Suma lui Gauss generalizată

Enunț:
Fie funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, dată prin $f(x)=3x+2$. Se cere suma $f(1)+f(2)+...+f(7)$.

Rezolvare:
O primă abordare la care se gândește un elev mai slăbuț aflat în fața problemei ar fi să calculeze pe rând fiecare dintre numerele $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, $f(5)$, $f(6)$ și $f(7)$, după care să adune rezultatele. Desigur, acest lucru ar presupune ca elevul nostru să fie suficient de priceput încât să poată calcula valoarea unei funcții într-un punct, deci să știe că trebuie să-l înlocuiască pe $x$ cu numărul dintre paranteze, obținând $f(a)=3a+2$.

Așadar, presupunem că elevul ar proceda la calculele: $f(1)=3\cdot 1+2=3+2=5$, $f(2)=3\cdot 2+2=6+2=8$, $f(3)=3\cdot 3+2=9+2=11$, $f(4)=3\cdot 4+2=12+2=14$, $f(5)=3\cdot 5+2=15+2=17$, $f(6)=3\cdot 6+2=18+2=20$ și $f(7)=3\cdot 7+2=21+2=23$.

Atunci, bucuros, ar obține suma cerută $S=f(1)+f(2)+...+f(7)=5+8+11+14+17+20+23=98$ și ar trece imediat la următoarea problemă, fără să bănuiască măcar că examinatorul va rămâne cu un gust amar în urma acestei rezolvări.




Dar cum ar fi procedat un elev mai isteț? Păi, un asemenea elev și-ar fi pus o problemă mai generală și s-ar fi întrebat automat cum ar fi calculat o asemenea sumă dacă creatorul problemei nu era atât de darnic cu elevul și ar fi cerut să se calculeze suma a 100 de termeni, nu doar a celor 7. În acest caz, elevul își va da seama că suma cerută poate fi pusă sub forma
$$S=f(1)+f(2)+...+f(7)=(3\cdot 1+2)+(3\cdot 2+2)+...+(3\cdot 7+2)=$$
$$=(3\cdot 1+3\cdot 2+...+3\cdot 7)+(2+2+...+2),$$
unde fiecare paranteză conține 7 termeni. Mai departe, dând factor comun pe 3, elevul ar obține
$$S=3(1+2+...+7)+2\cdot 7.$$
Acum mai rămâne de calculat suma lui Gauss din paranteză, adică $1+2+...+7$. Elevul nostru știe acum că suma lui Gauss este semiprodusul dintre ultimul termen și cel consecutiv. Mai exact,
$$1+2+...+7=\frac{7\cdot 8}{2}=\frac{56}{2}=28.$$
Drept consecință, elevul nostru va obține
$$S=3\cdot 28+14=84+14=98.$$


Sunteți de acord acum că al doilea elev a construit o rezolvare mult mai elegantă decât primul elev, reușind să generalizeze problema pentru orice număr de termeni. Așadar, dacă funcția ar fi fost dată mai general sub forma $f(x)=ax+b$ și s-ar fi cerut suma $S=f(1)+f(2)+...+f(n)$, istețul nostru elev ar fi dat ca rezultat răspunsul
$$S=a\frac{n(n+1)}{2}+n\cdot b.$$

Acum observați ceva foarte interesant în această generalizare: ultimul rezultat poate fi scris și sub forma
$$S=n\left(a\frac{n+1}{2}+b\right).$$
Dar, din modul în care este definită funcția, avem că expresia din paranteză, $a\frac{n+1}{2}+b$, este tocmai $f\left(\frac{n+1}{2}\right)$. Prin urmare, obținem ceva foarte general pentru asemenea sume:
$$\color{red}{S=n\cdot f\left(\frac{n+1}{2}\right)}.$$
Ce-ar fi să rețineți formula asta? V-ar ajuta foarte mult la problemele de genul celei despre care am povestit aici.

Să vedem cum am putea-o reține mai ușor făcând o legătură cu suma lui Gauss. Știm că suma lui Gauss este dată de formula $$\color{blue}{1+2+3+...+n=n\cdot\frac{n+1}{2}}.$$
Atunci suma noastră este cam la fel ca și suma lui Gauss, numai că adăugăm semnul $\color{green}{f}$ astfel:
$$\color{blue}{\color{green}{f}(1)+\color{green}{f}(2)+\color{green}{f}(3)+...+\color{green}{f}(n)=n\cdot \color{green}{f}\left(\frac{n+1}{2}\right)}.$$
Puteți să-i spuneți acestei sume tocmai „suma lui Gauss generalizată”.

Și haideți să vedem cum am fi rezolvat problema noastră cu ajutorul acestei formule. Pornind de la faptul că
$$S=n\cdot f\left(\frac{n+1}{2}\right),$$
în problema noastră am avea $n=7$ și $f(x)=3x+2$. Atunci, $f\left(\frac{n+1}{2}\right)=3\cdot\frac{7+1}{2}+2=3\cdot 4+2=14$. Așadar, $S=n\cdot f\left(\frac{n+1}{2}\right)=7\cdot 14=98$, deci tocmai rezultatul obținut mai sus.

Sper că v-am fost de folos și că le veți spune și altora despre ceea ce ați aflat aici.