Cum e cu schimbarea de variabilă

Știm cu toții că una dintre cele mai simple integrale este, așa cum rezultă din tabele,
$$\int e^x dx=e^x.$$

În acest articol vom discuta despre schimbarea de variabilă, din $x$ în $u$. Cu această ocazie ne putem întreba cât ar fi
$$\int e^u du.$$

Observați că singurul lucru pe care l-am schimbat în expresia integralei $\int e^x dx=e^x$ a fost litera $x$, pe care am schimbat-o cu litera $u$. Atunci, și rezultatul va fi tot ceva în care vom schimba doar litera. Mai exact, avem și
$$\int e^u du=e^u.$$

Și, desigur, am putea schimba litera cu orice altă literă, că tot un astfel de rezultat am obține:
$$\int e^y dy=e^y,$$
$$\int e^v dv=e^v,$$
$$\int e^s ds=e^s.$$

Și-atunci, la ce mai e bună schimbarea literei? Tocmai, schimbarea literei nu ne ajută deloc. Căci simpla schimbare a literei nu este echivalentă cu schimbarea de variabilă propriu-zisă. Pentru a schimba variabila trebuie să facem ceva mult mai profund decât o simplă schimbare de literă.



Șmecheria schimbării de variabilă este dată de diferențiala care apare sub integrală. Veți înțelege de-acum de ce se tot pune câte-un $dx$ la fiecare integrală. Veți înțelege cât de mult contează această diferențială.

Deci, nu este totuna
$$\int e^x dx$$
cu
$$\int e^u d\color{red}{x}.$$



Să vă dau un exemplu. Știți că $\int e^x dx=e^x$. De asemenea, știți că $\int e^u du=e^u$, oricât ar fi $u$. Haideți să punem în locul lui $u$ tocmai $2x$, să vedem ce iese. Am avea atunci că
$$\int e^u du=\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}=e^{2x}=e^u.$$
Rezultat corect. Așadar
$$\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}=e^{2x}.$$

Dar să presupunem că noi vrem acum să știm cât este
$$\int e^{2x}d{\color{red}{x}}.$$

Desigur, cele două vor fi diferite. Adică, vom avea că
$$\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}\neq\int e^{2x}d{\color{red}{x}}.$$

Ele nu diferă foarte mult în acest caz, dar totuși diferă, iar asta este important. Anticipând puțin am să vă arăt rezultatul:
$$\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}.$$

Apare, deci, un $\frac{1}{2}$ suplimentar în fața rezultatului, în comparație cu
$$\int e^{2x}d(2x)=e^{2x}.$$

Deci, rețineți,
$$e^{2x}=\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}\neq\int e^{2x}d{\color{red}{x}}=\frac{1}{2}e^{2x}.$$



Acum, cu acest exemplu ați văzut importanța diferențialei pentru rezultatul integralei. Dar să vedem lucruri și mai clare, cantitative. De unde am inventat eu acel $\frac{1}{2}$? Cum l-am găsit?

Pentru a găsi răspunsul, trebuie să găsim o legătură cantitativă între diferențiala lui $u$ (adică $du$) și diferențiala lui $x$ (adică $dx$). Există o legătură frumoasă între ele. În cuvinte, această legătură se exprimă în felul următor: derivata lui $u$ este tocmai raportul dintre diferențiala lui $u$ și diferențiala lui $x$.

Simbolic, avem
$$u^\prime=\frac{du}{dx}.$$
Această relație ne dă deja legătura mult dorită între cele două diferențiale. Mai exact, avem
$$\color{blue}{du=u^\prime dx}.$$

Sau, din această relație mai putem scrie și
$$\color{blue}{dx=\frac{du}{u^\prime}}.$$

Așa că acum avem atât posibilitatea de a folosi diferențiala $dx$, cât și posibilitatea de a folosi diferențiala $du$. Dar, e de preferat să folosim diferențiala $\color{limegreen}{dx}$ atunci când lângă funcția de integrat apare o expresie care ar putea fi considerată $u^\prime$ și e de preferat să folosim diferențiala $\color{magenta}{du}$ atunci când lângă funcția de integrat nu apare ceva interesant care ar putea fi considerat $u^\prime$.


Exemple. Exemplu de funcție lângă care nu apare $u^\prime$. Tocmai exemplul de mai sus, adică
$$\int e^{2x}dx.$$
Desigur, am vrea să avem ceva de genul $e^u$, deci îl vom lua pe $u$ ca fiind egal cu $2x$. Și $u^\prime=2$. Așadar, lângă funcția noastră, sub integrală nu apare $2$, deci e de preferat să folosim diferențiala $du$. Avem atunci
$$\int e^{2x}dx=\int e^{2x}\frac{du}{u^\prime}=\int e^u\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int e^udu=\frac{1}{2}e^u=\frac{1}{2}e^{2x}.$$
Acum ați văzut de unde am scos acel $\frac{1}{2}$ când am anticipat rezultatul acestei integrale.



Să vedem acum un alt exemplu, de data aceasta în care apare sub integrală ceva ce poate fi considerat $u^\prime$. Să se calculeze
$$\int 2x e^{x^2} dx.$$

Observăm imediat că în cazul nostru $u=x^2$ și, deci, $u^\prime=2x$. Așadar, integrala noastră va fi
$$\int 2x e^{x^2} dx=\int u^\prime e^u dx=\int e^u (u^\prime dx).$$ Și cum $u^\prime dx=du$, avem mai departe că
$$\int 2x e^{x^2} dx=\int e^u (u^\prime dx)=\int e^u du.$$
Și cum litera nu mai contează, așa cum am văzut la începutul articolului, avem că
$$\int e^u du=e^u.$$
Și cum la noi $u=x^2$, rezultă că integrala este în final
$$\int 2x e^{x^2} dx=\int e^u (u^\prime dx)=\int e^u du=e^{x^2}.$$


Mamăăăă, acuma văd ce mult am vorbit pentru a vă explica schimbarea de variabilă! Ce ineficient am fost! Oare nu se puteau spune toate aceste lucruri mult mai eficient? Ce părere aveți? Voi cum ați fi explicat altfel această lecție?

Integrală ciudată

Să se calculeze $$\int\frac{1}{x(1+\ln^2 x)}dx.$$

Ar părea destul de ciudată integrala noastră. Dar primul lucru pe care îl putem face este să observăm că în integrala conține un $\ln x$ și un $\frac{1}{x}$. Dacă observăm acest lucru, atunci suntem pe jumătate rezolvați pentru că ne apropiem de găsirea esenței rezolvării problemei.

Pentru a merge mai departe, vom rescrie integrala noastră sub o altă formă echivalentă:
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx.$$
Aceasta este o formă foarte sugestivă, căci ea seamănă deja cu o integrală cunoscută din tabele.

Mai exact, noi știm că
$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x$$
și ne întrebăm dacă nu cumva și integrala noastră ar putea fi ceva de această formă.

Pentru aceasta ar trebui să știm și cât este integrala asemănătoare pentru o altă variabilă, nu tocmai pentru $x$. Altfel spus, am vrea să știm dacă nu cumva
$$\int\frac{1}{1+u^2}dx$$ este tot ceva cu arctangentă.

Trebuie să știm ceva foarte important atunci când lucrăm cu alte variabile decât $x$: și anume că întotdeauna sub integrală avem nevoie să se afle și un $u^\prime$! Dacă sub integrală putem găsi $u^\prime$, atunci avem posibilitatea să ducem la capăt integrala.

În cazul nostru, dacă alegem $u=\ln x$, atunci avem că $u^\prime=\frac{1}{x}$. Deci, integrala noastră poate fi scrisă
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx=\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx.$$

Avem acum tot ce ne trebuie pentru calculul integralei. Din faptul că $x^\prime=1$, avem
$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\int\frac{x^\prime}{1+x^2}dx=\arctan x.$$

Această formulă ne spune că
$$\large{\color{red}{\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx=\arctan u}},$$
formulă valabilă pentru orice fel de $u$, nu doar pentru $u=x$. Deci, această formulă este valabilă și pentru $u=\ln x$, așa cum e în cazul nostru. În consecință,
$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln^2 x}dx=\int\frac{u^\prime}{1+u^2}dx=\arctan u=\arctan(\ln x)+constanta,$$
ceea ce încheie calculul nostru.

Diferitele forme ale ecuației de gradul al doilea

Știți că forma generală a ecuației de gradul al doilea este
$$ax^2+bx+c=0.$$
Determinantul ei este $\Delta=b^2-4ac$, iar soluțiile sunt
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Apoi, dacă împărțim această ecuație cu $a$ (care este, prin definiția ecuației de gradul al doilea, diferit de zero, deci se poate împărți cu el liniștit), obținem o altă formă a ecuației generale de gradul al doilea:
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Acum putem să înlocuim pe $\frac{b}{a}$ cu $m$ și pe $\frac{c}{a}$ cu $n$ și obținem forma canonică (sau forma redusă sau forma normală) a ecuației:
$$x^2+mx+n=0.$$

Determinantul acestei ecuații are forma $\Delta=m^2-4n$, iar soluțiile ei sunt
$$x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}.$$

În baza relațiilor lui Viète, despre care vă povesteam ieri, mai putem vorbi despre o formă intuitivă a ecuației în care avem $S=x_1+x_2$ și $P=x_1\cdot x_2$:
$$x^2-Sx+P=0.$$
Determinantul acesteia este $\Delta=S^2-4P$, iar soluțiile ei sunt
$$x_{1,2}=\frac{S\pm\sqrt{S^2-4P}}{2}.$$



În fine, eu vă mai propun o altă formă, în care vrem să scăpăm de numitorul 2. Voi numi această formă drept forma specială a ecuației de gradul al doilea. În această formă ecuația de gradul al doilea arată astfel:
$$x^2-2rx+t=0.$$
Determinantul acestei ecuații este $\Delta=4r^2-4t=4(r^2-t)$, iar soluțiile ei sunt
$$x_{1,2}=r\pm\sqrt{r^2-t},$$
care, după cum vedeți, nu mai sunt scrise sub formă de fracție.

Desigur, voi nu trebuie să vă chinuiți să rețineți asemenea forme, dar rețineți măcar ceea ce se știe despre forma generală a acestei ecuații omniprezente.

Relațiile lui Viète de gradul al doilea

Îmi place să cred că vă mai amintiți care sunt formulele ce ne permit calculul soluțiilor unei ecuații de gradul al doilea atunci când cunoaștem coeficienții polinomului ce formează ecuația respectivă. Dacă nu, atunci urmăriți-mă în continuare cu atenție mărită.

Fie un polinom de gradul al doilea $P(x)=3x^2+4x-7$. Și fie ecuația de gradul al doilea construită cu acest polinom $3x^2+4x-7=0$. Și vrem să găsim soluțiile acestei ecuații sau, altfel spus, rădăcinile polinomului dat. Ecuațiile au soluții, polinoamele au rădăcini, iar rădăcinile polinomului $P(x)$ sunt soluțiile ecuației $P(x)=0$.

Pentru a găsi soluțiile unei ecuații de gradul al doilea trebuie să calculăm întâi determinantul ecuației. Determinantul este un număr foarte important. El se mai numește și discriminant, căci el face discriminarea între cele două soluții ale ecuației (chiar dacă discriminarea este interzisă prin lege :)  ) .

Dacă acest determinant nu există, pardon, dacă este nul, atunci cele două soluții ale ecuației devin una singură. În schimb, dacă acest determinant este nenul, cele două soluții vor fi diferite, iar diferența lor va fi dată de acest determinant.

Atunci când cunoaștem coeficienții $a$, $b$, $c$ ai unei ecuații de gradul al doilea $ax^2+bx+c=0$, determinantul acesteia se calculează cu formula $$\Delta=b^2-4ac.$$

În cazul ecuației noastre, $3x^2+4x-7=0$, determinantul va fi $\Delta=4^2-4\cdot 3\cdot(-7)=16+84=100$. Ce bine că e un pătrat perfect! Căci așa scăpăm de radicalii ăia urâți care apar de regulă în expresiile soluțiilor.

