Faceți căutări pe acest blog

joi, 23 octombrie 2014

Calculați primitiva unei fracții


Să se calculeze următoarea primitivă
$$\int\frac{x}{\cos^2 x}dx.$$


Dacă integrala de rezolvat nu poate fi găsită în tabele cu primitive, atunci încercăm să o transformăm într-o integrală prin părți (sau mai apoi prin schimbare de variabilă, dacă nu merge nici prin părți).

Integrala noastră nu se găsește în tabele obișnuite cu primitive. Așa că nu ne rămâne decât să încercăm să o rezolvăm prin părți, după formula
$$\large{\color{red}{\int f^\prime\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^\prime}}.$$

Dar cum să rezolvăm prin părți o integrală dintr-o fracție, din moment ce noi știm că integrarea prin părți presupune să avem de integrat un produs de funcții, nu o fracție? Păi, n-avem decât să transformăm fracția într-un produs și să vedem ce iese. Ia să vedem.

Avem
$$\int\frac{x}{\cos^2 x}dx=\int x\cdot\frac{1}{\cos^2 x}dx.$$

Deci, să transformăm fracția în produs n-a fost mare lucru. Acum ne mai rămâne să căutăm în produsul nostru o funcție care să poată fi scrisă ca fiind derivata unei alte funcții.

Desigur, dintre cei doi factori ai produsului nostru, reprezentați prin $x$ și, respectiv, $\frac{1}{\cos^2 x}$, amândoi pot fi scriși ca fiind derivata unei alte funcții. Căci $x$ poate fi scris ca fiind $\left(\frac{x^2}{2}\right)^\prime$, iar $\frac{1}{\cos^2 x}$ poate fi scris ca $(\tan x)^\prime$.

Deci avem libertatea să facem o alegere. Alegem să scriem pe $x$ ca fiind $\left(\frac{x^2}{2}\right)^\prime$, ori alegem să-l scriem pe $\frac{1}{\cos^2 x}$ ca fiind $(\tan x)^\prime$?

Nu avem un criteriu de alegere. Sau avem? De fapt, avem. Vom face alegerea în așa fel încât a doua integrală să fie mai simplă sau cel mult la fel de complicată ca integrala de calculat.

Se vede că a doua integrală devine mai simplă dacă va apărea în ea factorul $x^\prime$ care este pur și simplu egal cu $1$. Așadar, acest criteriu de alegere ne va determina să scriem
$$\int\frac{x}{\cos^2 x}dx=\int x\cdot\frac{1}{\cos^2 x}dx=\int x\cdot(\tan x)^\prime dx,$$
ca să lăsăm să apară factorul $x^\prime$ în cea de-a doua integrală.

Atunci, din formula de integrare prin părți, vom mai avea
$$\int\frac{x}{\cos^2 x}dx=\int x\cdot(\tan x)^\prime dx=x\cdot\tan x-\int x^\prime\cdot\tan x dx.$$

Așadar, ne rămâne
$$\int\frac{x}{\cos^2 x}dx=x\cdot\tan x-\int\tan x dx.$$

Dar, $\int\tan x dx$ o regăsim în tabele. Mai exact, $\int\tan x dx=-\ln|\cos x|$. Prin urmare, integrala noastră devine
$$\large{\color{blue}{\int\frac{x}{\cos^2 x}dx=x\cdot\tan x+\ln|\cos x|}+constanta}.$$