Să se determine parametrul $m$ astfel încât ecuația $x^2+mx+16=0$ să aibă o rădăcină multiplă.
Ce înseamnă rădăcină multiplă? Înseamnă rădăcină care apare de mai multe ori, deci înseamnă rădăcină a cărei valoare o mai întâlnim și la alte rădăcini ale polinomului dat, nu doar la acea rădăcină. Numărul de rădăcini la care mai întâlnim valoarea rădăcinii date se numește ordin de multiplicitate al rădăcinii respective.
Așa. Acum mai trebuie să știm ceva foarte important despre ecuațiile polinomiale: un polinom de gradul $n$ are nici mai mult și nici mai puțin de $n$ rădăcini (luând în considerare toate rădăcinile posibile, deci și pe cele complexe).
Ok. Dar polinomul nostru are gradul doi. Ce înseamnă asta? Că va avea exact două rădăcini. Și cum problema noastră ne cere ca ecuația să aibă o rădăcină multiplă, singura soluție este să deducem că rădăcina multiplă de care se vorbește are ordinul de multiplicitate doi.
Mai rezultă atunci ceva foarte important pentru ecuația noastră: ecuația noastră are două rădăcini egale!
Bun. Dar când are o ecuație de gradul doi două rădăcini egale? Atunci când ceea ce le discriminează (adică, discriminantul sau determinantul) este ca și inexistent, deci este nul. Asta era! Aceasta este condiția de la care trebuie noi să pornim pentru a afla parametrul $m$ în așa fel încât ecuația să aibă o rădăcină multiplă.
Deci, discriminant (determinant) nul. Adică $\Delta=0$. Dar $\Delta=b^2-4ac$, iar în cazul nostru, $\Delta=m^2-4\cdot 1\cdot 16=m^2-64$.
Așadar, trebuie să avem $m^2-64=0$. Trecându-l în dreapta pe $64$, obținem că $m^2=64$. Soluțiile acestei ecuații simple sunt $m=-8$ și $m=8$. Oricare dintre cele două valori le va avea $m$, ecuația dată va avea rădăcinile egale, deci va avea o rădăcină multiplă (cu ordinul de multiplicitate doi).
Mai observați aici o chestie: rădăcinile multiple ale ecuației de gradul doi nu pot fi nereale deoarece au partea imaginară nulă (partea imaginară fiind proporțională cu discriminantul ecuației). Așadar, dacă la bac vi s-ar cere să demonstrați că o anumită ecuație de gradul doi nu are rădăcini nereale, voi ar trebui să arătați, de fapt, că determinantul acelei ecuații este nul.
Ce înseamnă rădăcină multiplă? Înseamnă rădăcină care apare de mai multe ori, deci înseamnă rădăcină a cărei valoare o mai întâlnim și la alte rădăcini ale polinomului dat, nu doar la acea rădăcină. Numărul de rădăcini la care mai întâlnim valoarea rădăcinii date se numește ordin de multiplicitate al rădăcinii respective.
Așa. Acum mai trebuie să știm ceva foarte important despre ecuațiile polinomiale: un polinom de gradul $n$ are nici mai mult și nici mai puțin de $n$ rădăcini (luând în considerare toate rădăcinile posibile, deci și pe cele complexe).
Ok. Dar polinomul nostru are gradul doi. Ce înseamnă asta? Că va avea exact două rădăcini. Și cum problema noastră ne cere ca ecuația să aibă o rădăcină multiplă, singura soluție este să deducem că rădăcina multiplă de care se vorbește are ordinul de multiplicitate doi.
Mai rezultă atunci ceva foarte important pentru ecuația noastră: ecuația noastră are două rădăcini egale!
Bun. Dar când are o ecuație de gradul doi două rădăcini egale? Atunci când ceea ce le discriminează (adică, discriminantul sau determinantul) este ca și inexistent, deci este nul. Asta era! Aceasta este condiția de la care trebuie noi să pornim pentru a afla parametrul $m$ în așa fel încât ecuația să aibă o rădăcină multiplă.
Deci, discriminant (determinant) nul. Adică $\Delta=0$. Dar $\Delta=b^2-4ac$, iar în cazul nostru, $\Delta=m^2-4\cdot 1\cdot 16=m^2-64$.
Așadar, trebuie să avem $m^2-64=0$. Trecându-l în dreapta pe $64$, obținem că $m^2=64$. Soluțiile acestei ecuații simple sunt $m=-8$ și $m=8$. Oricare dintre cele două valori le va avea $m$, ecuația dată va avea rădăcinile egale, deci va avea o rădăcină multiplă (cu ordinul de multiplicitate doi).
Mai observați aici o chestie: rădăcinile multiple ale ecuației de gradul doi nu pot fi nereale deoarece au partea imaginară nulă (partea imaginară fiind proporțională cu discriminantul ecuației). Așadar, dacă la bac vi s-ar cere să demonstrați că o anumită ecuație de gradul doi nu are rădăcini nereale, voi ar trebui să arătați, de fapt, că determinantul acelei ecuații este nul.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.