Un binom nu este un trinom și nici un monom. Un binom are doi termeni. Exemplu de binom este $5+9$ sau $x+a$ sau $\frac{1}{2}-2xy$. Observați, deci, că într-un binom apar doi termeni și un semn „$+$” (sau „$-$”).
Desigur, și un trinom poate fi considerat un binom, dacă ne jucăm cu parantezele. De exemplu, trinomul $a+b+c$ poate fi considerat ca fiind binomul $a+d$, unde $d=b+c$. Așadar, un trinom poate fi considerat ca fiind un binom format dintr-un monom și un alt binom.
De asemenea, chiar și un monom poate fi considerat ca fiind un binom, prin simpla adăugare a lui zero. Mai exact, avem egalitatea dintre monomul $a$ și binomul $a+0$.
Așadar, vreau să scot în evidență faptul că dacă știți binoame, atunci știți o mulțime de lucruri.
Pentru ca un binom să fie „binomul lui Newton” este necesar ca binomul să apară ridicat la o putere. De exemplu binomul $(5+7)^3$ este un binom al lui Newton. Dar și binomul $(2+8)^1=2+8$ este tot un binom al lui Newton. Așadar, la urma urmei, orice binom poate fi considerat un binom al lui Newton.
Mă rog, pe noi nu ne preocupă foarte mult denumirea binomului, cu toate că Newton își merită pe deplin gloria în domeniul Matematicii și Fizicii. Noi ne vom ocupa mai degrabă de proprietățile interesante ale dezvoltării binomului, în funcție de puterea la care este ridicat.
Acesta este cuvântul cheie: DEZVOLTAREA binomului. Asta ne interesează pe noi, de fapt. Aceasta este esența acestui articol. Dacă înțelegeți cum se face dezvoltarea binomului lui Newton, atunci ați înțeles ceea ce trebuie.
Haideți să vedem ce-i aia „dezvoltare”. Începem cu dezvoltarea binomului pentru puterea a doua. Am fi putut începe cu cea mai simplă, deci cu dezvoltarea binomului la puterea întâi, doar că puterea întâi este atât de simplă, încât nu vă ajută să întrevedeți mai nimic din esența dezvoltării.
Deci, am zis puterea a doua. Ia să vedem. Dezvoltarea binomului la puterea a doua este rezultatul înmulțirii binomului cu el însuși de două ori. Adică, avem
$$(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b).$$
Desigur, încă nu avem dezvoltarea binomului, căci nu am făcut efectiv înmulțirea. Așa că va trebui să facem înmulțirea celor două paranteze.
Cum se înmulțesc cele două paranteze? Termen cu termen. Adică, avem
$$(a+b)\cdot(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b.$$
Dar $a\cdot b$ este totuna cu $b\cdot a$ în cazul înmulțirii numerelor, deci avem că $a\cdot b+b\cdot a=2\cdot a\cdot b$. Iar $a\cdot a$ este $a^2$. Așadar, dacă vom subînțelege că $2\cdot a\cdot b$ poate fi scris fără punctul pentru înmulțire, atunci obținem în sfârșit dezvoltarea binomului la puterea a doua:
$$(a+b)^\color{red}{2}=a^\color{red}{2}+2ab+b^\color{red}{2}.$$
Aceasta este dezvoltarea binomului lui Newton pentru puterea a doua. Nu uitați că în locul literelor $a$ și $b$ puteți pune orice numere, chiar și numere complexe. (Și chiar și matrice, dacă produsul celor două matrice se întâmplă cumva să fie comutativ.)
De exemplu, avem
$$49=7^2=\color{blue}{(3+4)^2=3^2+2\cdot 3\cdot 4+4^2}=9+24+16=49.$$
Haideți acum, după exemplul acesta, înainte de a trece mai departe, să mai povestim puțin despre această dezvoltare la puterea a doua. Să vedem dacă putem să observăm ceva ce am putea regăsi și la dezvoltările următoare pentru puteri mai mari.
Întâi trebuie să observăm că dezvoltarea pentru puterea a doua are trei termeni. Desigur, dezvoltarea pentru puterea a șaptea va avea opt termeni.
