Ați văzut în materialul anterior cum se dezvoltă binomul lui Newton. Vorbeam acolo despre combinări de $n$ luate câte $k$ și spuneam că aceste combinări sunt tocmai coeficienții binomial care apar în triunghiul lui Pascal.
Aș dori acum să discutăm puțin mai amănunțit despre una dintre proprietățile remarcabile ale combinărilor, așa cum rezultă aceasta numai și numai din triunghiul lui Pascal.
Proprietatea despre care vreau să vă vorbesc aici este complementaritatea combinărilor. Această proprietate ne spune că numerele care apar în dezvoltarea binomului lui Newton (deci, combinările) sunt simetrice față de mijlocul dezvoltării. Mai exact, după jumătatea dezvoltării începem să găsim aceleași numere ca și înainte de jumătate.
Pentru a înțelege mai bine la ce mă refer, voi lua ca exemplu dezvoltarea binomului la puterea a patra și la puterea a cincea, deci, o putere pară și una impară, ca să vedeți ce se întâmplă în ambele cazuri importante.
Știm acum că puterile lui $a$ scad, iar puterile lui $b$ cresc și știm că coeficienții binomiali se regăsesc în triunghiul lui Pascal, așadar:
$$(a+b)^4=a^4+\color{blue}{4}a^3b+\color{red}{6}a^2b^2+\color{blue}{4}ab^3+b^4$$
și
$$(a+b)^5=a^5+\color{blue}{5}a^4b+\color{red}{10}a^3b^2+\color{red}{10}a^2b^3+\color{blue}{5}ab^4+b^5.$$
Observați că în prima jumătate combinările cresc, iar apoi în a doua jumătate combinările scad. Mai observați că în cazul puterii pare (deci, în cazul puterii 4) avem un singur coeficient în mijloc (coeficientul roșu), iar în cazul puterii impare avem doi (un număr par de) coeficienți identici în mijloc.
Observați jocul? La puteri pare avem un număr impar de coeficienți (în mijloc), iar la puteri impare avem un număr par de coeficienți (roșii, în mijloc). De ce am pus „în mijloc” în paranteză? Deoarece și „în total” avem tot așa, deci propoziția era adevărată și fără paranteză. Mai exact, și în total, la puteri pare avem un număr impar de coeficienți (puterea plus unu).
Acum, după analiza calitativă a combinărilor, vom trece la analiza lor cantitativă. Pentru aceasta vom folosi un simbol caracteristic: $C_n^k$, care se citește „combinări de $n$ luate câte $k$”. Acest simbol ne spune pe care rând (numărul de jos) și în care coloană (numărul de sus) se află coeficientul în triunghiul lui Pascal.
De exemplu, pentru dezvoltarea binomului la puterea a patra vor apărea numai coeficienți din același rând corespunzător puterii a patra și vom scrie deci $C_4^k$, unde $k$ ne arată coloana din triunghiul lui Pascal, deci poziția coeficientului în dezvoltare. Acest $k$ ia valori de la zero la valoarea maximă egală tocmai cu puterea la care se face dezvoltarea.
Pentru exemplul cu puterea a patra avem $C_4^0=1$, $C_4^1=4$, $C_4^2=6$, $C_4^3=4$ și ultimul, $C_4^4=1$.
Pentru exemplul cu puterea a patra avem $C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$ și ultimul, $C_5^5=1$.
Cu aceste notații, complementaritatea combinărilor pentru puterea a patra se poate scrie
$$C_4^k=C_4^{4-k}.$$
De exemplu, $4=\color{blue}{C_4^3}=C_4^{4-3}=\color{blue}{C_4^1}=4$
Pentru puterea a cincea avem
$$C_5^k=C_5^{5-k}.$$
De exemplu, $10=\color{red}{C_5^3}=C_5^{5-3}=\color{red}{C_5^2}=10$.
Și ca să nu scriem această formulă separat pentru fiecare putere, vom folosi o literă pentru numărul de jos și vom obține formula generală a complementarității combinărilor:
$$\color{red}{C_n^k=C_n^{n-k}}.$$
Aș dori acum să discutăm puțin mai amănunțit despre una dintre proprietățile remarcabile ale combinărilor, așa cum rezultă aceasta numai și numai din triunghiul lui Pascal.
Proprietatea despre care vreau să vă vorbesc aici este complementaritatea combinărilor. Această proprietate ne spune că numerele care apar în dezvoltarea binomului lui Newton (deci, combinările) sunt simetrice față de mijlocul dezvoltării. Mai exact, după jumătatea dezvoltării începem să găsim aceleași numere ca și înainte de jumătate.
