Cele mai simple limite

Limitele sunt „ziduri” care nu pot fi depășite. De exemplu limită când $x$ tinde la infinit din  fracția $\frac{x}{x+1}$ este numărul $1$. Așadar, în acest caz, $1$ este zidul pe care nu îl poate depăși niciodată fracția $\frac{x}{x+1}$.

Dacă în locul lui $x$ începem să punem întâi 0, obținem că fracția va fi $\frac{0}{0+1}=0$. Apoi, continuăm cu 1 și obținem că fracția va fi $\frac{1}{1+1}=0,5$. Mai departe, dacă în locul lui $x$ vom pune 2, atunci obținem $\frac{2}{2+1}=0,66666...$. Dacă în locul lui $x$ vom pune 3, vom obține ca rezultat un număr și mai mare, adică $\frac{3}{3+1}=0,75>0,66666>0,5$.

Așadar, pe măsură ce în locul lui $x$ punem numere din ce în ce mai mari, crește și rezultatul fracției $\frac{x}{x+1}$. Cu toate acestea, există un „zid” de netrecut pentru această fracție, oricât de mare ar fi numărul pus în locul lui $x$, iar acest zid este tocmai numărul 1 și se poate spune că limita spre infinit a fracției date este 1.




Se pune problema cum găsim asemenea ziduri. De unde știm noi că numărul 1 este zid pentru fracția $\frac{x}{x+1}$?

Dacă știi derivate, atunci răspunsul este foarte des destul de simplu, căci există de exemplu regula lui l'Hôpital pe care o poți folosi cu brio într-un asemenea caz.

Problema este că însăși derivata este și ea o limită și tocmai de aceea întâi se învață limite și apoi se învață derivate. Din acest motiv, noi vom evita acum deocamdată folosirea derivatelor pentru calculul limitelor și vom povesti mai degrabă de alte metode, mai concrete.


În general, pentru a calcula o limită de genul

$$\lim_{x\to a}f(x),$$

unde $a$ poate fi un număr obișnuit (adică, finit) sau unul neobișnuit (adică, infinit sau minus infinit), elevul va pune (deci, va înlocui) peste tot unde vede $x$ tocmai numărul $a$ spre care tinde $x$. Această înlocuire îl scutește pe elev să mai folosească simbolul $$\lim_{x\to a}.$$

De exemplu, dacă avem de calculat
$$\lim_{x\to 5}\frac{2x}{x-3}$$
vom înlocui peste tot unde vedem $x$ în expresia $\frac{2x}{x-3}$, tocmai cu numărul $5$ și vom obține o fracție în fața căreia nu mai trebuie să punem semnul $$\lim_{x\to 5},$$ adică
$$\lim_{x\to 5}\frac{2x}{x-3}=\frac{2\cdot 5}{5-3}.$$

Mai departe, nu ne rămâne decât să calculăm expresia banală $\frac{2\cdot 5}{5-3}$ pe care o poate calcula ușor chiar și un elev de gimnaziu. Calculând această valoare obținem
$$\frac{2\cdot 5}{5-3}=\frac{10}{2}=5$$

și putem spune că am obținut limita căutată. Scriem atunci că
$$\lim_{x\to 5}\frac{2x}{x-3}=5.$$

Am avut aici un exemplu foarte simplu, din care a trebuit să tragem doar concluzia că, de regulă, calculul limitelor începe prin simpla înlocuire a lui $x$ (sau a simbolului care apare în partea de jos a limitei, dacă acesta nu este tocmai $x$, ci altceva) cu numărul (obișnuit sau neobișnuit, finit sau infinit) spre care tinde $x$.

Așadar, cele mai simple limite sunt cele care pot fi calculate prin simpla înlocuire. În cazurile fericite înlocuirea ne duce la o expresie rezonabilă, pe care o poate calcula ușor chiar și un elev de gimnaziu.

Dar, desigur, foarte puține limite pe care le veți primi explicit la bac vor fi atât de simple. De regulă, veți primi niște limite pe care nu le va putea rezolva un elev de gimnaziu prin simpla înlocuire. Așa că rămânem datori să povestim în viitor și despre limite din ce în ce mai complicate.