Buuun. Deci, ținem minte, determinantul nostru este 100. Să vedem acum dacă vom putea găsi și soluțiile ecuației. Cum determinantul (discriminantul) nu este nul, e clar că cele două soluții vor fi „discriminate”, adică vor fi diferite, distincte.

Soluțiile unei ecuații de gradul doi sunt două la număr. Și seamănă foarte mult între ele, diferind doar prin semnul determinantului. Această simetrie perfectă i-a dat de gândit unui băiat francez pe nume Évariste Galois, șoptindu-i la ureche faptul că o asemenea simetrie apare doar în anumite condiții. Din păcate, acest băiat a murit prea devreme. Cine știe ce minuni ale matematicii ar mai fi descoperit dacă trăia mai mult.

Să vedem cum arată aceste soluții. Avem pentru prima soluție expresia $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},$$ iar pentru cea de-a doua soluție avem $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$ Câtă simetrie!



Așadar, soluțiile ecuației noastre vor fi $$x_1=\frac{-4-\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{-4-10}{6}=-\frac{14}{6}=-\frac{7}{3},$$ iar $$x_2=\frac{-4+\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{-4+10}{6}=\frac{6}{6}=1.$$


Toate ca toate, dar pe-astea le știați voi destul de bine sau trebuia să le știți. Ceea ce nu știți însă unii dintre voi este că soluțiile ecuației de gradul al doilea i-au dat de gândit unui alt matematician francez pe nume François Viète, cu mult înaintea lui Galois. Și nu este exclus ca Galois să fi fost inspirat de farmecul descoperirii lui Viète.

Să vedem în ce sens i-au dat de gândit lui Viète soluțiile ecuației de gradul al doilea (desigur, nu putem ști ce a fost în mintea lui, dar ne putem imagina). Privind cele două soluții atât de simetrice $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ și $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, Viète s-a întrebat ce s-ar întâmpla dacă ar aduna între ele cele două soluții.

Plin de frenezie, Viète s-a apucat de calcul. Pe atunci nu existau semnele de astăzi, iar calculele de acest gen durau ceva mai mult (în treacăt fie spus, tocmai de aceea, Viète a lucrat cu rădăcini pozitive).  Astfel, Viète a făcut ceva de genul
$$x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Cum numitorul este același pentru ambele soluții, este suficient să adunăm numărătorii între ei și obținem
$$x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Așa cum i-a spus intuiția lui Viète cu mult înainte de a se fi apucat de calcul, $-\sqrt{\Delta}$ și $\sqrt{\Delta}$ de la numărător se reduc pentru că sunt aceleași valori cu semne opuse, așa că rămâne doar
$$x_1+x_2=\frac{-b-b}{2a}=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}.$$

Astfel, Viète a obținut această primă mare descoperire:
$$\large{\color{red}{x_1+x_2=-\frac{b}{a}}}.$$
Aceasta este o primă relație între rădăcini și coeficienți. Este remarcabilă datorită simplității sale, fără radicali. Ce mândru trebuie să fi fost Viète de o asemenea descoperire! Și ce fericit! Știa deja că doar această descoperire singură îi va scrijeli numele pe veșnicie în cărțile de matematică.

Desigur, această bucurie nu l-a oprit din cercetările sale. Căci cercetările fac parte integrantă din viața oamenilor de Știință adevărați. Ei cercetează așa de firesc precum vulturii planează în înălțimi și precum peștii se zbenguie în adâncul mărilor. Este o bucurie continuă, care face ca viața să fie teribil de frumoasă și deplină.

Probabil, Viète cunoștea formula de calcul prescurtat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Așa că, după ce a făcut adunarea celor două soluții, s-a gândit la ce ar ieși dacă ar face înmulțirea lor. Nu cumva ar scăpa și în acest caz de radicali?

Ian să vedem. Să facem, deci $x_1\cdot x_2$. Obținem
$$x_1\cdot x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Dar, două fracții se înmulțesc prin înmulțirea numărătorilor între ei și a numitorilor între ei. Deci,
$$x_1\cdot x_2=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})\cdot(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2}.$$

Iar la numărător avem formula de calcul prescurtat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, deci mai departe obținem
$$x_1\cdot x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}.$$

Dar $\Delta=b^2-4ac$, astfel că $-\Delta=-b^2+4ac$. Prin urmare, obținem pentru produsul rădăcinilor
$$x_1\cdot x_2=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}.$$
În fine, după simplificarea cu $4a$, simplificare permisă deoarece $a$ trebuie să fie diferit de 0 în cazul ecuațiilor de gradul al doilea, obținem a doua mare descoperire a lui Viète
$$\large{\color{blue}{x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}}}.$$

Marcat pe viață de asemenea relații, Viète și-a continuat cercetările din acest domeniu, studiind  și existența unor relații asemănătoare pentru cazuri mai generale decât pentru ecuații de gradul al doilea. Dar despre ele vom vorbi cu alte ocazii, căci și abordarea lui Viète a fost diferită, pornind de la descompunerea polinoamelor în binoame.


Noi vom aplica acum relațiile lui Viète pentru ecuația noastră, înlocuind cu rădăcinile pe care le-am obținut noi și vom avea
$$x_1+x_2=-\frac{7}{3}+1=-\frac{7}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-7+3}{3}=-\frac{4}{3},$$
adică exact ce spune prima relație a lui Viète.

A doua relație va fi
$$x_1\cdot x_2=-\frac{7}{3}\cdot 1=-\frac{7}{3},$$
rezultat care confirmă și a doua relație a lui Viète prin exemplul dat.



Editare din 3 decembrie 2014: v-am mai pregătit un articol cu relațiile lui Viète de ordinul trei.

Un număr interesant divizibil cu 10

Să se demonstreze că numărul $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ este divizibil cu 10.

Metoda ultimei cifre

Pentru a demonstra că un număr se divide cu 10 este suficient să arătăm că ultima cifră a numărului este $0$. Această metodă a ultimei cifre este foarte puternică în matematica de gimnaziu, așa că trebuie aprofundată bine.

Haideți să notăm cu $U(număr)$ ultima cifră a numărului $număr$. Atunci, avem câteva proprietăți faine ale acestei cifre:

1. $U(a+b)=U[U(a)+U(b)]$. Adică, ultima cifră a sumei dintre două numere este ultima cifră a sumei dintre ultimele cifre ale celor două numere. Altfel spus, ca să găsiți ultima cifră a adunării dintre două numere este mai ușor să adunați fiecare dintre ultima cifră a celor două numere și apoi să rețineți doar ultima cifră a rezultatului. N-are rost să adunăm numerele cu toate cifrele lor din moment ce nouă ne trebuie doar ultima cifră, căci este suficient să adunăm doar ultimele cifre ale celor două (sau oricâte or fi) numere.
2. $U(a\cdot b)=U[U(a)\cdot U(b)]$. Același lucru ca mai sus, la adunare. Și la înmulțire putem lucra doar cu ultimele cifre, din moment ce ne trebuie doar ultima cifră.
3. ZERO. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $0$ va rămâne $0$, ori la ce putere am ridica numărul respectiv. Mai elegant spus $$U(\overline{ab\dots cd0}^{\text{ oricât}})=0.$$
4. UNU, CINCI și ȘASE. Același lucru ca mai sus rămâne valabil nu doar pentru $0$, ci și pentru $1$, $5$ și $6$, în sensul că ultima cifră va fi tot $1$, $5$ și, respectiv, $6$. Deci, avem  $$U(\overline{ab\dots cd1}^{\text{ oricât}})=1,$$   $$U(\overline{ab\dots cd5}^{\text{ oricât}})=5$$ și  $$U(\overline{ab\dots cd6}^{\text{ oricât}})=6.$$
5. PATRU. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $4$ ridicat la o putere oarecare se repetă din doi în doi: o dată este $6$, iar cealaltă dată este $4$. Mai elegant, scriem  $$U(\overline{ab\dots cd4}^{\text{ număr par}})=6,$$ iar  $$U(\overline{ab\dots cd4}^{\text{ număr impar}})=4.$$
6. NOUĂ. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $9$ ridicat la o putere oarecare se repetă și ea din doi în doi, ca și în cazul de mai sus al lui $4$: o dată este $1$, iar cealaltă dată este $9$. Mai elegant, scriem  $$U(\overline{ab\dots cd9}^{\text{ număr par}})=1,$$ iar  $$U(\overline{ab\dots cd9}^{\text{ număr impar}})=9.$$
7. DOI. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $2$ ridicat la o putere oarecare se repetă din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd2}^{\text{ multiplu de 4}})=6,$$ $$U(\overline{ab\dots cd2}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{2},$$   $$U(\overline{ab\dots cd2}^{4k+\color{blue}{2}})=4,$$   $$U(\overline{ab\dots cd2}^{4k+\color{blue}{3}})=8.$$ Atunci, dacă ni se cere, de exemplu, ultima cifră a numărului $2^{359}$, îl vom împărți pe 359 la patru și vom reține restul împărțirii (care este 3), deci ultima cifră a lui $2^{359}$ este cea corespunzătoare restului 3, adică 8.
8. TREI. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $3$ ridicat la o putere oarecare se repetă din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd3}^{\text{ multiplu de 4}})=1,$$ $$U(\overline{ab\dots cd3}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{3},$$   $$U(\overline{ab\dots cd3}^{4k+2})=9,$$   $$U(\overline{ab\dots cd3}^{4k+3})=7.$$
9. ȘAPTE. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $7$ ridicat la o putere oarecare se repetă tot din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd7}^{\text{ multiplu de 4}})=1,$$ $$U(\overline{ab\dots cd7}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{7},$$   $$U(\overline{ab\dots cd7}^{4k+2})=9,$$   $$U(\overline{ab\dots cd7}^{4k+3})=3.$$
10. OPT. Ultima cifră a unui număr care se termină cu $8$ ridicat la o putere oarecare se repetă tot din patru în patru și avem: $$U(\overline{ab\dots cd8}^{\text{ multiplu de 4}})=6,$$ $$U(\overline{ab\dots cd8}^{4k+\color{magenta}{1}})=\color{magenta}{8},$$   $$U(\overline{ab\dots cd8}^{4k+2})=4,$$   $$U(\overline{ab\dots cd8}^{4k+3})=2.$$

Cu aceste reguli putem să rezolvăm problema noastră ușor. Așadar, trebuie să ne ocupăm de ultima cifră a numerelor care apar în expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$. Toate sunt puteri ale lui 7, iar exponenții lor sunt numere naturale consecutive care, prin împărțirea la patru, ne dau toate resturile posibile de la 0 până la 3.

Așadar, vom avea toate posibilitățile pentru ultima cifră corespunzătoare puterilor lui 7, adică (așa cum apare mai sus la regula pentru ȘAPTE) unul dintre cele patru numere care apar în expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ se va termina cu 1, altul cu 7, altul cu 9 și altul cu 3. Pe noi nu ne interesează care dintre ele se termină cu o anumită cifră, ci ne interesează să vedem cu ce se termină SUMA lor.

Deci, conform regulii de la numărul 1, este suficient să adunăm ultimele cifre date prin 1, 7, 9 și 3 și vom găsi cu ce se termină tot numărul $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$. Dar $1+7+9+3=20$. Și cum ultima cifră a lui 20 este 0, înseamnă că ultima cifră a întregului număr $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ va fi 0. Ceea ce a trebuit să arătăm.