Apoi, să observăm că în dezvoltarea pentru puterea a doua mai avem proprietatea că $a$ începe de la puterea a doua (și ajunge la puterea zero, căci orice număr la puterea 0 este 1), iar $b$ ajunge la puterea a doua (și începe de la puterea zero).
Vreau să scriem amănunțit acest lucru, adică vreau să explicitez exponenții care apar, ca să se vadă mai bine faptul că puterile lui $a$ scad cu câte o unitate la exponent, iar puterile lui $b$ cresc:
$$(a+b)^2=a^2b^0+2a^1b^1+a^0b^2.$$
Această ultimă observație este foarte importantă, deoarece ne furnizează informația de bază pentru dezvoltările ulterioare ale binomului. Mai exact, putem anticipa deja că dezvoltarea binomului pentru puterea a treia $(a+b)^3$ ar putea arăta cam așa:
$$a^3b^0+\color{green}{(număr)}a^2b^1+\color{green}{(număr)}a^1b^2+a^0b^3,$$
unde $\color{green}{(număr)}$ este deocamdată un coeficient care ne poate încurca, deoarece noi ne gândim acum doar la exponenții care apar în dezvoltarea binomului. Așadar, mai bine nici nu vă gândiți deocamdată la aceste numere, pentru că vreau să înțelegeți bine chestia cu exponenții.
Mai exact, vreau să mai observați ceva la exponenții lui $a$ și $b$ din dezvoltarea pentru puterea a treia: observați că întotdeauna (deci, la fiecare termen al dezvoltării) suma exponenților este tocmai exponentul principal, deci exponentul pentru care se face dezvoltarea binomului. Concret, în cazul nostru de mai sus avem exponenții $3+0=3$, $2+1=3$, $1+2=3$ și $0+3=3$.
Și cam atât despre exponenții care apar în dezvoltarea binomului. Trecem acum la acele numere care ne-au încurcat atunci când ne-am concentrat la exponenți. Vom înțelege acum treaba cu aceste numere, cu acești așa-numiți „coeficienți binomiali”.
Acești coeficienți rezultă din următorul tabel triunghiular numit „triunghiul lui Pascal”, construit până la puterea a cincea:
$$\begin{matrix}
n=0&&&&&&&&1&&&&&&&&&&\\
n=1&&&&&&&1&&1&&&&&&&&&\\
n=2&&&&&&1&&1+1&&1&&&&&&&&\\
n=3&&&&&1&&1+2&&2+1&&1&&&&&&&\\
n=4&&&&1&&1+3&&3+3&&3+1&&1&&&&\\
n=5&&&1&&1+4&&4+6&&6+4&&4+1&&1&&\\
\end{matrix}$$
Observați în acest triunghi că un anumit coeficient diferit de $1$ este dat de suma celor doi coeficienți vecini aflați cu un rând mai sus. Această proprietate vă permite să construiți un rând al triunghiului folosindu-vă de rândul precedent.
Coeficienții binomiali, pe care îi regăsiți în triunghiul lui Pascal, sunt tocmai „combinările de $n$ luate câte $k$”, unde $n$ este puterea la care se ridică binomul, iar $k$ este poziția coeficientului în rândul respectiv unde „1”-rile din stânga se află în poziția 0, iar „1”-urile din dreapta se află în poziția $n$.
Prin urmare, dezvoltarea finală și generală a binomului lui Newton ar putea arăta, recunosc, foarte urât, dar inteligibil:
$\large{\color{green}{(a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1}b^1+C_n^2 a^{n-2}b^2+...+\\
+...C_n^k a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-2} a^2 b^{n-2}+C_n^{n-1} a^1 b^{n-1}+C_n^n b^n}}$
Observați că cel mai important termen care apare în această dezvoltare urâtă este termenul „din mijloc”, $\color{blue}{C_n^k a^{n-k}b^k}$. El este cel mai important deoarece toți ceilalți termeni pot fi scriși sub această formă dacă îl plimbăm pe $k$ de la $0$ la $n$. Datorită importanței sale, de fapt datorită generalității sale, acest termen se numește „termenul general” al dezvoltării.
Acum aveți la îndemână cam tot ceea ce vă trebuie pentru a dezvolta orice binom al lui Newton.
