Ieri v-am promis că o să vă arăt generalizarea legii date prin
$$x\circ y=6-2x-2y+xy.$$
Întâi să observăm că nu contează poziția în care scriem termenii. Adică, putem avea și forma
$$x\circ y=xy-2x-2y+6.$$
Și nu contează nici dacă apare ca factor comun $-2$-ul:
$$x\circ y=xy-2(x+y)+6.$$
Este una și aceeași lege.
Și știm de la partea stabilă că această lege poate fi scrisă ca un produs de două paranteze, adică
$$x\circ y=(x-2)(y-2)+2.$$
Să generalizăm acum această lege, pornind de la forma cu produsul parantezelor. Vom pune în loc de $2$ litera $a$. Să vedem ce iese. Așadar, inventăm legea
$$x\circ y=(x-a)(y-a)+a.$$
Vrem întâi să vedem sub ce formă o putem primi la bac. Desigur, nu prea avem șanse să o primim de-a gata sub această formă elegantă, ci o vom primi mai degrabă sub o formă brută pe care va trebui s-o prelucrăm noi ca să ajungem la această formă.
Ca să găsim forma ei brută, vom desface parantezele. Cum
$$(x-a)(y-a)+a=(xy-ax-ay+a^2)+a,$$
obținem forma brută a legii
$$\large{\color{red}{x\circ y=xy-ax-ay+a^2+a}}.$$
Când veți primi o asemenea lege, voi să știți automat că o puteți scrie ca un produs de paranteze $(x-a)(y-a)+a$, cu toate consecințele minunate care rezultă din această formă elegantă.
Să mai discutăm puțin despre „termenul liber” al legii de compoziție date. Din forma brută reiese că acest termen liber este $a^2+a$. Dându-l ca factor comun pe $a$, termenul liber poate fi pus sub o formă mai utilă $a(a+1)$.
Această formă este mai utilă deoarece puteți verifica mai rapid dacă forma brută a operației poate fi transformată în forma elegantă.
De exemplu, dacă primiți legea dragă nouă
$$x\circ y=xy-2x-2y+6,$$
puteți verifica ușor dacă termenul liber este cel corect, adică dacă este de forma $a(a+1)$, unde $a$ este la noi $2$, coeficientul lui $x$ și al lui $y$ (cu semn schimbat).
Adică, termenul liber trebuie să fie $2$ înmulțit cu numărul consecutiv, care urmează imediat lui $2$, adică $3$. Deci, trebuie să fie $2\cdot 3=6$. Deci, termenul liber este corect, deci legea noastră poate fi scrisă ca un produs de paranteze, așa cum am și văzut, de fapt.
Alt exemplu căruia să-i verificăm termenul liber. Să zicem că primim legea
$$x\circ y=xy-3x-3y+12.$$
Este bun termenul liber pentru această lege? Desigur, căci $3\cdot(3+1)=12$
Dar pentru legea
$$x\circ y=xy+3x+3y+6$$
este bun termenul liber? Hmmm... Observați că aici coeficienții lui $x$ și $y$ sunt pozitivi, nu negativi. Atunci cum facem? Păi, ziceam mai sus că noi verificăm produsul cu semn schimbat. Deci primul factor al produsului este $-3$, iar al doilea factor al produsului este numărul imediat consecutiv după $-3$, adică $-2$. Și cum $(-3)(-2)=6$, rezultă că termenul liber este bun și în acest caz.
Și atunci cum aducem această lege de la forma brută la forma elegantă? Păi, punem în loc de $a$ numărul $\large{\color{red}{-}}3$, deci avem
$$x\circ y=(x\large{\color{red}{+}}3)(y\large{\color{red}{+}}3)\large{\color{red}{-}}3.$$
Așa că, pe viitor, să nu vă mai speriați vreodată de asemenea legi. Căci voi veți ști că ele pot fi scrise frumos ca un produs de două paranteze.
$$x\circ y=6-2x-2y+xy.$$
Întâi să observăm că nu contează poziția în care scriem termenii. Adică, putem avea și forma
$$x\circ y=xy-2x-2y+6.$$
Și nu contează nici dacă apare ca factor comun $-2$-ul:
$$x\circ y=xy-2(x+y)+6.$$
Este una și aceeași lege.
Și știm de la partea stabilă că această lege poate fi scrisă ca un produs de două paranteze, adică
$$x\circ y=(x-2)(y-2)+2.$$
Să generalizăm acum această lege, pornind de la forma cu produsul parantezelor. Vom pune în loc de $2$ litera $a$. Să vedem ce iese. Așadar, inventăm legea
$$x\circ y=(x-a)(y-a)+a.$$
Vrem întâi să vedem sub ce formă o putem primi la bac. Desigur, nu prea avem șanse să o primim de-a gata sub această formă elegantă, ci o vom primi mai degrabă sub o formă brută pe care va trebui s-o prelucrăm noi ca să ajungem la această formă.
Ca să găsim forma ei brută, vom desface parantezele. Cum
$$(x-a)(y-a)+a=(xy-ax-ay+a^2)+a,$$
obținem forma brută a legii
$$\large{\color{red}{x\circ y=xy-ax-ay+a^2+a}}.$$
Când veți primi o asemenea lege, voi să știți automat că o puteți scrie ca un produs de paranteze $(x-a)(y-a)+a$, cu toate consecințele minunate care rezultă din această formă elegantă.
Să mai discutăm puțin despre „termenul liber” al legii de compoziție date. Din forma brută reiese că acest termen liber este $a^2+a$. Dându-l ca factor comun pe $a$, termenul liber poate fi pus sub o formă mai utilă $a(a+1)$.
Această formă este mai utilă deoarece puteți verifica mai rapid dacă forma brută a operației poate fi transformată în forma elegantă.
De exemplu, dacă primiți legea dragă nouă
$$x\circ y=xy-2x-2y+6,$$
puteți verifica ușor dacă termenul liber este cel corect, adică dacă este de forma $a(a+1)$, unde $a$ este la noi $2$, coeficientul lui $x$ și al lui $y$ (cu semn schimbat).
Adică, termenul liber trebuie să fie $2$ înmulțit cu numărul consecutiv, care urmează imediat lui $2$, adică $3$. Deci, trebuie să fie $2\cdot 3=6$. Deci, termenul liber este corect, deci legea noastră poate fi scrisă ca un produs de paranteze, așa cum am și văzut, de fapt.
Alt exemplu căruia să-i verificăm termenul liber. Să zicem că primim legea
$$x\circ y=xy-3x-3y+12.$$
Este bun termenul liber pentru această lege? Desigur, căci $3\cdot(3+1)=12$
Dar pentru legea
$$x\circ y=xy+3x+3y+6$$
este bun termenul liber? Hmmm... Observați că aici coeficienții lui $x$ și $y$ sunt pozitivi, nu negativi. Atunci cum facem? Păi, ziceam mai sus că noi verificăm produsul cu semn schimbat. Deci primul factor al produsului este $-3$, iar al doilea factor al produsului este numărul imediat consecutiv după $-3$, adică $-2$. Și cum $(-3)(-2)=6$, rezultă că termenul liber este bun și în acest caz.
Și atunci cum aducem această lege de la forma brută la forma elegantă? Păi, punem în loc de $a$ numărul $\large{\color{red}{-}}3$, deci avem
$$x\circ y=(x\large{\color{red}{+}}3)(y\large{\color{red}{+}}3)\large{\color{red}{-}}3.$$
Așa că, pe viitor, să nu vă mai speriați vreodată de asemenea legi. Căci voi veți ști că ele pot fi scrise frumos ca un produs de două paranteze.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.