Metoda factorului comun

Cu această metodă, ceva mai complicată pentru un elev din clasele mai mici (dar mai elegantă și mult mai eficientă decât metoda ultimei cifre), vom observa că expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ permite scoaterea unui factor comun dat de $7^n$. Altfel spus, putem scrie
$$7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}=7^n\cdot(1+7^1+7^2+7^3).$$
Cum $1+7^1+7^2+7^3=1+7+49+343=50+350=400$, obținem că
$$7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}=400\cdot 7^n.$$
Așadar, expresia $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ este divizibilă nu doar cu 10, ci chiar și cu 100. Iar dacă ni s-ar fi cerut să demonstrăm că acest număr este divizibil cu 100, metoda ultimei cifre ar fi fost și mai ineficientă.



O altă metodă elegantă de rezolvare a problemei ar fi fost metoda inducției matematice, dar un elev de gimnaziu nu a învățat-o încă.

Dacă nu vă mai amintiți cum stă treaba cu modulul

Ce este modulul? Mulți dintre elevi știu doar atât despre modul: că modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Deci, ei știu de exemplu că $|-5|=5$. Și, într-adevăr, într-un fel acest lucru spune totul despre modul.

Totuși, atunci de ce li se pare mai greu să analizeze modulul unei expresii mai complicate, precum ar fi $|-5+2|$ sau, și mai rău, $|x-4|$? Dintr-un singur motiv: pentru că n-au înțeles cum e posibil să avem ceva de genul $|x|=-x$. Ce dumnezeu mai caută printre noi semnul acela minus din moment ce modulul oricărui număr este pozitiv?

Răspunsul este dat de următoarea observație. Știți că $-(-5)=+5$. De asemenea, $-(-8)$ este $+8$. Ce rezultă de aici? Că putem scrie un număr pozitiv chiar și folosindu-ne de semnul minus. Iată, deci, că semnul minus nu este chiar atât de parșiv, încât să apară numai în fața numerelor negative, căci două minusuri este un plus. Și nu numai două, ci, în general, un număr par de minusuri este echivalent cu un plus.

Așadar, acum când nu ne mai este atât de ciudă pe semnul minus, să încercăm să vedem ce vrea să spună, de fapt, expresia $|x|=-x$. Pentru a înțelege și mai bine despre ce este vorba, voi folosi cuvinte în expresia cu modul. Știți că $|pozitiv|=pozitiv$, iar asupra acestui aspect nu trebuie insistat.

Însă pentru numerele negative avem
$$\color{blue}{|negativ|}=\color{red}{-}\color{blue}{(negativ)}.$$
Așadar, minusul acela urât apare în cazul modulului doar dacă se calculează modulul unui număr negativ.

Și atunci, având în vedere că de regulă nu știm cât este $x$, deci nu știm nici ce semn are, spunem că modul din $x$ este tocmai $x$ dar numai dacă $x$ are semnul plus și este $-x$ dacă $x$ are semnul minus. Simbolic, acest lucru se scrie
$$|x|=\begin{cases} \text{tocmai }x&\text{,    dacă }x\text{ este ceva normal, pozitiv} \\ -x&\text{,    dacă }x\text{ este o ciudățenie negativă} \end{cases}.$$

Sau și mai simbolic, deci și mai abstract, fără prea multe mângâieri, modulul se scrie
$$\large{\color{red}{|x|=\begin{cases} +x&\text{,    dacă }x\geq 0 \\ -x&\text{,    dacă }x<0 \end{cases}}}.$$

Și iată că suntem acum în posesia definiției modulului unei expresii oarecare $x$. Dar, desigur, în locul lui $x$ noi avem dreptul să punem orice. Deci, putem pune și $y-4$ sau $7x+5$, cu toate înlocuirile care se cuvin în asemenea cazuri.

Tabel comun cu derivate și integrale

Vă prezint mai jos o listă cu derivatele și integralele unor funcții. La integrale nu am mai pus nici $dx$ și nici constanta, pentru că voi le subînțelegeți și am dorit ca tabelul să fie cât mai simplu și să redea cât mai bine esența. De asemenea, acolo unde am folosit numere concrete, precum 8 sau 5, voi puteți pune alte numere corespunzătoare.

$$\begin{array}{| c | c |} \hline 5^\prime=0&\int 0=\text{orice număr}\\\hline x^\prime=1&\int 3=3x\\\hline (4\cdot f)^\prime=4\cdot f^\prime&\int 4\cdot f=4\cdot\int f\\\hline (f+g)^\prime=f^\prime+g^\prime&\int f+g=\int f+\int g\\\hline \left(\int f\right)^\prime=f&\int (f^\prime)=f\\\hline (f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime&f\cdot g=\int f^\prime\cdot g+\int f\cdot g^\prime\\\hline \left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}&\frac{f}{g}=\int\frac{f^\prime}{g}-\int\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}\\\hline (x^8)^\prime=8x^{8-1}&\int x^5=\frac{x^{5+1}}{5+1}\\\hline \left(\frac{1}{x}\right)^\prime=-\frac{1}{x^{2}}& \int\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{x} \\\hline \left(\frac{1}{x^6}\right)^\prime=-\frac{6}{x^{6+1}}& \int\frac{1}{x^8}=-\frac{1}{7x^7} \\\hline (\sqrt{x})^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}&\int\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\\\hline (\sqrt[7]{x^4})^\prime=\left(x^\frac{4}{7}\right)^\prime=\frac{4}{7\sqrt[7]{x^{7-4}}}&\int(\sqrt[7]{x^4})^\prime=\frac{7}{7+4}\sqrt[7]{x^{7+4}}\\\hline (\ln x)^\prime=\frac{1}{x} &\int\frac{1}{x}=\ln|x|\\\hline (e^x)^\prime=e^x&\int e^x=e^x\\\hline (e^{-x})^\prime=-e^{-x}&\int e^{-x}=-e^{-x}\\\hline [(x+5)\cdot e^x]^\prime=(x+6)\cdot e^x&\int(x+0)\cdot e^x=(x-1)\cdot e^x\\\hline (a^x)^\prime=a^x\cdot\ln a&\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}\\\hline (\sin x)^\prime=\cos x&\int\sin x=-\cos x\\\hline (\cos x)^\prime=-\sin x&\int\cos x=\sin x\\\hline (\tan x)^\prime=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^\prime=\frac{1}{\cos^2 x}&\int\frac{1}{\cos^2 x}=\tan x\\\hline (\cot x)^\prime=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime=-\frac{1}{\sin^2 x}&\int\frac{1}{\sin^2 x}=-\cot x\\\hline (\ln|\cos x|)^\prime=\frac{(\cos x)^\prime}{\cos x}=-\tan x&\int\tan x=-\ln|\cos x|\\\hline (\ln|\sin x|)^\prime=\frac{(\sin x)^\prime}{\sin x}=\cot x&\int\cot x=\ln|\sin x|\\\hline (\arctan x)^\prime=\frac{1}{1+x^2}&\int\frac{1}{1+x^2}=\arctan x\\\hline \left(\frac{1}{5}\arctan\frac{x}{5}\right)^\prime=\frac{1}{25+x^2}&\int\frac{1}{5^2+x^2}=\frac{1}{5}\arctan\frac{x}{5}\\\hline \left(\frac{1}{2\cdot 5}\ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right|\right)^\prime=\color{blue}{\frac{1}{x^2-25}}&\int\color{blue}{\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x+5}}=\ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right|\\\hline (\ln|x+\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm ceva}}|)^\prime=\frac{1}{\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm ceva}}}&\int\frac{1}{\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm orice}}}=\ln|x+\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm orice}}|\\\hline (\arcsin{\frac{x}{8}})^\prime=(-\arccos{\frac{x}{8}})^\prime=\frac{1}{\sqrt{8^2-x^2}}&\int\frac{1}{\sqrt{64-x^2}}=\text{vedeți ce e în stânga}\\\hline \end{array}.$$

Alte integrale utile veți găsi mai jos:

• Integrală din logaritm natural: $$\int\ln x dx=x\ln x-x.$$

Notați-vă undeva lincul către acest articol, căci veți avea des nevoie de el.

Cel mai mare divizor comun, numere prime între ele, cel mai mic multiplu comun

Să presupunem că vi se dă o fracție și vi se cere să stabiliți dacă este sau nu este ireductibilă. Să zicem, fracția $\frac{25}{12}$.

Ce aveți de făcut? Trebuie să stabiliți dacă fracția dată se mai poate simplifica. Dacă nu se poate simplifica, atunci fracția este ireductibilă.

Cum stabilim dacă fracția se mai poate simplifica? Analizăm numărătorul și vedem cum poate fi scris acesta ca un produs. În cazul nostru $25=5\cdot 5$. Apoi analizăm numitorul și îl scriem ca pe un produs, $9=3\cdot 3$. Dacă printre factorii ce apar la numărător și la numitor se găsesc factori egali, atunci fracția se poate simplifica cu acel factor. Iar dacă nu găsim factori egali, atunci fracția este ireductibilă. În cazul nostru, sus la numărător avem numai factorul $5$, iar la numitor avem numai factorul $3$, deci fracția noastră nu se mai poate simplifica, deci este ireductibilă.

În general, o fracție este ireductibilă dacă cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului este abia $1$. Se mai spune atunci că numărătorul și numitorul sunt prime între ele.

O metodă generală de a găsi cel mai mare divizor comun pentru două sau mai multe numere pornește de la descompunerea numerelor în factori primi.

De exemplu, se cere găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor 30, 72 și 210. Pentru aceasta vom descompune în factori primi (deci, în factori care nu mai pot fi descompuși în alți factori) fiecare dintre cele trei numere.

Avem că $30=2\cdot 3\cdot 5$, apoi că $72=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=2^3\cdot 3^2$, iar $210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$.



Dacă avem descompunerea numerelor, avem tot ce ne trebuie pentru a găsi cel mai mare divizor comun al celor trei numere. Cel mai mare divizor comun se scrie cu paranteză rotundă. Valoarea lui este dată de un produs de factori aleși în modul următor: puterea cea mai mică. Mai exact, alegem factorii care apar în toate descompunerile la puterea cea mai mică.

La cele trei numere, în toate descompunerile, cea mai mică putere la care apare factorul 2 este 1, cea mai mică putere la care apare factorul 3 este din nou 1, dar cea mai mică putere la care apar (în toate descompunerile) ceilalți factori primi rămași (adică 5, 7, 11, 13 și așa mai departe) este 0, deci nici nu mai trebuie scriși.

Așadar, obținem în final
$$\color{red}{(30;72;210)=2\cdot 3=6}.$$
În acest caz, 6 este cel mai mare număr cu care se poate împărți exact fiecare dintre numerele 30, 72 și 210. Nu există altul mai mare decât 6.




Pe ceva analog se bazează și cel mai mic multiplu comun, doar că în acest caz se alege puterea cea mai mare. Acesta se notează cu paranteze drepte și este dat de produsul factorilor primi care apar în toate descompunerile la puterea cea mai mare.

În cazul nostru
$$\color{blue}{[30;72;210]=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2520}.$$
În acest caz, 2520 este cel mai mic număr care se împarte exact cu fiecare dintre numerele 30, 72 și 210. Nu există altul mai mic.

Calculați primitiva unei fracții

Să se calculeze următoarea primitivă
$$\int\frac{x}{\cos^2 x}dx.$$


Dacă integrala de rezolvat nu poate fi găsită în tabele cu primitive, atunci încercăm să o transformăm într-o integrală prin părți (sau mai apoi prin schimbare de variabilă, dacă nu merge nici prin părți).

Integrala noastră nu se găsește în tabele obișnuite cu primitive. Așa că nu ne rămâne decât să încercăm să o rezolvăm prin părți, după formula
$$\large{\color{red}{\int f^\prime\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^\prime}}.$$

Dar cum să rezolvăm prin părți o integrală dintr-o fracție, din moment ce noi știm că integrarea prin părți presupune să avem de integrat un produs de funcții, nu o fracție? Păi, n-avem decât să transformăm fracția într-un produs și să vedem ce iese. Ia să vedem.