Apropo, găsiți și pe youtube un filmuleț interesant legat de acest triunghi.
Desigur, și un trinom poate fi considerat un binom, dacă ne jucăm cu parantezele. De exemplu, trinomul $a+b+c$ poate fi considerat ca fiind binomul $a+d$, unde $d=b+c$. Așadar, un trinom poate fi considerat ca fiind un binom format dintr-un monom și un alt binom.
De asemenea, chiar și un monom poate fi considerat ca fiind un binom, prin simpla adăugare a lui zero. Mai exact, avem egalitatea dintre monomul $a$ și binomul $a+0$.
Așadar, vreau să scot în evidență faptul că dacă știți binoame, atunci știți o mulțime de lucruri.
Pentru ca un binom să fie „binomul lui Newton” este necesar ca binomul să apară ridicat la o putere. De exemplu binomul $(5+7)^3$ este un binom al lui Newton. Dar și binomul $(2+8)^1=2+8$ este tot un binom al lui Newton. Așadar, la urma urmei, orice binom poate fi considerat un binom al lui Newton.
Mă rog, pe noi nu ne preocupă foarte mult denumirea binomului, cu toate că Newton își merită pe deplin gloria în domeniul Matematicii și Fizicii. Noi ne vom ocupa mai degrabă de proprietățile interesante ale dezvoltării binomului, în funcție de puterea la care este ridicat.
Acesta este cuvântul cheie: DEZVOLTAREA binomului. Asta ne interesează pe noi, de fapt. Aceasta este esența acestui articol. Dacă înțelegeți cum se face dezvoltarea binomului lui Newton, atunci ați înțeles ceea ce trebuie.
Haideți să vedem ce-i aia „dezvoltare”. Începem cu dezvoltarea binomului pentru puterea a doua. Am fi putut începe cu cea mai simplă, deci cu dezvoltarea binomului la puterea întâi, doar că puterea întâi este atât de simplă, încât nu vă ajută să întrevedeți mai nimic din esența dezvoltării.
Deci, am zis puterea a doua. Ia să vedem. Dezvoltarea binomului la puterea a doua este rezultatul înmulțirii binomului cu el însuși de două ori. Adică, avem
$$(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b).$$
Desigur, încă nu avem dezvoltarea binomului, căci nu am făcut efectiv înmulțirea. Așa că va trebui să facem înmulțirea celor două paranteze.
Cum se înmulțesc cele două paranteze? Termen cu termen. Adică, avem
$$(a+b)\cdot(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b.$$
Dar $a\cdot b$ este totuna cu $b\cdot a$ în cazul înmulțirii numerelor, deci avem că $a\cdot b+b\cdot a=2\cdot a\cdot b$. Iar $a\cdot a$ este $a^2$. Așadar, dacă vom subînțelege că $2\cdot a\cdot b$ poate fi scris fără punctul pentru înmulțire, atunci obținem în sfârșit dezvoltarea binomului la puterea a doua:
$$(a+b)^\color{red}{2}=a^\color{red}{2}+2ab+b^\color{red}{2}.$$
Aceasta este dezvoltarea binomului lui Newton pentru puterea a doua. Nu uitați că în locul literelor $a$ și $b$ puteți pune orice numere, chiar și numere complexe. (Și chiar și matrice, dacă produsul celor două matrice se întâmplă cumva să fie comutativ.)
De exemplu, avem
$$49=7^2=\color{blue}{(3+4)^2=3^2+2\cdot 3\cdot 4+4^2}=9+24+16=49.$$
Haideți acum, după exemplul acesta, înainte de a trece mai departe, să mai povestim puțin despre această dezvoltare la puterea a doua. Să vedem dacă putem să observăm ceva ce am putea regăsi și la dezvoltările următoare pentru puteri mai mari.
Întâi trebuie să observăm că dezvoltarea pentru puterea a doua are trei termeni. Desigur, dezvoltarea pentru puterea a șaptea va avea opt termeni.
Apoi, să observăm că în dezvoltarea pentru puterea a doua mai avem proprietatea că $a$ începe de la puterea a doua (și ajunge la puterea zero, căci orice număr la puterea 0 este 1), iar $b$ ajunge la puterea a doua (și începe de la puterea zero).
