O proprietate remarcabilă a rației unei progresii aritmetice

Să presupunem că este cunoscută diferența dintre doi termeni oarecare ai unei progresii aritmetice. Se pune problema dacă se poate găsi rația progresiei în acest caz.


Spre exemplu, să presupunem că este cunoscută diferența dintre termenii $a_9$ și $a_5$, fie aceasta egală cu $12$. Cât o fi rația în acest caz?

Din definiția progresiei aritmetice, noi știm că
$$a_9=a_1+8r$$
și
$$a_5=a_1+4r.$$

Scăzând din prima egalitate pe cea de-a doua (pentru a scăpa de $a_1$), obținem
$$a_9-a_5=a_1+8r-(a_1+4r)=a_1+8r-a_1-4r=8r-4r=(8-4)r.$$

Lăsăm deocamdată în suspensie acest rezultat și vă invit să analizăm și următorul raționament. Știm că un termen al progresiei poate fi definit și în funcție de $a_2$, nu neapărat în funcție de $a_1$. Mai exact, putem scrie și că
$$a_9=a_2+7r$$
și
$$a_5=a_2+3r.$$

Dacă am scădea cele două egalități în mod asemănător ca mai sus, am obține

$$a_9-a_5=(7-3)r.$$

Ce s-a schimbat? Indicii $9$ și $5$ au rămas aceeași și s-a modificat doar conținutul parantezei, care din $(8-4)$ a devenit $(7-3)$. Conținutul parantezei, nu rezultatul! Puteam să avem o paranteză de genul $(6-2)$ sau $(5-1)$.

Totuși, noi preferăm să ne folosim de paranteza $(9-5)$! De ce? Pentru că aceștia sunt tocmai indicii celor doi termeni. Mai exact, avem

$$a_9-a_5=(9-5)r.$$

Iar de aici rezultă că

$$r=\frac{a_9-a_5}{9-5}.$$

Am scris această formulă sub această formă ca să observați care ar fi generalizarea ei. În general,  când cunoaștem diferența dintre termenii $a_n$ și $a_k$ putem scrie

$$\large{\color{red}{r=\frac{a_n-a_k}{n-k}}}.$$

Cei care își amintesc de definiția derivatei dată prin

$$f^\prime(ceva)=\lim_{x\to ceva}\frac{f(x)-f(ceva)}{x-ceva},$$

vor putea face o legătură frumoasă cu această formulă. Adică, rația unei progresii aritmetice ar fi un fel de derivată pentru progresie.

Așadar, rația progresiei dată ca exemplu va fi

$$r=\frac{a_9-a_5}{9-5}=\frac{12}{4}=3.$$

Dacă veți primi la bac (subiectul I) o problemă de acest gen, amintiți-vă de această formulă minunată pentru rație, asemănătoare cu definiția derivatei și astfel veți câștiga timp pentru probleme mai dificile.