Avem
$$\int\frac{x}{\cos^2 x}dx=\int x\cdot\frac{1}{\cos^2 x}dx.$$

Deci, să transformăm fracția în produs n-a fost mare lucru. Acum ne mai rămâne să căutăm în produsul nostru o funcție care să poată fi scrisă ca fiind derivata unei alte funcții.

Desigur, dintre cei doi factori ai produsului nostru, reprezentați prin $x$ și, respectiv, $\frac{1}{\cos^2 x}$, amândoi pot fi scriși ca fiind derivata unei alte funcții. Căci $x$ poate fi scris ca fiind $\left(\frac{x^2}{2}\right)^\prime$, iar $\frac{1}{\cos^2 x}$ poate fi scris ca $(\tan x)^\prime$.

Deci avem libertatea să facem o alegere. Alegem să scriem pe $x$ ca fiind $\left(\frac{x^2}{2}\right)^\prime$, ori alegem să-l scriem pe $\frac{1}{\cos^2 x}$ ca fiind $(\tan x)^\prime$?

Nu avem un criteriu de alegere. Sau avem? De fapt, avem. Vom face alegerea în așa fel încât a doua integrală să fie mai simplă sau cel mult la fel de complicată ca integrala de calculat.

Se vede că a doua integrală devine mai simplă dacă va apărea în ea factorul $x^\prime$ care este pur și simplu egal cu $1$. Așadar, acest criteriu de alegere ne va determina să scriem
$$\int\frac{x}{\cos^2 x}dx=\int x\cdot\frac{1}{\cos^2 x}dx=\int x\cdot(\tan x)^\prime dx,$$
ca să lăsăm să apară factorul $x^\prime$ în cea de-a doua integrală.

Atunci, din formula de integrare prin părți, vom mai avea
$$\int\frac{x}{\cos^2 x}dx=\int x\cdot(\tan x)^\prime dx=x\cdot\tan x-\int x^\prime\cdot\tan x dx.$$

Așadar, ne rămâne
$$\int\frac{x}{\cos^2 x}dx=x\cdot\tan x-\int\tan x dx.$$

Dar, $\int\tan x dx$ o regăsim în tabele. Mai exact, $\int\tan x dx=-\ln|\cos x|$. Prin urmare, integrala noastră devine
$$\large{\color{blue}{\int\frac{x}{\cos^2 x}dx=x\cdot\tan x+\ln|\cos x|}+constanta}.$$

O primitivă convexă

Să se demonstreze că orice primitivă a funcției $f:(0;\infty)\to\mathbb{R}$, dată prin $f(x)=3x-\frac{2}{x}$ este convexă pe $(0;\infty)$.


Pentru a demonstra că o funcție este convexă (respectiv, concavă), este suficient să demonstrăm că a doua derivată a funcției respective este pozitivă (respectiv, negativă).

Vă povesteam alaltăieri prin ce „chinuri” trebuie să trecem ca să arătăm că primitiva unei funcții este crescătoare. Vă arătam acolo că acel cuvânt „primitiva” este pus oarecum la derută, căci pentru a arăta că o funcție (sau primitiva ei) este crescătoare a fost suficient să arătăm că derivata funcției (respectiv, derivata primitivei (care este tocmai funcția dată, fără nicio integrare și fără nicio derivare)) este pozitivă.

De data aceasta, trebuie să arătăm că a doua derivată a primitivei este pozitivă. Dar, dacă prima derivată a primitivei este tocmai funcția, înseamnă că a doua derivată a primitivei va fi de fapt prima derivată a funcției date.

Prin urmare, nu trebuie să calculăm nici primitiva și nici a doua derivată a vreunei funcții, ci trebuie să calculăm pur și simplu prima derivată a funcției date $f(x)=3x-\frac{2}{x}$ și să stabilim semnul ei. Aceasta este esența rezolvării problemei noastre!

Dar $$\left(3x-\frac{2}{x}\right)^\prime=(3x)^\prime-\left(\frac{2}{x}\right)^\prime=3+\frac{2}{x^2}.$$

Pardon. Am uitat să vă arăt amănunțit de ce
$$-\left(\frac{2}{x}\right)^\prime=+\frac{2}{x^2}.$$
Avem așa: constanta $2$ din paranteză iese în față și nu ne încurcă. Rămâne atunci să derivăm
$$-\left(\frac{1}{x}\right)^\prime.$$
Dar $\frac{1}{x}=x^{-1}$, deci noi avem de derivat de fapt pe $x^{-1}$. Avem atunci
$$-\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=-(x^{-1})^\prime.$$
Din formula de derivare
$$(x^n)^\prime=nx^{n-1},$$
avem că
$$-(x^{-1})^\prime=-(-1)\cdot x^{-2}.$$
Cum minus minus ceva e cu plus și cum $x^{-2}=\frac{1}{x^2}$, rezultă ceea ce trebuia arătat, adică
$$-(x^{-1})^\prime=-(-1)\cdot x^{-2}=+\frac{1}{x^2}.$$



Ok, deci revenim și acuma știți de ce
$$\left(3x-\frac{2}{x}\right)^\prime=(3x)^\prime-\left(\frac{2}{x}\right)^\prime=3+\frac{2}{x^2}.$$

Mai trebuie să verificăm acum dacă acest rezultat este pozitiv. Este pozitivă expresia $3+\frac{2}{x^2}$? Absolut. Din moment ce este o sumă de termeni pozitivi (3 este pozitiv, iar $x^2$ este și el pozitiv mereu), atunci toată expresia este pozitivă.


Așadar, prima derivată a funcției este pozitivă. Așadar, a doua derivată a primitivei funcției este pozitivă. Așadar primitiva funcției este convexă, așa cum trebuia arătat.

O integrală uzuală calculată prin părți (și prin schimbare de variabilă)

Să se calculeze primitiva funcției $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.


Veți întâlni destul de des această integrală. Așa că haideți să o calculăm. Știm că, de regulă, o integrală poate fi simplă sau o combinație de integrale simple. Integralele simple sunt găsite în tabele, așa că integralele mai complicate trebuie reduse la integrale simple.

Dacă nu putem reduce direct integrala la o combinație de integrale mai simple, atunci măcar să o reducem la o integrală ce poate fi calculată prin părți. Din fericire, integrala noastră, deși nu poate fi redusă la o sumă sau diferență de integrale mai simple, ea poate fi în schimb calculată prin părți.

De regulă, dacă vedeți că o integrală nu poate fi scrisă ca o sumă de integrale mai simple, atunci încercați să o calculați prin părți. Cum integrala noastră nu este o sumă, înseamnă că vom încerca să o calculăm prin părți. Pentru a o calcula prin părți, trebuie să scriem funcția de sub integrală ca un produs de două funcții.

Știm că $\frac 2 3$ poate fi scris ca și $\frac 1 2\cdot 3$. Tot astfel, $\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{x}\cdot\ln x$.

Atunci
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int\frac{1}{x}\cdot\ln x dx.$$
Astfel, am reușit să scriem funcția de sub integrală ca un produs de două funcții. Mai departe, pentru a putea aplica formula integrării prin părți, va trebui să privim îndelung produsul nostru și să ne chinuim să observăm în acest produs o funcție derivată ca fiind unul dintre factori.

Factorii noștri sunt $\frac{1}{x}$ și $\ln x$. Care dintre ei o fi o funcție derivată? Deci, care dintre ei poate fi scris oare ca și ceva derivat? Să fie oare  $\frac{1}{x}$, ori $\ln x$? Care funcție derivată ne dă unul dintre acești factori? Hmmmm...

Păi, dacă ați întâlnit suficient de des expresia $(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$, nu se poate să nu observați că factorul anterior $\frac{1}{x}$ poate fi scris ca și $(\ln x)^\prime$. În concluzie, integrala noastră devine
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int\frac{1}{x}\cdot\ln x dx=\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx.$$

Ajunși în acest stadiu, nu ne mai rămâne decât să aplicăm formula integrării prin părți, adică formula
$$\large{\color{red}{\int f^\prime\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^\prime}}.$$

Atunci, în baza acestei formule, vom avea
$$\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx=\ln x\cdot\ln x-\int\ln x\cdot(\ln x)^\prime.$$

Dar ce observăm aici? Că integrala din membrul drept este tocmai integrala ce trebuia calculată! Mai exact, dacă notăm
$$I=\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx,$$
atunci am obținut că
$$I=\ln^2 x-I.$$

De aici, pentru a calcula integrala $I$, mai avem de făcut doar un pas banal. Și anume, acela de a muta $I$-ul din dreapta în stânga (cum semn schimbat, desigur). Așadar, obținem
$$I+I=\ln^2 x.$$
Deci
$$2I=\ln^2 x,$$
de unde
$$\color{blue}{I=\frac{\ln^2 x}{2}}+constanta.$$

Observați că această integrală putea fi calculată și cu schimbare de variabilă, dacă puneam
$$u=\ln x.$$
Atunci, ea devenea
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int u^\prime\cdot u dx=\int u du=\frac{u^2}{2}+C.$$
Avantajul schimbării de variabilă era că puteam calcula ușor și integrale de forma
$$\int\frac{\ln^n x}{x}dx.$$

Primitivă crescătoare

Să se demonstreze că orice primitivă a funcției $e^x+x^4+7$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.


Elevul care întâlnește o asemenea problemă trebuie să-și amintească în primul rând ce metode are la dispoziție pentru a arăta că, în general, o funcție oarecare este crescătoare pe un anumit interval.

Așadar, ce trebuie să-și amintească elevul întâi? Trebuie să-și amintească faptul că există o legătură între monotonia unei funcții și derivata acesteia. Amintindu-și de o asemenea legătură, își va aminti și că derivata pozitivă denotă o funcție crescătoare, iar derivata negativă denotă o funcție descrescătoare.

Cu acestea în minte, mai avem puțin de lucrat. Bandita noastră de problemă nu se mulțumește să ne amintim de legătura mai sus amintită, ci vrea să ne gândim și la primitive. Cum dumnezeu să arătăm că primitiva unei funcții este crescătoare?

Păi, să tragem puțin aer în piept și să ne mai gândim o dată la ceea ce știm. Știm, deci, că dacă demonstrăm că derivata unei funcții este pozitivă atunci am demonstrat deja că acea funcție este crescătoare. Prin urmare, haideți să demonstrăm că derivata (CĂREI FUNCȚII?) este pozitivă, iar prin aceasta vom trage concluzia că acea funcție (CARE FUNCȚIE?) este crescătoare.

Nouă ni se dă funcția $e^x+x^4+7$. Oare derivata acestei funcții trebuie verificată? Nuuuuuuu! Tocmai asta este! Să nu calculați derivata acestei funcții! Pentru că nu se cere să demonstrăm că funcția $e^x+x^4+7$ este crescătoare, ci ni se cere să demonstrăm că PRIMITIVA acestei funcții este crescătoare.

Așadar, noi trebuie să calculăm DERIVATA PRIMITIVEI funcției, nu derivata funcției. Bun. Acum putem să răsuflăm ușurați. Acum știm că trebuie să calculăm derivata primitivei.

Dar oare cum aflăm care este derivata primitivei? Derivata primitivei. Repetați-vă asta în minte, căci este foarte important să înțelegem a cui derivată trebuie să o calculăm.

Așadar, ar trebui să calculăm întâi primitiva funcției $f$ date și am obține o funcție mai complicată $F$. Apoi, după ce am calculat această primitivă ar trebui să ne apucăm să o derivăm înapoi ca să obținem derivata primitivei. Ar fi o groază de muncă. Dar baiul nu este munca, ci baiul este că ar fi o muncă inutilă.

Acum, pentru a înțelege care este derivata primitivei și pentru a înțelege de ce ar fi o muncă inutilă să integrăm întâi după care să derivăm, amintiți-vă ce vă spuneam când am avut curajul să afirm că derivata și integrala se „simplifică”. E firesc: dacă întâi integrăm și apoi derivăm, ajungem înapoi de unde am plecat înainte de integrare. E ca și cum ai urca un deal (ca să integrezi), după care ai coborî dealul înapoi (ca să derivezi). Ar fi o prostioară.