Vreau să scriem amănunțit acest lucru, adică vreau să explicitez exponenții care apar, ca să se vadă mai bine faptul că puterile lui $a$ scad cu câte o unitate la exponent, iar puterile lui $b$ cresc:
$$(a+b)^2=a^2b^0+2a^1b^1+a^0b^2.$$
Această ultimă observație este foarte importantă, deoarece ne furnizează informația de bază pentru dezvoltările ulterioare ale binomului. Mai exact, putem anticipa deja că dezvoltarea binomului pentru puterea a treia $(a+b)^3$ ar putea arăta cam așa:
$$a^3b^0+\color{green}{(număr)}a^2b^1+\color{green}{(număr)}a^1b^2+a^0b^3,$$
unde $\color{green}{(număr)}$ este deocamdată un coeficient care ne poate încurca, deoarece noi ne gândim acum doar la exponenții care apar în dezvoltarea binomului. Așadar, mai bine nici nu vă gândiți deocamdată la aceste numere, pentru că vreau să înțelegeți bine chestia cu exponenții.
Mai exact, vreau să mai observați ceva la exponenții lui $a$ și $b$ din dezvoltarea pentru puterea a treia: observați că întotdeauna (deci, la fiecare termen al dezvoltării) suma exponenților este tocmai exponentul principal, deci exponentul pentru care se face dezvoltarea binomului. Concret, în cazul nostru de mai sus avem exponenții $3+0=3$, $2+1=3$, $1+2=3$ și $0+3=3$.
Și cam atât despre exponenții care apar în dezvoltarea binomului. Trecem acum la acele numere care ne-au încurcat atunci când ne-am concentrat la exponenți. Vom înțelege acum treaba cu aceste numere, cu acești așa-numiți „coeficienți binomiali”.
Acești coeficienți rezultă din următorul tabel triunghiular numit „triunghiul lui Pascal”, construit până la puterea a cincea:
$$\begin{matrix}
n=0&&&&&&&&1&&&&&&&&&&\\
n=1&&&&&&&1&&1&&&&&&&&&\\
n=2&&&&&&1&&1+1&&1&&&&&&&&\\
n=3&&&&&1&&1+2&&2+1&&1&&&&&&&\\
n=4&&&&1&&1+3&&3+3&&3+1&&1&&&&\\
n=5&&&1&&1+4&&4+6&&6+4&&4+1&&1&&\\
\end{matrix}$$
Observați în acest triunghi că un anumit coeficient diferit de $1$ este dat de suma celor doi coeficienți vecini aflați cu un rând mai sus. Această proprietate vă permite să construiți un rând al triunghiului folosindu-vă de rândul precedent.
Coeficienții binomiali, pe care îi regăsiți în triunghiul lui Pascal, sunt tocmai „combinările de $n$ luate câte $k$”, unde $n$ este puterea la care se ridică binomul, iar $k$ este poziția coeficientului în rândul respectiv unde „1”-rile din stânga se află în poziția 0, iar „1”-urile din dreapta se află în poziția $n$.
Prin urmare, dezvoltarea finală și generală a binomului lui Newton ar putea arăta, recunosc, foarte urât, dar inteligibil:
$\large{\color{green}{(a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1}b^1+C_n^2 a^{n-2}b^2+...+\\
+...C_n^k a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-2} a^2 b^{n-2}+C_n^{n-1} a^1 b^{n-1}+C_n^n b^n}}$
Observați că cel mai important termen care apare în această dezvoltare urâtă este termenul „din mijloc”, $\color{blue}{C_n^k a^{n-k}b^k}$. El este cel mai important deoarece toți ceilalți termeni pot fi scriși sub această formă dacă îl plimbăm pe $k$ de la $0$ la $n$. Datorită importanței sale, de fapt datorită generalității sale, acest termen se numește „termenul general” al dezvoltării.
Acum aveți la îndemână cam tot ceea ce vă trebuie pentru a dezvolta orice binom al lui Newton.
Apropo, găsiți și pe youtube un filmuleț interesant legat de acest triunghi.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.