Să se calculeze
$$C_{2013}^0\cdot 6^{2013}-C_{2013}^1\cdot 6^{2012}\cdot 5+C_{2013}^2\cdot 6^{2011}\cdot 5^2-\dots -C_{2013}^{2013}\cdot 5^{2013}.$$
Ne uităm cu ochii bulbucați la această înșiruire de caractere aproape chinezești și ne apucă groaza. Cum dumnezeu se rezolvă o asemenea problemă? O fi aceasta o problemă rezonabilă, pentru bacalaureat? Sau o fi pentru olimpiadă?
Cu siguranță, este doar o problemă pentru bacalaureat, căci eu nu abordez aici probleme atât de grele precum sunt cele date la olimpiadă. Eu mă adresez aici începătorilor în ale matematicii, nu celor care își bat capul mai toată ziulica cu matematica și care nu prea au ce mai învăța de la mine.
Bun. Păi, dacă problema noastră este una destul de simplă, pentru bacalaureat, atunci unde este simplitatea ei? De ce nu vedem simplitatea problemei din prima? Păi, de ochi...
Cu această ocazie am să vă povestesc un eveniment din care am învățat un proverb frumos. Eram odată la țară, la mama-soacră. Aceasta m-a rugat s-o ajut la cules de prune. Când dau să intru în grădină și mă îngrozesc la vederea prunelor pe care le am de cules, mama scumpă îmi spune ceva ce am înțeles pe loc și n-am mai uitat de-atunci niciodată: „Ochiu' te sparie, da' mâna te bucură”. În timp ce culegeam prunele și vedeam cât de firesc ajung ele în coșuri, am înțeles că groaza mea inițială n-a fost justificată deloc; lucrurile au decurs normal, iar prunele au fost culese într-un timp mult mai scurt decât mi-am imaginat eu atunci.
Ei bine, cam așa e și cu problema noastră. Pare ciudată și foarte complicată la început, dar rezolvarea ei este fenomenal de simplă.
Deci, să mai privim o dată problema, de data asta, cu alți ochi, prin care vedem ceea ce am colorat cu roșu. Avem de calculat
$$C_{2013}^0\cdot \color{red}{6^{2013}}-C_{2013}^1\cdot \color{red}{6^{2012}\cdot 5}+C_{2013}^2\cdot \color{red}{6^{2011}\cdot 5^2}-\dots -C_{2013}^{2013}\cdot \color{red}{5^{2013}}.$$
Rescrierea pe care am făcut-o, în care am subliniat factorii mai importanți sugerează ceva. Va trebui să încercați să vă amintiți unde am mai întâlnit noi o asemenea înșiruire de termeni, care să aibă niște combinări în față și un produs de doi factori după.
Desigur, am putea să ne gândim să calculăm combinările. Poate ne gândim că dacă am scrie efectiv combinările ca și fracții cu ceva factoriale, s-ar simplifica ceva cu factorii de lângă combinări. Da, ar fi o cale, doar că ar fi o cale înfundată. Există o altă cale. Ia amintiți-vă... Unde am mai văzut noi o sumă de termeni cu combinări în față și cu un produs de doi factori după combinări?
Desigur, la binomul lui Newton! Asta era! Binomul lui Newton! Spuneam acolo că dezvoltarea binomului lui Newton este dată de
$$\large{\color{green}{(a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1}b^1+C_n^2 a^{n-2}b^2+...+\\
+...C_n^k a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-2} a^2 b^{n-2}+C_n^{n-1} a^1 b^{n-1}+C_n^n b^n}},$$
adică ceva foarte simplu din stânga poate fi transformat în ceva foarte urât în dreapta. Dar și invers: ceva foarte urât din dreapta poate fi transformat în ceva foarte simplu din stânga! Ok. Atunci, am putea oare să scriem expresia noastră urâtă ca fiind partea din dreapta a unui frumos binom al lui Newton? Dacă da, cum?
Iată cum. Avem cei doi factori care apar după combinări, adică factorul $6$ și factorul $5$. Apoi, observăm că toate combinările au în partea de jos numărul $2013$, deci înseamnă că puterea binomului este tocmai $2013$. (Puterea binomului putea fi dedusă și din faptul că dezvoltarea începe și se termină cu puterea $2013$.) Și, în plus, mai observăm că apare și semnul $-$ în mod alternativ.