Așadar, noi știm că derivata primitivei lui $f$ este tocmai $f$! Astfel, avem o cunoștință prețioasă care ne scutește de multă muncă, ne scutește de munca de a găsi întâi primitiva și a găsi apoi derivata primitivei. Iar profesorul examinator va aprecia descoperirea noastră.

În ultimă instanță, exact asta este ceea ce a urmărit examinatorul. Pe el nu-l interesează să vadă dacă știm să calculăm integrala funcției date, după care știm să calculăm derivata ei. El dorește să ne dăm seama din prima că derivata primitivei  lui $f$ este tocmai funcția $f$.

Acum am făcut al doilea pas decisiv pentru rezolvarea problemei. Nu ne mai trebuie mare brânză. Știm cum se leagă monotonia de derivată și știm că derivata primitivei este funcția însăși.

Deci, trebuie să arătăm că funcția însăși este pozitivă. Iar asta ar însemna că primitiva acestei funcții este crescătoare, așa cum ni se cere să demonstrăm.

Ok. Să vedem atunci dacă funcția $e^x+x^4+7$ este pozitivă. Luăm pe rând componentele ei. Partea cu $e^x$ este mereu pozitivă, căci orice valoare i-am da lui $x$, o putere este mereu pozitivă (în mulțimea numerelor reale, căci în cea a numerelor complexe este posibilă și puterea negativă, de exemplu, $e^{i\pi}=-1$).

Apoi, $x^4$ este și ea pozitivă în mulțimea numerelor reale, căci orice pătrat este pozitiv. Iar $7$ este indiscutabil pozitiv. Și cum o sumă de funcții pozitive este tot o funcție pozitivă, obținem că întreaga funcție $e^x+x^4+7$ dată spre verificare este (strict) pozitivă. Drept consecință, orice primitivă a ei este (strict) crescătoare, așa cum trebuia demonstrat.

O integrală interesantă

Să se calculeze
$$\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx.$$

Așa cum vă arătam alaltăieri, o integrală ce pare complicată este bine să o reducem la mai multe integrale mai micuțe și mai simple.


Dar, dintr-o fracție de genul $\frac{5+4}{2}$ putem face două fracții mai micuțe $\frac{5}{2}$ și $\frac{4}{2}$. La fel atunci, din fracția noastră $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ putem face două fracții mai micuțe $\frac{e^x}{2}$ și $\frac{e^{-x}}{2}$.

Și cum integrală dintr-o sumă este o sumă de integrale, avem că
$$\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=\int\frac{e^x}{2}+\frac{e^x}{2}dx=\int\frac{e^x}{2}dx+\int\frac{e^x}{2}dx.$$


Mai departe ne vom ocupa de fiecare integrală simplă în parte. Integrala $\int\frac{e^x}{2}dx$ poate fi scrisă ca și $\int\frac{1}{2}\cdot e^x dx$, iar constantele de sub integrală pot fi scoase în fața integralei fără nicio grijă. Așadar, avem
$$\int\frac{e^x}{2}dx=\int\frac{1}{2}\cdot e^x dx=\frac{1}{2}\cdot\int e^x dx.$$

Acum ne-a rămas să calculăm o integrală prea simplă, adică $\int e^x dx$, care este una dintre cele mai simple integrale posibile, căci noi știm din tabele că funcția $e^x$ este singura funcție (nenulă) care rămâne nemodificată atât prin derivare, cât și prin integrare. Așadar,
$$\int e^x dx=e^x.$$

Acum suntem la jumătatea drumului pentru calculul integralei noastre. Pardon, nu suntem chiar la jumătatea drumului, ci la vreo 40% din el, căci a doua integrală din $e^{-x}$ este puțin, puțin mai complicată decât integrala din $e^x$.

Deși v-aș putea spune direct că integrală din $e^{-x}$ este
$$\color{red}{\int e^{-x}dx=-e^{-x}}$$
și să vă las apoi în pace, eu voi prefera să vă arăt cum puteți afla asta din tabele. În tabel voi mai aveți că
$$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}$$
și vrem să vedem dacă nu cumva ne-am putea folosi de această integrală pentru a putea calcula integrala din $e^{-x}$.

Pentru aceasta, vom scrie funcția $e^{-x}$ sub o altă formă, bazându-ne pe proprietățile puterilor care ne spun că
$$a^{x\cdot y}=(a^x)^y.$$

Din această formulă noi putem scrie
$$e^{-x}=e^{-1\cdot x}=(e^{-1})^x.$$

Acum ne folosim mai departe de integrala $\int a^x dx$ de mai sus, doar că la noi $a=e^{-1}$. Avem atunci
$$\int e^{-x}dx=\int(e^{-1})^x dx=\frac{(e^{-1})^x}{\ln(e^{-1})}.$$

Cum puterea de la logaritm iese în față întotdeauna când avem nevoie și cum $\ln e=1$, rezultă că
$$\ln(e^{-1})=-1\cdot\ln e=-1\cdot 1=-1.$$

Acum aveți toate informațiile necesare pentru a înțelege de ce
$$\int e^{-x}dx=-e^{-x},$$
iar eu pot trece liniștit mai departe pentru a vă arăta cum se calculează de fapt integrala noastră. Observați că singurul lucru care apare în plus la această funcție $e^{-x}$ după ce o integrăm este acel $\color{red}{-}$.


Mai exact, acum putem scrie că
$$\large{\color{blue}{\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=\frac{1}{2}e^x\color{red}{-}\frac{1}{2}{e^{-x}}=\frac{e^x\color{red}{-}e^{-x}}{2}}+constanta}.$$

Observați? Ce s-a schimbat la funcția noastră de sub integrală? Doar semnul! Și-atunci, vă întreb eu: ce credeți, ce s-ar mai schimba dacă am mai integra o dată? Desigur, doar semnul. Mai exact, dacă am integra de două ori funcția $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, am obține tot funcția $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$.

Această simetrie și multe alte considerente i-au determinat pe matematicieni să fie ceva mai atenți la această funcție. Și chiar i-au dat un nume special. Au numit-o cosinus hiperbolic, pentru că au văzut o asemănare teribilă între această funcție și funcția cosinus! Și, desigur, funcției $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ i-au dat celălalt nume, adică sinus hiperbolic.

Așa că, data viitoare, când găsiți ceva timp, mai jucați-vă un pic cu aceste două funcții minunate.

Ecuația tangentei la graficul unei funcții

Să se determine ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=x^2$, în punctul de abscisă $x=-1$.



Ce anume se cere? Se cere ecuația tangentei. Dar ce este tangenta? Tangenta este o dreaptă. Și nu orice fel de dreaptă, ci o dreaptă care atinge graficul funcției $f(x)=x^2$. Nu nu o atinge oriunde, ci o atinge într-un punct a cărui abscisă este tocmai $-1$ (chiar dacă nu s-a dat și ordonata, ci numai abscisa).

Ia priviți graficul de mai jos.

Funcția este desenată cu albastru, iar tangenta este desenată cu roșu. Cele două se ating, se iubesc, se sărută în punctul de abscisă $x=-1$.


Bun. Acum să presupunem că nu am văzut graficul și că vrem să găsim prin calcule ecuația dreptei care sărută funcția. Cum facem?

Există o regulă generală care spune că panta dreptei tangente la graficul unei funcții $f(x)$ într-un punct de abscisă $x=a$ este dată de derivata funcției în acel punct. Așadar, avem formula
$$\large{\color{red}{\frac{y-f(a)}{x-a}=f^\prime(a)}}.$$


Acum avem tot ce ne trebuie pentru a găsi ecuația căutată. Trecem la treabă. Concretizăm în  formula precedentă valorile pe care le-am primit noi în problemă. Adică, noi am primit că funcția este $f(x)=x^2$, iar abscisa punctului de tangență este $a=-1$.

Atunci
$$\frac{y-f(-1)}{x-(-1)}=f^\prime(-1).$$
Dar $f(-1)=(-1)^2=1$. Și cum $f^\prime(x)=(x^2)^\prime=2x$, rezultă că $f^\prime(-1)=2\cdot(-1)=-2$.

Obținem, deci
$$\frac{y-1}{x+1}=-2.$$

De aici vom obține ecuația dreptei căutate, prelucrând puțin rezultatul anterior. Numitorul fracției din stânga îl ducem în dreapta și va ajunge la numărător lângă $-2$. Mai exact, vom avea
$$y-1=-2(x+1).$$

Desfacem paranteza și rezultă
$$y-1=-2x-2.$$

Îl ducem și pe $-1$ din stânga în dreapta (cu semn schimbat) și obținem ecuația tangentei căutate
$$\large{\color{red}{y=-2x-1}},$$
exact așa cum vedeți și în grafic în dreapta sus.

Transformați greul în mult

Să se calculeze
$$\int\frac{(x^2+1)^2}{x}dx.$$


Pentru mulți elevi această integrală ar părea insurmontabilă Oare de ce? Pentru că ei vor să obțină rezultatul repede și dintr-una, fără niciun efort. Și cum în tabelele cu integrale nu există o formulă special destinată pentru această integrală (precum există, de exemplu, pentru integrala $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|$), ei vor privi îndelung integrala și se vor lăsa păgubași.

Ei bine, nu! Nu avem voie să ne lăsăm păgubași fără să fi încercat măcar ceva simplu, măcar cev ce știm. Cu siguranță știm, de exemplu, să desfacem paranteza. Păi, atunci s-o desfacem și să vedem ce iese.

Avem
$$(x^2+1)^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=x^4+2x^2+1.$$

Deci la numărătorul fracției din care trebuie să calculăm integrala avem ceva fără paranteză, căci am scăpat de paranteză. Așadar, avem
$$\int\frac{(x^2+1)^2}{x}dx=\int\frac{x^4+2x^2+1}{x}dx.$$

Am făcut un prim pas pentru a lupta cu integrala. Ce trebuie să facem mai departe? Integrala noastră a rămas încă destul de complicată. Ba chiar pare mai complicată decât era la început, din moment ce numărătorul ar mai mulți termeni.

Și totuși, integrala este din ce în ce mai accesibilă. Întotdeauna când aveți de rezolvat o problemă complicată, încercați să o transformați în mai multe probleme simple. Chiar și în viață să faceți asemenea descompuneri ale problemelor. Transformați greul în mult.

Integrala noastră poate fi transformată în mai multe integrale mai simple. Cum am putea face asta? Ia priviți voi fracția noastră. Cum ar fi dacă am transforma fracția noastră mare și urâtă în mai multe fracții mai micuțe și mai frumoase? Ar fi foarte bine, căci problema complicată s-ar rupe în mai multe probleme simple.

Am avea
$$\frac{x^4+2x^2+1}{x}=\frac{x^4}{x}+\frac{2x^2}{x}+\frac{1}{x}.$$

Și cum în primii doi termeni putem simplifica cu $x$, obținem
$$\frac{x^4}{x}+\frac{2x^2}{x}+\frac{1}{x}=x^3+2x+\frac{1}{x}.$$

Prin urmare, integrala ar deveni
$$\int\frac{x^4}{x}+\frac{2x^2}{x}+\frac{1}{x}dx=\int x^3+2x+\frac{1}{x}dx.$$

Dar, integrală dintr-o sumă este o sumă de integrale. Așadar integrala noastră ar deveni mai departe
$$\int x^3+2x+\frac{1}{x}dx=\int x^3 dx+\int 2x dx+\int\frac{1}{x}dx.$$

Acum suntem în fața a trei integrale simple, care pot fi calculate foarte ușor din tabele. Cum
$$\int x^q dx=\frac{x^{q+1}}{q+1},$$
avem că
$$\int x^3 dx=\frac{x^4}{4}$$
și
$$\int 2x dx=x^2.$$

În fine, mai avem din tabele că
$$\int \frac{1}{x}=\ln|x|.$$

Grupând toate aceste informații la un loc și adăugând constanta de rigoare, obținem răspunsul final
$$\int\frac{(x^2+1)^2}{x}dx=\frac{x^4}{4}+x^2+\ln|x|+C.$$

Coordonatele simetricului

Să se determine coordonatele simetricului punctului $A(1; -5)$ față de punctul $B(2;3)$.