Pentru a înțelege mai bine la ce mă refer, voi lua ca exemplu dezvoltarea binomului la puterea a patra și la puterea a cincea, deci, o putere pară și una impară, ca să vedeți ce se întâmplă în ambele cazuri importante.
Știm acum că puterile lui $a$ scad, iar puterile lui $b$ cresc și știm că coeficienții binomiali se regăsesc în triunghiul lui Pascal, așadar:
$$(a+b)^4=a^4+\color{blue}{4}a^3b+\color{red}{6}a^2b^2+\color{blue}{4}ab^3+b^4$$
și
$$(a+b)^5=a^5+\color{blue}{5}a^4b+\color{red}{10}a^3b^2+\color{red}{10}a^2b^3+\color{blue}{5}ab^4+b^5.$$
Observați că în prima jumătate combinările cresc, iar apoi în a doua jumătate combinările scad. Mai observați că în cazul puterii pare (deci, în cazul puterii 4) avem un singur coeficient în mijloc (coeficientul roșu), iar în cazul puterii impare avem doi (un număr par de) coeficienți identici în mijloc.
Observați jocul? La puteri pare avem un număr impar de coeficienți (în mijloc), iar la puteri impare avem un număr par de coeficienți (roșii, în mijloc). De ce am pus „în mijloc” în paranteză? Deoarece și „în total” avem tot așa, deci propoziția era adevărată și fără paranteză. Mai exact, și în total, la puteri pare avem un număr impar de coeficienți (puterea plus unu).
Acum, după analiza calitativă a combinărilor, vom trece la analiza lor cantitativă. Pentru aceasta vom folosi un simbol caracteristic: $C_n^k$, care se citește „combinări de $n$ luate câte $k$”. Acest simbol ne spune pe care rând (numărul de jos) și în care coloană (numărul de sus) se află coeficientul în triunghiul lui Pascal.
De exemplu, pentru dezvoltarea binomului la puterea a patra vor apărea numai coeficienți din același rând corespunzător puterii a patra și vom scrie deci $C_4^k$, unde $k$ ne arată coloana din triunghiul lui Pascal, deci poziția coeficientului în dezvoltare. Acest $k$ ia valori de la zero la valoarea maximă egală tocmai cu puterea la care se face dezvoltarea.
Pentru exemplul cu puterea a patra avem $C_4^0=1$, $C_4^1=4$, $C_4^2=6$, $C_4^3=4$ și ultimul, $C_4^4=1$.
Pentru exemplul cu puterea a patra avem $C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$ și ultimul, $C_5^5=1$.
Cu aceste notații, complementaritatea combinărilor pentru puterea a patra se poate scrie
$$C_4^k=C_4^{4-k}.$$
De exemplu, $4=\color{blue}{C_4^3}=C_4^{4-3}=\color{blue}{C_4^1}=4$
Pentru puterea a cincea avem
$$C_5^k=C_5^{5-k}.$$
De exemplu, $10=\color{red}{C_5^3}=C_5^{5-3}=\color{red}{C_5^2}=10$.
Și ca să nu scriem această formulă separat pentru fiecare putere, vom folosi o literă pentru numărul de jos și vom obține formula generală a complementarității combinărilor:
$$\color{red}{C_n^k=C_n^{n-k}}.$$
Combinările care apar în această formulă se numesc „combinări complementare”. Așadar, combinările $C_5^3$ și $C_5^2$ sunt combinări complementare.
La ce sunt bune aceste combinări complementare? Păi, vă ajută să calculați mai repede niște combinări care altfel ar fi fost greu de calculat. De exemplu, dacă vi se cere să calculați $$C_{100}^{98}$$ voi veți ști de-acum automat că aceste combinări pot fi calculate mai simplu pentru că ele sunt egale cu $$C_{100}^2\frac{100\cdot 99}{1\cdot 2}=50\cdot 99=4950.$$
Sau poate vi se dă o problemă în care vi se cere să calculați, de exemplu, următoarele:
$$C_{15}^4+18-C_{15}^{11}.$$
La o asemenea problemă, voi veți observa automat că răspunsul este 18, deoarece veți ști că $C_{15}^{11}$ și $C_{15}^4$ sunt combinări complementare, deci sunt egale, deci diferența lor este nulă și nu mai trebuie calculate fiecare separat. Vă dați seama cât timp veți câștiga?
Mult succes în observarea combinărilor complementare!
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.