Să se calculeze primitiva funcției $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.
Veți întâlni destul de des această integrală. Așa că haideți să o calculăm. Știm că, de regulă, o integrală poate fi simplă sau o combinație de integrale simple. Integralele simple sunt găsite în tabele, așa că integralele mai complicate trebuie reduse la integrale simple.
Dacă nu putem reduce direct integrala la o combinație de integrale mai simple, atunci măcar să o reducem la o integrală ce poate fi calculată prin părți. Din fericire, integrala noastră, deși nu poate fi redusă la o sumă sau diferență de integrale mai simple, ea poate fi în schimb calculată prin părți.
De regulă, dacă vedeți că o integrală nu poate fi scrisă ca o sumă de integrale mai simple, atunci încercați să o calculați prin părți. Cum integrala noastră nu este o sumă, înseamnă că vom încerca să o calculăm prin părți. Pentru a o calcula prin părți, trebuie să scriem funcția de sub integrală ca un produs de două funcții.
Știm că $\frac 2 3$ poate fi scris ca și $\frac 1 2\cdot 3$. Tot astfel, $\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{x}\cdot\ln x$.
Atunci
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int\frac{1}{x}\cdot\ln x dx.$$
Astfel, am reușit să scriem funcția de sub integrală ca un produs de două funcții. Mai departe, pentru a putea aplica formula integrării prin părți, va trebui să privim îndelung produsul nostru și să ne chinuim să observăm în acest produs o funcție derivată ca fiind unul dintre factori.
Factorii noștri sunt $\frac{1}{x}$ și $\ln x$. Care dintre ei o fi o funcție derivată? Deci, care dintre ei poate fi scris oare ca și ceva derivat? Să fie oare $\frac{1}{x}$, ori $\ln x$? Care funcție derivată ne dă unul dintre acești factori? Hmmmm...
Păi, dacă ați întâlnit suficient de des expresia $(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$, nu se poate să nu observați că factorul anterior $\frac{1}{x}$ poate fi scris ca și $(\ln x)^\prime$. În concluzie, integrala noastră devine
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int\frac{1}{x}\cdot\ln x dx=\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx.$$
Ajunși în acest stadiu, nu ne mai rămâne decât să aplicăm formula integrării prin părți, adică formula
$$\large{\color{red}{\int f^\prime\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^\prime}}.$$
Atunci, în baza acestei formule, vom avea
$$\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx=\ln x\cdot\ln x-\int\ln x\cdot(\ln x)^\prime.$$
Dar ce observăm aici? Că integrala din membrul drept este tocmai integrala ce trebuia calculată! Mai exact, dacă notăm
$$I=\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx,$$
atunci am obținut că
$$I=\ln^2 x-I.$$
De aici, pentru a calcula integrala $I$, mai avem de făcut doar un pas banal. Și anume, acela de a muta $I$-ul din dreapta în stânga (cum semn schimbat, desigur). Așadar, obținem
$$I+I=\ln^2 x.$$
Deci
$$2I=\ln^2 x,$$
de unde
$$\color{blue}{I=\frac{\ln^2 x}{2}}+constanta.$$
Observați că această integrală putea fi calculată și cu schimbare de variabilă, dacă puneam
$$u=\ln x.$$
Atunci, ea devenea
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int u^\prime\cdot u dx=\int u du=\frac{u^2}{2}+C.$$
Avantajul schimbării de variabilă era că puteam calcula ușor și integrale de forma
$$\int\frac{\ln^n x}{x}dx.$$
Veți întâlni destul de des această integrală. Așa că haideți să o calculăm. Știm că, de regulă, o integrală poate fi simplă sau o combinație de integrale simple. Integralele simple sunt găsite în tabele, așa că integralele mai complicate trebuie reduse la integrale simple.
Dacă nu putem reduce direct integrala la o combinație de integrale mai simple, atunci măcar să o reducem la o integrală ce poate fi calculată prin părți. Din fericire, integrala noastră, deși nu poate fi redusă la o sumă sau diferență de integrale mai simple, ea poate fi în schimb calculată prin părți.
De regulă, dacă vedeți că o integrală nu poate fi scrisă ca o sumă de integrale mai simple, atunci încercați să o calculați prin părți. Cum integrala noastră nu este o sumă, înseamnă că vom încerca să o calculăm prin părți. Pentru a o calcula prin părți, trebuie să scriem funcția de sub integrală ca un produs de două funcții.
Știm că $\frac 2 3$ poate fi scris ca și $\frac 1 2\cdot 3$. Tot astfel, $\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{x}\cdot\ln x$.
Atunci
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int\frac{1}{x}\cdot\ln x dx.$$
Astfel, am reușit să scriem funcția de sub integrală ca un produs de două funcții. Mai departe, pentru a putea aplica formula integrării prin părți, va trebui să privim îndelung produsul nostru și să ne chinuim să observăm în acest produs o funcție derivată ca fiind unul dintre factori.
Factorii noștri sunt $\frac{1}{x}$ și $\ln x$. Care dintre ei o fi o funcție derivată? Deci, care dintre ei poate fi scris oare ca și ceva derivat? Să fie oare $\frac{1}{x}$, ori $\ln x$? Care funcție derivată ne dă unul dintre acești factori? Hmmmm...
Păi, dacă ați întâlnit suficient de des expresia $(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$, nu se poate să nu observați că factorul anterior $\frac{1}{x}$ poate fi scris ca și $(\ln x)^\prime$. În concluzie, integrala noastră devine
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int\frac{1}{x}\cdot\ln x dx=\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx.$$
Ajunși în acest stadiu, nu ne mai rămâne decât să aplicăm formula integrării prin părți, adică formula
$$\large{\color{red}{\int f^\prime\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^\prime}}.$$
Atunci, în baza acestei formule, vom avea
$$\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx=\ln x\cdot\ln x-\int\ln x\cdot(\ln x)^\prime.$$
Dar ce observăm aici? Că integrala din membrul drept este tocmai integrala ce trebuia calculată! Mai exact, dacă notăm
$$I=\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx,$$
atunci am obținut că
$$I=\ln^2 x-I.$$
De aici, pentru a calcula integrala $I$, mai avem de făcut doar un pas banal. Și anume, acela de a muta $I$-ul din dreapta în stânga (cum semn schimbat, desigur). Așadar, obținem
$$I+I=\ln^2 x.$$
Deci
$$2I=\ln^2 x,$$
de unde
$$\color{blue}{I=\frac{\ln^2 x}{2}}+constanta.$$
Observați că această integrală putea fi calculată și cu schimbare de variabilă, dacă puneam
$$u=\ln x.$$
Atunci, ea devenea
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int u^\prime\cdot u dx=\int u du=\frac{u^2}{2}+C.$$
Avantajul schimbării de variabilă era că puteam calcula ușor și integrale de forma
$$\int\frac{\ln^n x}{x}dx.$$
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.