De regulă, simetricul punctului $A$ se notează cu $A^\prime$. Ca să găsiți simetricul $A^\prime$ al unui punct $A$ față de alt punct $B$ trebuie să găsiți de fapt imaginea unei doamne care stă în punctul $A$ și se privește într-o oglindă amplasată în punctul $B$.

Există o relație importantă între cele trei puncte: oglinda se află la mijlocul segmentului care unește doamna cu imaginea ei.

În cazul nostru, deci, punctul $B$ este la mijlocul segmentului $AA^\prime$.

Dar există o relație frumoasă între coordonatele mijlocului unui segment și capetele segmentului: ele sunt medii aritmetice ale coordonatelor corespunzătoare ale capetelor.

Asta înseamnă, în cazul nostru, că
$$x_B=\frac{x_A+x_{A^\prime}}{2}$$
și
$$y_B=\frac{y_A+y_{A^\prime}}{2}.$$

Cu aceste cunoștințe putem determina coordonatele simetricului $A^\prime$, căci coordonatele lui $A$ și ale lui $B$ sunt cunoscute deja.

Mai exact, din relația
$$(x_B=2)=\frac{(x_A=1)+x_{A^\prime}}{2}$$
obținem
$$x_{A^\prime}=2\cdot 2-1=3.$$

Apoi, din relația
$$(y_B=3)=\frac{(y_A=-5)+y_{A^\prime}}{2}$$
obținem
$$y_{A^\prime}=2\cdot 3+5=11.$$

Așadar, punctul $A^\prime$ are coordonatele $\large{\color{red}{A^\prime(3;11)}}$, ceea ce a trebuit calculat.

Să se găsească elementul neutru

Fie legea de compoziție $x\circ y=x+y-10$ considerată pe mulțimea numerelor reale.
-a). Să se demonstreze că admite element neutru și să se calculeze acesta;
-b). Să se determine mulțimea unităților față de această operație.



-a). Observăm că legea dată este comutativă, căci $x\circ y=x+y-10=y+x-10=y\circ x$. Așadar, este suficient să arătăm că există un număr real $e$ cu proprietatea că $x\circ e=x$. Dacă legea nu era comutativă, trebuia să verificăm dacă este posibil să existe un $e$ astfel încât $x\circ e=e\circ x$. Dar, din fericire, legea noastră este comutativă, deci este clar că $x\circ e=e\circ x$.

Mai departe, avem
$$x\circ e=x+e-10.$$
Deci, pentru a-l găsi pe $e$ trebuie să construim cu acesta ecuația $x\circ e=x$ și să-l considerăm ca fiind necunoscută pe $e$, nu pe $x$. Așadar, ecuația din care îl putem găsi pe $e$ este
$$x+e-10=x.$$

Aruncăm (desigur, cu semn schimbat) în partea dreaptă a egalității tot ce nu este cu $e$ și obținem
$$e=x-x+10,$$
de unde obținem că
$$e=10.$$
Cu aceasta am rezolvat ce s-a cerut la punctul a).


-b). Unități. Ce or mai fi și alea? Hmmm. Sunt elementele simetrizabile. Bun. Dar ce sunt atunci elementele simetrizabile? Sunt acele numere reale $x^\prime$ pentru care avem $x^\prime\circ x=x\circ x^\prime=e$.

Cum operația noastră este comutativă, nu ne mai batem capul cu verificarea egalității $x^\prime\circ x=x\circ x^\prime=e$, ci trecem direct la scrierea ecuației
$$x\circ x^\prime=e$$
din care îl vom scoate pe $x^\prime$ în funcție de $x$.

Cum $x\circ x^\prime=x+x^\prime-10=e$, avem mai departe că
$$x+x^\prime-10=10.$$
Asta înseamnă că
$$x^\prime=10+10-x=20-x.$$

Am obținut ceea ce am căutat: formula elementelor simetrizabile $x^\prime=20-x$. Această formulă ne arată nu doar că elementul simetric $x^\prime$ este unic pentru unul și același $x$, ci ne mai arată și faptul că orice număr real $x$ are un simetric $x^\prime$. Deci, avem asigurată nu doar existența, ci și unicitatea elementelor simetrizabile pentru această operație.

Putem scrie atunci că $U(\mathbb{R})=\mathbb{R}$, acesta fiind rezultatul final.

Determinați parametrul

Să se determine parametrul $m$ astfel încât ecuația $x^2+mx+16=0$ să aibă o rădăcină multiplă.

Ce înseamnă rădăcină multiplă? Înseamnă rădăcină care apare de mai multe ori, deci înseamnă rădăcină a cărei valoare o mai întâlnim și la alte rădăcini ale polinomului dat, nu doar la acea rădăcină. Numărul de rădăcini la care mai întâlnim valoarea rădăcinii date se numește ordin de multiplicitate al rădăcinii respective.

Așa. Acum mai trebuie să știm ceva foarte important despre ecuațiile polinomiale: un polinom de gradul $n$ are nici mai mult și nici mai puțin de $n$ rădăcini (luând în considerare toate rădăcinile posibile, deci și pe cele complexe).

Ok. Dar polinomul nostru are gradul doi. Ce înseamnă asta? Că va avea exact două rădăcini. Și cum problema noastră ne cere ca ecuația să aibă o rădăcină multiplă, singura soluție este să deducem că rădăcina multiplă de care se vorbește are ordinul de multiplicitate doi.

Mai rezultă atunci ceva foarte important pentru ecuația noastră: ecuația noastră are două rădăcini egale!

Bun. Dar când are o ecuație de gradul doi două rădăcini egale? Atunci când ceea ce le discriminează (adică, discriminantul sau determinantul) este ca și inexistent, deci este nul. Asta era! Aceasta este condiția de la care trebuie noi să pornim pentru a afla parametrul $m$ în așa fel încât ecuația să aibă o rădăcină multiplă.

Deci, discriminant (determinant) nul. Adică $\Delta=0$. Dar $\Delta=b^2-4ac$, iar în cazul nostru, $\Delta=m^2-4\cdot 1\cdot 16=m^2-64$.

Așadar, trebuie să avem $m^2-64=0$. Trecându-l în dreapta pe $64$, obținem că $m^2=64$. Soluțiile acestei ecuații simple sunt $m=-8$ și $m=8$. Oricare dintre cele două valori le va avea $m$, ecuația dată va avea rădăcinile egale, deci va avea o rădăcină multiplă (cu ordinul de multiplicitate doi).

Mai observați aici o chestie: rădăcinile multiple ale ecuației de gradul doi nu pot fi nereale deoarece au partea imaginară nulă (partea imaginară fiind proporțională cu discriminantul ecuației). Așadar, dacă la bac vi s-ar cere să demonstrați că o anumită ecuație de gradul doi nu are rădăcini nereale, voi ar trebui să arătați, de fapt, că determinantul acelei ecuații este nul.

O proprietate remarcabilă a rației unei progresii aritmetice

Să presupunem că este cunoscută diferența dintre doi termeni oarecare ai unei progresii aritmetice. Se pune problema dacă se poate găsi rația progresiei în acest caz.


Spre exemplu, să presupunem că este cunoscută diferența dintre termenii $a_9$ și $a_5$, fie aceasta egală cu $12$. Cât o fi rația în acest caz?

Din definiția progresiei aritmetice, noi știm că
$$a_9=a_1+8r$$
și
$$a_5=a_1+4r.$$

Scăzând din prima egalitate pe cea de-a doua (pentru a scăpa de $a_1$), obținem
$$a_9-a_5=a_1+8r-(a_1+4r)=a_1+8r-a_1-4r=8r-4r=(8-4)r.$$

Lăsăm deocamdată în suspensie acest rezultat și vă invit să analizăm și următorul raționament. Știm că un termen al progresiei poate fi definit și în funcție de $a_2$, nu neapărat în funcție de $a_1$. Mai exact, putem scrie și că
$$a_9=a_2+7r$$
și
$$a_5=a_2+3r.$$

Dacă am scădea cele două egalități în mod asemănător ca mai sus, am obține

$$a_9-a_5=(7-3)r.$$

Ce s-a schimbat? Indicii $9$ și $5$ au rămas aceeași și s-a modificat doar conținutul parantezei, care din $(8-4)$ a devenit $(7-3)$. Conținutul parantezei, nu rezultatul! Puteam să avem o paranteză de genul $(6-2)$ sau $(5-1)$.

Totuși, noi preferăm să ne folosim de paranteza $(9-5)$! De ce? Pentru că aceștia sunt tocmai indicii celor doi termeni. Mai exact, avem

$$a_9-a_5=(9-5)r.$$

Iar de aici rezultă că

$$r=\frac{a_9-a_5}{9-5}.$$

Am scris această formulă sub această formă ca să observați care ar fi generalizarea ei. În general,  când cunoaștem diferența dintre termenii $a_n$ și $a_k$ putem scrie

$$\large{\color{red}{r=\frac{a_n-a_k}{n-k}}}.$$

Cei care își amintesc de definiția derivatei dată prin

$$f^\prime(ceva)=\lim_{x\to ceva}\frac{f(x)-f(ceva)}{x-ceva},$$

vor putea face o legătură frumoasă cu această formulă. Adică, rația unei progresii aritmetice ar fi un fel de derivată pentru progresie.

Așadar, rația progresiei dată ca exemplu va fi

$$r=\frac{a_9-a_5}{9-5}=\frac{12}{4}=3.$$

Dacă veți primi la bac (subiectul I) o problemă de acest gen, amintiți-vă de această formulă minunată pentru rație, asemănătoare cu definiția derivatei și astfel veți câștiga timp pentru probleme mai dificile.

Orice funcție continuă admite primitive

Să se arate că funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată prin
$$f(x)=\begin{cases} x^2-4x+9 &\mbox{dacă } x\leq 1 \\ x+5 & \mbox{dacă }  x>1 \end{cases}$$
admite primitive.

Există următoarea succesiune logică pe care e bine s-o rețineți: dacă o funcție este continuă, atunci ea admite primitive, iar dacă admite primitive, atunci ea are proprietatea lui Darboux.

Și, desigur, avem și implicațiile inverse: dacă o funcție nu are proprietatea lui Darboux, atunci ea nu admite primitive, iar dacă nu admite primitive, atunci nu este continuă.

Iar pentru cei de la M1 mai putem adăuga o proprietate bine de reținut: dacă o funcție are doar discontinuități de prima speță, atunci ea nu admite primitive (căci discontinuitățile unei funcții cu proprietatea lui Darboux sunt doar de speța a doua).



Ok. Deci problema noastră trebuie rezolvată arătând că funcția admite primitive. Din prima implicație rezultă că dacă am putea arăta că funcția noastră este continuă, atunci am putea concluziona că funcția noastră mai și admite primitive. Iar rezolvarea ar fi gata.

De regulă, dacă vi se cere să arătați că o asemenea funcție admite primitive, vi se cere de fapt să arătați că funcția este continuă. Dar, atenție, acest lucru este valabil doar pentru începători. Căci pot exista și funcții care, deși nu sunt continue, să admită primitive, dar asemenea excepții complică problema și ele nu se adresează începătorilor.


Să arătăm, deci, că funcția noastră este continuă. Pornim frumos de la următoarea poveste:

• funcția putere, exponențială, logaritmică, sinus, cosinus, tangentă, cotangentă și radical sunt funcții elementare;
• orice combinație liniară (deci, adunări și înmulțiri) de funcții elementare este tot o funcție elementară;
• orice funcție elementară este continuă pe domeniul ei de definiție.

