"Cea mai remarcabilă formulă matematică" implică alte formule trigonometrice fundamentale

Vom porni de la „cea mai remarcabilă formulă matematică” (după spusele marelui fizician Richard Feynman). Aceasta spune că pentru orice număr $x$ este adevărat că

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$$

unde $e$ este minunatul număr al lui Euler $e\approx 2,7182818...$

Această formulă ne permite să deducem o mulțime de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice și vreau să vă arăt câteva dintre lucrurile pe care le puteți deduce dacă știți această formulă.

Dacă înlocuim în formula dată pe $x$ cu $2x$, atunci obținem că

$$e^{i(2x)}=\cos(2x)+i\sin(2x)$$ .

Dar, din proprietățile puterilor știm că
$$e^{i(2x)}=(e^{ix})^2.$$

Deci

$$\color{blue}{\cos(2x)+i\sin(2x)}=\\=e^{i(2x)}=(e^{ix})^2=(\cos x+i\sin x)^2=\\ =(\cos x+i\sin x)\cdot(\cos x+i\sin x).$$  

Așadar, dacă păstrăm termenul din stânga egalității și facem înmulțirea factorilor din dreapta, obținem
$$\color{blue}{\cos(2x)+i\sin(2x)}=\\=\cos x\cdot\cos x+i\cos x\sin x+i\sin x\cdot\cos x-\sin x\sin x.$$

Sau, și mai frumos

$$\color{blue}{\cos(2x)+i\sin(2x)=(\cos^2x-\sin^2x)+i(2\sin x\cos x)}.$$

Cum două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă au ambele părți (și cea reală și cea imaginară) egale între ele, ați obținut dintr-un șut două formule importante din trigonometrie:
$$\large{\color{red}{\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x}}$$
și
$$\large{\color{red}{\sin(2x)=2\sin x\cos x}}.$$

Deci, nu uitați, nici sinusul dublului nu este dublul sinusului și nici cosinusul dublului nu este dublul cosinusului.


Tot din proprietățile puterilor, mai exact din proprietatea $x^{a+b}=x^a\cdot x^b$, folosindu-ne de cea mai remarcabilă formulă matematică, mai putem deduce două formule de bază ale trigonometriei.

Dacă $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, atunci avem și
$$e^{i(a+b)}=\cos(a+b)+i\sin(a+b).$$
Deci,

$$\color{blue}{\cos(a+b)+i\sin(a+b)}=e^{i(a+b)}=e^{ia}\cdot e^{ib}=\\ =(\cos a+i\sin a)\cdot(\cos b+i\sin b)=\\ =\cos a\cos b+i\cos a\sin b+i\sin a\cos b-\sin a\sin b=\\ =\color{blue}{(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\cos a\sin b+\sin a\cos b)}.$$ Așadar, din nou, din egalitatea celor două numere complexe obținem ceva minunat și prețios în trigonometrie:
$$\large{\color{red}{\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}}$$
și
$$\large{\color{red}{\sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b}}.$$

Acum sper că nu mai puteți uita asemenea formule. Și mai sper că, chiar dacă cumva le veți uita până la bac, aveți acum un instrument puternic pentru ca să vi le puteți reaminti în două minute, acolo, pe o ciornă.