Matricea trigonometrică

Vreau să vă vorbesc aici despre o matrice extraordinar de interesantă, pe care o numesc „matricea trigonometrică”.

Eroul despre care vorbim aici este următoarea matrice minunată
$$\begin{pmatrix}
\cos x&-\sin x\\
\sin x&\cos x
\end{pmatrix}.$$
Haideți să o notăm cu $T(x)$.

Această matrice m-a frământat mult în tinerețe, când eram elev ca voi. Și m-a chinuit degeaba, căci ulterior am aflat că toate proprietățile pe care i le-am (re)descoperit eu în perioada în care o studiam erau, spre dezamăgirea mea, cunoscute deja. Așa că m-am dezumflat repede.

Cea mai interesantă proprietate a acestei matrice, proprietate care face legătura cu articolul precedent în care vă vorbeam despre formula lui Euler, este că $T(x)$ poate fi scrisă ca un fel de $e^{ix}$, deci, ca un fel de $\cos x+i\sin x$.

Dar, haideți să facem niște operații cu această matrice ca să vedeți ce poate ea. Facem întâi produsul ei cu ea însăși, deci o ridicăm la puterea a doua. Avem

$$T^2(x)=T(x)\cdot T(x)=\begin{pmatrix}
\cos x&-\sin x\\
\sin x&\cos x
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\cos x&-\sin x\\
\sin x&\cos x
\end{pmatrix}.$$
Făcând înmulțirea, obținem
$$T^2(x)=\begin{pmatrix}
\cos^2x-\sin^2x&-2\sin x\cos x\\
2\sin x\cos x&\cos^2x-\sin^2x
\end{pmatrix}.$$

Dar $\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)$, iar $2\sin x\cos x=\sin(2x)$. Prin urmare
$$T^2(x)=\begin{pmatrix}
\cos(2x)&-\sin(2x)\\
\sin(2x)&\cos(2x)
\end{pmatrix}.$$


Să mai arătăm că
$$T(a)\cdot T(b)=T(a+b).$$

Avem
$$\color{blue}{T(a)\cdot T(b)}=\begin{pmatrix}
\cos a&-\sin a\\
\sin a&\cos a
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\cos b&-\sin b\\
\sin b&\cos b
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}
\cos a\cos b-\sin a\sin b&-(\cos a\sin b+\cos b\sin a)\\
\cos a\sin b+\cos b\sin a&\cos a\cos b-\sin a\sin b
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}\cos(a+b)&-\sin(a+b)\\
\sin(a+b)&\cos(a+b)

\end{pmatrix}=\color{blue}{T(a+b)}.$$

Iată, deci, că acum mai aveți o altă modalitate (matriceală) prin care puteți reține și în alt mod cele două formule de bază ale funcțiilor trigonometrice pentru suma unghiurilor $a$ și $b$ pe care le-am dedus în materialul anterior folosindu-ne acolo de minunata formulă a lui Euler.