Funcția noastră conține două ramuri polinomiale (combinații liniare cu funcția putere). Ramura de sus este un polinom de gradul doi, iar ramura de jos este un polinom de gradul întâi. Așadar, ambele ramuri sunt funcții elementare, deci continue pe domeniile lor de definiție.

Atunci de ce se mai pune problema continuității? Păi, mai degrabă UNDE, nu DE CE. Pentru că problema continuității se pune de fapt acolo unde se rup cele două ramuri. Deci, problema continuității funcției noastre se pune în $1$. Acolo trebuie să vedem dacă funcția este continuă.

Și cum verificăm continuitatea funcției în $1$? Prin calculul limitelor laterale în $1$. Dacă limitele laterale sunt egale între ele și egale cu $f(1)$, atunci funcția este continuă (și) în $1$.

Limita laterală la stânga în $1$ este limita în care $x$ urcă spre $1$, deci limita când $x$ se apropie de $1$ și este mai mic decât $1$. În domeniul în care $x<1$ funcția este ramura de sus, deci avem
$$l_s(1)=\lim_{x\nearrow 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x^2-4x+9)=1^2-4\cdot 1+9=6.$$

Apoi, limita la dreapta în $1$ este limita în care $x$ coboară spre $1$ deci limita când $x$ se apropie de $1$ și este mai mare decât $1$. În domeniul în care $x>1$ funcția este ramura de jos, deci avem
$$l_d(1)=\lim_{x\searrow 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x+5)=1+5=6.$$

Așadar, am obținut ceva foarte important: că cele două limite laterale sunt egale. Mai trebuie să verificăm dacă ele sunt egale și cu $f(1)$. Dar cum ramura de sus este aceeași și pentru $x=1$, rezultă că $f(1)=l_s(1)=6$.

Deci, limitele sunt egale între ele și sunt egale și cu $f(1)$. Aceasta înseamnă că funcția noastră este continuă și în $x=1$, deci este continuă peste tot. Și cum orice funcție continuă admite primitive, problema este rezolvată.

O problemă cu combinări și cu puteri

Să se calculeze
$$C_{2013}^0\cdot 6^{2013}-C_{2013}^1\cdot 6^{2012}\cdot 5+C_{2013}^2\cdot 6^{2011}\cdot 5^2-\dots -C_{2013}^{2013}\cdot 5^{2013}.$$

Ne uităm cu ochii bulbucați la această înșiruire de caractere aproape chinezești și ne apucă groaza. Cum dumnezeu se rezolvă o asemenea problemă? O fi aceasta o problemă rezonabilă, pentru bacalaureat? Sau o fi pentru olimpiadă?

Cu siguranță, este doar o problemă pentru bacalaureat, căci eu nu abordez aici probleme atât de grele precum sunt cele date la olimpiadă. Eu mă adresez aici începătorilor în ale matematicii, nu celor care își bat capul mai toată ziulica cu matematica și care nu prea au ce mai învăța de la mine.

Bun. Păi, dacă problema noastră este una destul de simplă, pentru bacalaureat, atunci unde este simplitatea ei? De ce nu vedem simplitatea problemei din prima? Păi, de ochi...

Cu această ocazie am să vă povestesc un eveniment din care am învățat un proverb frumos. Eram odată la țară, la mama-soacră. Aceasta m-a rugat s-o ajut la cules de prune. Când dau să intru în grădină și mă îngrozesc la vederea prunelor pe care le am de cules, mama scumpă îmi spune ceva ce am înțeles pe loc și n-am mai uitat de-atunci niciodată: „Ochiu' te sparie, da' mâna te bucură”. În timp ce culegeam prunele și vedeam cât de firesc ajung ele în coșuri, am înțeles că groaza mea inițială n-a fost justificată deloc; lucrurile au decurs normal, iar prunele au fost culese într-un timp mult mai scurt decât mi-am imaginat eu atunci.

Ei bine, cam așa e și cu problema noastră. Pare ciudată și foarte complicată la început, dar rezolvarea ei este fenomenal de simplă.

Deci, să mai privim o dată problema, de data asta, cu alți ochi, prin care vedem ceea ce am colorat cu roșu. Avem de calculat
$$C_{2013}^0\cdot \color{red}{6^{2013}}-C_{2013}^1\cdot \color{red}{6^{2012}\cdot 5}+C_{2013}^2\cdot \color{red}{6^{2011}\cdot 5^2}-\dots -C_{2013}^{2013}\cdot \color{red}{5^{2013}}.$$

Rescrierea pe care am făcut-o, în care am subliniat factorii mai importanți sugerează ceva. Va trebui să încercați să vă amintiți unde am mai întâlnit noi o asemenea înșiruire de termeni, care să aibă niște combinări în față și un produs de doi factori după.

Desigur, am putea să ne gândim să calculăm combinările. Poate ne gândim că dacă am scrie efectiv combinările ca și fracții cu ceva factoriale, s-ar simplifica ceva cu factorii de lângă combinări. Da, ar fi o cale, doar că ar fi o cale înfundată. Există o altă cale. Ia amintiți-vă... Unde am mai văzut noi o sumă de termeni cu combinări în față și cu un produs de doi factori după combinări?

Desigur, la binomul lui Newton! Asta era! Binomul lui Newton! Spuneam acolo că dezvoltarea binomului lui Newton este dată de
$$\large{\color{green}{(a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1}b^1+C_n^2 a^{n-2}b^2+...+\\ +...C_n^k a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-2} a^2 b^{n-2}+C_n^{n-1} a^1 b^{n-1}+C_n^n b^n}},$$
adică ceva foarte simplu din stânga poate fi transformat în ceva foarte urât în dreapta. Dar și invers: ceva foarte urât din dreapta poate fi transformat în ceva foarte simplu din stânga! Ok. Atunci, am putea oare să scriem expresia noastră urâtă ca fiind partea din dreapta a unui frumos binom al lui Newton? Dacă da, cum?

Iată cum. Avem cei doi factori care apar după combinări, adică factorul $6$ și factorul $5$. Apoi, observăm că toate combinările au în partea de jos numărul $2013$, deci înseamnă că puterea binomului este tocmai $2013$. (Puterea binomului putea fi dedusă și din faptul că dezvoltarea începe și se termină cu puterea $2013$.) Și, în plus, mai observăm că apare și semnul $-$ în mod alternativ.

Toate aceste informații grupate la un loc ne sugerează că expresia noastră urâtă poate fi considerată tocmai dezvoltarea următorului binom frumos
$$\large{\color{red}{(6-5)^{2013}}}.$$

De-acum, calculele devin foarte simple. Facem $6-5=1$, după care îl ridicăm pe $1$ la puterea $2013$. Și, desigur, $1$ la orice putere (cu excepția puterii infinite) este tot $1$. Așadar, rezultatul final este
$$\color{red}{C_{2013}^0\cdot 6^{2013}-C_{2013}^1\cdot 6^{2012}\cdot 5+C_{2013}^2\cdot 6^{2011}\cdot 5^2-\dots -C_{2013}^{2013}\cdot 5^{2013}=1}.$$

Desigur, dacă voi veți întâlni la bacurile din viitor o problemă asemănătoare, doar că în loc de $2013$ veți primi poate $2015$ sau $2017$ (deci un număr impar), voi veți ști că $1$ la orice putere finită este tot $1$. De asemenea, dacă în loc de factorii $6$ și $5$ voi veți observa factorii $7$ și $6$ sau $205$ și $204$, voi veți ști că de fapt contează diferența lor, care este de fiecare dată $1$.

Așa că, mult succes!

O lege de compoziție generalizată

Ieri v-am promis că o să vă arăt generalizarea legii date prin
$$x\circ y=6-2x-2y+xy.$$

Întâi să observăm că nu contează poziția în care scriem termenii. Adică, putem avea și forma
$$x\circ y=xy-2x-2y+6.$$

Și nu contează nici dacă apare ca factor comun $-2$-ul:
$$x\circ y=xy-2(x+y)+6.$$
Este una și aceeași lege.


Și știm de la partea stabilă că această lege poate fi scrisă ca un produs de două paranteze, adică
$$x\circ y=(x-2)(y-2)+2.$$




Să generalizăm acum această lege, pornind de la forma cu produsul parantezelor. Vom pune în loc de $2$ litera $a$. Să vedem ce iese. Așadar, inventăm legea
$$x\circ y=(x-a)(y-a)+a.$$

Vrem întâi să vedem sub ce formă o putem primi la bac. Desigur, nu prea avem șanse să o primim de-a gata sub această formă elegantă, ci o vom primi mai degrabă sub o formă brută pe care va trebui s-o prelucrăm noi ca să ajungem la această formă.

Ca să găsim forma ei brută, vom desface parantezele. Cum
$$(x-a)(y-a)+a=(xy-ax-ay+a^2)+a,$$
obținem forma brută a legii
$$\large{\color{red}{x\circ y=xy-ax-ay+a^2+a}}.$$

Când veți primi o asemenea lege, voi să știți automat că o puteți scrie ca un produs de paranteze $(x-a)(y-a)+a$, cu toate consecințele minunate care rezultă din această formă elegantă.

Să mai discutăm puțin despre „termenul liber” al legii de compoziție date. Din forma brută reiese că acest termen liber este $a^2+a$. Dându-l ca factor comun pe $a$, termenul liber poate fi pus sub o formă mai utilă $a(a+1)$.

Această formă este mai utilă deoarece puteți verifica mai rapid dacă forma brută a operației poate fi transformată în forma elegantă.

De exemplu, dacă primiți legea dragă nouă
$$x\circ y=xy-2x-2y+6,$$
puteți verifica ușor dacă termenul liber este cel corect, adică dacă este de forma $a(a+1)$, unde $a$ este la noi $2$, coeficientul lui $x$ și al lui $y$ (cu semn schimbat).

Adică, termenul liber trebuie să fie $2$ înmulțit cu numărul consecutiv, care urmează imediat lui $2$, adică $3$. Deci, trebuie să fie $2\cdot 3=6$. Deci, termenul liber este corect, deci legea noastră poate fi scrisă ca un produs de paranteze, așa cum am și văzut, de fapt.

Alt exemplu căruia să-i verificăm termenul liber. Să zicem că primim legea
$$x\circ y=xy-3x-3y+12.$$
Este bun termenul liber pentru această lege? Desigur, căci $3\cdot(3+1)=12$

Dar pentru legea
$$x\circ y=xy+3x+3y+6$$
este bun termenul liber? Hmmm... Observați că aici coeficienții lui $x$ și $y$ sunt pozitivi, nu negativi. Atunci cum facem? Păi, ziceam mai sus că noi verificăm produsul cu semn schimbat. Deci primul factor al produsului este $-3$, iar al doilea factor al produsului este numărul imediat consecutiv după $-3$, adică $-2$. Și cum $(-3)(-2)=6$, rezultă că termenul liber este bun și în acest caz.
Și atunci cum aducem această lege de la forma brută la forma elegantă? Păi, punem în loc de $a$ numărul $\large{\color{red}{-}}3$, deci avem
$$x\circ y=(x\large{\color{red}{+}}3)(y\large{\color{red}{+}}3)\large{\color{red}{-}}3.$$

Așa că, pe viitor, să nu vă mai speriați vreodată de asemenea legi. Căci voi veți ști că ele pot fi scrise frumos ca un produs de două paranteze.

Asociativitatea elegantă

V-am arătat ieri cât de scârbos este să demonstrăm asociativitatea operației $$x\circ y=6-2x-2y+xy.$$
Am chinuit ieri trecând printr-o mulțime de calcule, începând de la PD până la UD și terminând cu compararea celor două jumătăți. O groază de calcule!

Ei bine, azi va fi o zi mai frumoasă. Deoarece vă voi arăta, așa cum v-am promis, o șmecherie pe care o putem aplica la toate operațiile de genul celei de față.

Dar ce fel de operație este, de fapt, cea de față? Ce are ea special față de alte operații, dacă are?

