitivă a funcției $\sqrt{a^2-x^2}$ este funcția $\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin{\frac{x}{a}})$. Astfel, înlocuind, obținem
$$A_{cadran I}=\int_0^3 \sqrt{3^2-x^2} dx=\left.\frac{1}{2}(x\sqrt{3^2-x^2}+3^2\arcsin{\frac{x}{3}})\right\vert_0^3.$$

Mai exact, avem
$$A_{cadran I}=\frac{1}{2}(3\cdot\sqrt{3^2-3^2}+3^2\arcsin{\frac{3}{3}})-\frac{1}{2}(0\cdot\sqrt{3^2-0^2}+3^2\arcsin{\frac{0}{3}}).$$

Făcând aceste calcule simple, obținem
$$A_{cadran I}=\frac{9\pi}{4}.$$

Acum că știm aria unui sfert de cerc, vom înmulți cu 4 pentru a obține aria întregului cerc. Atunci aria cercului va fi
$$A_{cerc}=3^2\pi,$$

adică, așa cum e și firesc, obținem exact relația pe care am fi obținut-o dacă porneam de la formula ariei cercului binecunoscută din gimnaziu.



.