Faceți căutări pe acest blog

vineri, 24 octombrie 2014

Cel mai mare divizor comun, numere prime între ele, cel mai mic multiplu comun


Să presupunem că vi se dă o fracție și vi se cere să stabiliți dacă este sau nu este ireductibilă. Să zicem, fracția $\frac{25}{12}$.

Ce aveți de făcut? Trebuie să stabiliți dacă fracția dată se mai poate simplifica. Dacă nu se poate simplifica, atunci fracția este ireductibilă.

Cum stabilim dacă fracția se mai poate simplifica? Analizăm numărătorul și vedem cum poate fi scris acesta ca un produs. În cazul nostru $25=5\cdot 5$. Apoi analizăm numitorul și îl scriem ca pe un produs, $9=3\cdot 3$. Dacă printre factorii ce apar la numărător și la numitor se găsesc factori egali, atunci fracția se poate simplifica cu acel factor. Iar dacă nu găsim factori egali, atunci fracția este ireductibilă. În cazul nostru, sus la numărător avem numai factorul $5$, iar la numitor avem numai factorul $3$, deci fracția noastră nu se mai poate simplifica, deci este ireductibilă.

În general, o fracție este ireductibilă dacă cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului este abia $1$. Se mai spune atunci că numărătorul și numitorul sunt prime între ele.

O metodă generală de a găsi cel mai mare divizor comun pentru două sau mai multe numere pornește de la descompunerea numerelor în factori primi.

De exemplu, se cere găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor 30, 72 și 210. Pentru aceasta vom descompune în factori primi (deci, în factori care nu mai pot fi descompuși în alți factori) fiecare dintre cele trei numere.

Avem că $30=2\cdot 3\cdot 5$, apoi că $72=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=2^3\cdot 3^2$, iar $210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$.



Dacă avem descompunerea numerelor, avem tot ce ne trebuie pentru a găsi cel mai mare divizor comun al celor trei numere. Cel mai mare divizor comun se scrie cu paranteză rotundă. Valoarea lui este dată de un produs de factori aleși în modul următor: puterea cea mai mică. Mai exact, alegem factorii care apar în toate descompunerile la puterea cea mai mică.

La cele trei numere, în toate descompunerile, cea mai mică putere la care apare factorul 2 este 1, cea mai mică putere la care apare factorul 3 este din nou 1, dar cea mai mică putere la care apar (în toate descompunerile) ceilalți factori primi rămași (adică 5, 7, 11, 13 și așa mai departe) este 0, deci nici nu mai trebuie scriși.

Așadar, obținem în final
$$\color{red}{(30;72;210)=2\cdot 3=6}.$$
În acest caz, 6 este cel mai mare număr cu care se poate împărți exact fiecare dintre numerele 30, 72 și 210. Nu există altul mai mare decât 6.




Pe ceva analog se bazează și cel mai mic multiplu comun, doar că în acest caz se alege puterea cea mai mare. Acesta se notează cu paranteze drepte și este dat de produsul factorilor primi care apar în toate descompunerile la puterea cea mai mare.

În cazul nostru
$$\color{blue}{[30;72;210]=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2520}.$$
În acest caz, 2520 este cel mai mic număr care se împarte exact cu fiecare dintre numerele 30, 72 și 210. Nu există altul mai mic.