Nu știu dacă vă mai amintiți, dar v-am arătat (într-un articol anterior referitor la partea stabilă) că operația noastră poate fi scrisă cu ajutorul unui produs de paranteze.

Mai exact, v-am arătat acolo că
$$x\circ y=6-2x-2y+xy=(x-2)(y-2)+2.$$
Vă mai amintiți?

Ok. Și ce-i cu asta? Ce-i cu bucuria că operația noastră poate fi scrisă ca un produs de paranteze? La ce ne poate ajuta pe noi acum această oportunitate?

Păi, noi vrem să găsim o modalitate mai ușoară de a demonstra că operația noastră este asociativă. Ia să ne folosim noi de forma cu produsul a operației ca să vedem dacă putem găsi ceva mai interesant în legătură cu asociativitatea.


Dacă $x\circ y=(x-2)(y-2)+2$, înseamnă că
$$\large{\color{red}{ceva\circ altceva=(ceva-2)(altceva-2)+2}}.$$

Țineți minte această relație și veți vedea cât de utilă ne va fi ea pentru a demonstra asociativitatea.

Știm din materialul de ieri că pentru a demonstra asociativitatea operației date, trebuie să demonstrăm că
$$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z).$$

De data aceasta, calculele vor fi mult mai simple. Datorită relației de mai sus scrisă cu culoarea roșie. Nu va trebui decât să înlocuim $ceva$-ul și $altceva$-ul cu ceea ce ne interesează pe noi.

Deci,
$$(x\circ y)\circ z=(x\circ y-2)(z-2)+2.$$

Ca să nu folosesc o mulțime de paranteze, drepte și rotunde, voi va trebui să înțelegeți că $x\circ y-2$ înseamnă, de fapt, $(x\circ y)-2$ și nicidecum $x\circ(y-2)$.

Și cum
$$x\circ y=(x-2)(y-2)\color{blue}{+2},$$
rezultă că
$$x\circ y\color{blue}{-2}=(x-2)(y-2).$$
Remarcabil! Deci, în loc de $x\circ y-2$ putem să punem $(x-2)(y-2)$, fără să se mai termine cu $+2$. Rămâne doar produsul parantezelor!

Așadar
$$\large{\color{limegreen}{(x\circ y)\circ z=(x-2)(y-2)(z-2)+2}}.$$

Aceasta a fost prima jumătate a calculului! Foarte elegant! Nu tu produse de genul $xyz$ sau $-2xy$ sau $-4z$ sau mai știu eu ce minuni! Nu! Ci, direct, un produs elegant de paranteze. Super!

Desigur, ceva de genul vom primi și pentru a doua jumătate a calculului. Mai exact, de data aceasta vom avea de făcut
$$x\circ(y\circ z)=(x-2)(y\circ z-2)+2,$$
iar aici îl vom înlocui pe $(y\circ z-2)$ cu $(y-2)(z-2)$ în baza aceluiași raționament pe care l-am făcut mai sus, unde doar înlocuim litera $x$ de acolo cu $y$ și litera $y$ de acolo cu litera $z$.

În consecință, a doua jumătate va arăta astfel
$$\large{\color{limegreen}{x\circ(y\circ z)=(x-2)(y-2)(z-2)+2}}.$$

Se vede de la o poștă că cele două expresii au același rezultat. Ceea ce înseamnă că operația noastră este asociativă.


Puteți observa că însuși rezultatul obținut în prima jumătate ne-a sugerat că operația este asociativă, deoarece un produs de trei paranteze este asociativ pentru simplul motiv că înmulțirea este asociativă. Așadar, din nou, asociativitatea legii noastre se poate baza pe asociativitatea înmulțirii.

Aveți mari șanse să primiți la bac o asemenea lege de compoziție care poate fi redusă la un produs de paranteze. Tocmai de aceea, mâine vă voi arăta o generalizare a unei asemenea legi, în care în loc de $2$ vom pune $a$, ca să vă puteți descurca bine cu orice asemenea lege, indiferent ce numere conține ea.

Asociativitatea brută

În matematică, asociativitatea se referă tot la o asociere, doar că este vorba despre asocierea termenilor unei operații. O operație este asociativă dacă termenii ei sunt sociabili. Glumesc, desigur. Sau poate nu. Depinde ce înțelegem prin „sociabilitatea” termenilor unei operații.

Asociativitatea unei operații se poate testa numai și numai cu cel puțin trei termeni. Doi termeni sunt din start sociabili, dar despre trei termeni nu putem spune asta. Poate unul dintre ei este prieten mai bun cu unul decât cu altul.

Totuși, în ce ar consta  oare nesociabilitatea a trei termeni? Când am putea spune despre trei termeni că sunt sociabili și când nu?

Răspunsul vine de la termenul din mijloc al unui lanț de trei termeni legați printr-una și aceeași operație. Dacă acest termen este la fel de bun „prieten” cu termenul din stânga precum este și cu termenul din dreapta, atunci putem spune liniștiți că operația dată este asociativă.

Hmmm... Am vorbit despre termeni la fel de buni „prieteni” între ei. Când ar putea fi un termen din mijloc la fel de bun prieten cu fiecare dintre cei doi termeni din margine? Atunci când rezultatul compunerii ar fi același în ambele cazuri.

Pentru o operație asociativă nu ne mai trebuie paranteze. Și tocmai de aceea căutăm asemenea operații.





Exemple. Adunarea numerelor. Adunarea este asociativă deoarece dacă facem
$$(4+5)+6=9+6=15,$$
obținem același rezultat ca și în cazul în care facem
$$4+(5+6)=4+11=15.$$
Din acest motiv, nici nu mai are rost să punem paranteze și putem scrie liniștit $4+5+6=15$ fără să greșim vreodată.

Înmulțirea numerelor. Și înmulțirea este asociativă, pentru că
$$(4\cdot 5)\cdot 6=20\cdot 6=120,$$
iar
$$4\cdot(5\cdot 6)=4\cdot 30=120.$$
Așadar, din nou, și aici putem scrie fără paranteze $4\cdot 5\cdot 6=120$ fără să greșim ceva.

Contraexemple. În schimb, scăderea numerelor nu este asociativă, deoarece contează ce facem întâi. Un rezultat ne dă dacă facem
$$(11-6)-4=5-4=1$$
și alt rezultat ne dă dacă facem
$$11-(6-4)=11-2=9.$$

De asemenea, nici împărțirea nu este asociativă. Căci
$$(32:8):4=4:4=1,$$
pe când
$$32:(8:4)=32:2=16.$$





Acum vrem să vedem cum stabilim dacă legea de care ne-am agățat zilele-astea
$$x\circ y=6-2x-2y+xy$$
este asociativă sau nu. Știm ce avem de făcut. Știm că acum avem nevoie de trei termeni, nu doar de doi, cum a fost cazul cu comutativitatea. Trebuie să vedem dacă
$$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z).$$

Avem o groază de muncă de făcut, de data aceasta. Nu e așa simplu ca în cazul comutativității. Asociativitatea este mult mai greu de verificat decât comutativitatea. 

• Vă dați seama, 
• întâi trebuie să compunem primele două elemente între ele,
• după care rezultatul trebuie compus cu al treilea element. Și, să vedeți poveste, nici așa nu am terminat ceea ce avem de făcut, ci suntem abia la prima jumătate cu munca! 
• Dumnezeule, ce muncă sisifică! Mai trebuie apoi 
• compuse între ele ultimele două elemente, după care 
• să compunem primul element cu rezultatul acestei compuneri. Abia acum am terminat cu cea de-a doua jumătate.
• În fine, comparăm cele două jumătăți. Dacă ele sunt egale, atunci operația este, țucu-i suflețelul ei, asociativă. Dacă ele nu sunt egale, atunci operația este, să-i fie rușine, neasociativă.

Mnoa. Haideți să facem treaba...

Să compunem întâi primele două elemente. De fapt, ele sunt tocmai $x$ și $y$, deci compunerea lor va fi tocmai expresia din definiția operației, adică $x\circ y=6-2x-2y+xy$. Voi nota acest rezultat cu $PD$, de la „primele două”. Așadar

$$PD=x\circ y=6-2x-2y+xy.$$

Acum trebuie să compunem rezultatul $PD$ cu al treilea element, adică cu $z$. Așadar, trebuie să facem

$$PD\circ z=6-2PD-2z+PD\cdot z.$$

Numai că acum trebuie să punem ce trebuie (adică $6-2x-2y+xy$) în locul lui $PD$ pentru ca expresia noastră din prima jumătate să poată fi comparată cu ceea ce obținem în a doua jumătate. Dacă nu l-am înlocui pe PD, n-am avea cum să verificăm dacă cele două jumătăți sunt sau nu sunt egale.

Voi avea, deci,

$$(6-2x-2y+xy)\circ z=$$   $$=6-2(6-2x-2y+xy)-2z+(6-2x-2y+xy)\cdot z.$$

Desfacem parantezele-astea urâte și obținem

$$(6-2x-2y+xy)\circ z=$$ $$=6-12+4x+4y-2xy-2z+6z-2xz-2yz+xyz.$$

Mai reducem termenii asemenea $6-12=-6$ și $-2z+6z=4z$ și rămâne

$$(x\circ y)\circ z=-6+4x+4y+4z-2xy-2xz-2yz+xyz.$$

Am terminat ceea ce am avut de lucru cu prima jumătate. Acum trecem la a doua jumătate. Adică, acum compunem întâi ultimele două elemente ($y$ și $z$), după care îl compunem pe $x$ cu acest rezultat. De data aceasta, vom nota cu $UD$ rezultatul compunerii ultimelor două elemente. Deci,

$$UD=y\circ z=6-2y-2z+yz.$$

Apoi, trebuie să îl compunem pe $x$ cu rezultatul $UD$. Obținem

$$x\circ UD=6-2x-2UD+x\cdot UD.$$

Și ca să vedem dacă rezultatul este egal cu cel obținut în prima jumătate, trebuie să îl înlocuim aici și acum pe $UD$ cu $6-2y-2z+yz$. Deci,

$$x\circ(y\circ z)=x\circ UD=x\circ(6-2y-2z+yz).$$

Asta înseamnă că

$$x\circ(y\circ z)=6-2x-2(6-2y-2z+yz)+x\cdot(6-2y-2z+yz).$$

Acum desfacem parantezele și avem

$$x\circ(y\circ z)=6-2x-12+4y+4z-2yz+6x-2xy-2xz+xyz.$$

Mai trebuie să reducem termenii asemenea $6-12=-6$ și $-2x+6x=4x$ și suntem aproape gata

$$x\circ(y\circ z)=-6+4x+4y+4z-2yz-2xy-2xz+xyz.$$

Ne-a mai rămas doar a treia etapă, cea a comparării celor două rezultate. Deci, mai trebuie să comparăm rezultatul

$$(x\circ y)\circ z=-6+4x+4y+4z-2xy-2xz-2yz+xyz$$

din prima jumătate a calculului cu rezultatul

$$x\circ(y\circ z)=-6+4x+4y+4z-2yz-2xy-2xz+xyz$$

din cea de-a doua jumătate a calculului. Sunt ele egale? Este egal

$$-6+4x+4y+4z-2xy-2xz-2yz+xyz$$

cu

$$-6+4x+4y+4z-2yz-2xy-2xz+xyz?$$

Bineînțeles. N-avem decât să le scădem și să obținem zero. 

În consecință, putem scrie cu mâna pe inimă că

$$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),$$

ceea ce înseamnă că legea de care ne-am îndrăgostit deja este și asociativă, deci o putem scrie fără paranteze.

Dar, stați, că nu scăpați așa ușor de această lege. Mâine vă voi arăta o șmecherie prin care puteți evita o bună parte din calculele scârboase pe care a trebuit să le facem ca să putem afla dacă legea dată este asociativă. Gândiți-vă puțin cam cum vom face...