Toate aceste informații grupate la un loc ne sugerează că expresia noastră urâtă poate fi considerată tocmai dezvoltarea următorului binom frumos
$$\large{\color{red}{(6-5)^{2013}}}.$$
De-acum, calculele devin foarte simple. Facem $6-5=1$, după care îl ridicăm pe $1$ la puterea $2013$. Și, desigur, $1$ la orice putere (cu excepția puterii infinite) este tot $1$. Așadar, rezultatul final este
$$\color{red}{C_{2013}^0\cdot 6^{2013}-C_{2013}^1\cdot 6^{2012}\cdot 5+C_{2013}^2\cdot 6^{2011}\cdot 5^2-\dots -C_{2013}^{2013}\cdot 5^{2013}=1}.$$
Desigur, dacă voi veți întâlni la bacurile din viitor o problemă asemănătoare, doar că în loc de $2013$ veți primi poate $2015$ sau $2017$ (deci un număr impar), voi veți ști că $1$ la orice putere finită este tot $1$. De asemenea, dacă în loc de factorii $6$ și $5$ voi veți observa factorii $7$ și $6$ sau $205$ și $204$, voi veți ști că de fapt contează diferența lor, care este de fiecare dată $1$.
Așa că, mult succes!
$$C_{2013}^0\cdot 6^{2013}-C_{2013}^1\cdot 6^{2012}\cdot 5+C_{2013}^2\cdot 6^{2011}\cdot 5^2-\dots -C_{2013}^{2013}\cdot 5^{2013}.$$
Ne uităm cu ochii bulbucați la această înșiruire de caractere aproape chinezești și ne apucă groaza. Cum dumnezeu se rezolvă o asemenea problemă? O fi aceasta o problemă rezonabilă, pentru bacalaureat? Sau o fi pentru olimpiadă?
Cu siguranță, este doar o problemă pentru bacalaureat, căci eu nu abordez aici probleme atât de grele precum sunt cele date la olimpiadă. Eu mă adresez aici începătorilor în ale matematicii, nu celor care își bat capul mai toată ziulica cu matematica și care nu prea au ce mai învăța de la mine.
Bun. Păi, dacă problema noastră este una destul de simplă, pentru bacalaureat, atunci unde este simplitatea ei? De ce nu vedem simplitatea problemei din prima? Păi, de ochi...
Cu această ocazie am să vă povestesc un eveniment din care am învățat un proverb frumos. Eram odată la țară, la mama-soacră. Aceasta m-a rugat s-o ajut la cules de prune. Când dau să intru în grădină și mă îngrozesc la vederea prunelor pe care le am de cules, mama scumpă îmi spune ceva ce am înțeles pe loc și n-am mai uitat de-atunci niciodată: „Ochiu' te sparie, da' mâna te bucură”. În timp ce culegeam prunele și vedeam cât de firesc ajung ele în coșuri, am înțeles că groaza mea inițială n-a fost justificată deloc; lucrurile au decurs normal, iar prunele au fost culese într-un timp mult mai scurt decât mi-am imaginat eu atunci.
Ei bine, cam așa e și cu problema noastră. Pare ciudată și foarte complicată la început, dar rezolvarea ei este fenomenal de simplă.
Deci, să mai privim o dată problema, de data asta, cu alți ochi, prin care vedem ceea ce am colorat cu roșu. Avem de calculat
$$C_{2013}^0\cdot \color{red}{6^{2013}}-C_{2013}^1\cdot \color{red}{6^{2012}\cdot 5}+C_{2013}^2\cdot \color{red}{6^{2011}\cdot 5^2}-\dots -C_{2013}^{2013}\cdot \color{red}{5^{2013}}.$$
Rescrierea pe care am făcut-o, în care am subliniat factorii mai importanți sugerează ceva. Va trebui să încercați să vă amintiți unde am mai întâlnit noi o asemenea înșiruire de termeni, care să aibă niște combinări în față și un produs de doi factori după.
Desigur, am putea să ne gândim să calculăm combinările. Poate ne gândim că dacă am scrie efectiv combinările ca și fracții cu ceva factoriale, s-ar simplifica ceva cu factorii de lângă combinări. Da, ar fi o cale, doar că ar fi o cale înfundată. Există o altă cale. Ia amintiți-vă... Unde am mai văzut noi o sumă de termeni cu combinări în față și cu un produs de doi factori după combinări?
Desigur, la binomul lui Newton! Asta era! Binomul lui Newton! Spuneam acolo că dezvoltarea binomului lui Newton este dată de
$$\large{\color{green}{(a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1}b^1+C_n^2 a^{n-2}b^2+...+\\
+...C_n^k a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-2} a^2 b^{n-2}+C_n^{n-1} a^1 b^{n-1}+C_n^n b^n}},$$
adică ceva foarte simplu din stânga poate fi transformat în ceva foarte urât în dreapta. Dar și invers: ceva foarte urât din dreapta poate fi transformat în ceva foarte simplu din stânga! Ok. Atunci, am putea oare să scriem expresia noastră urâtă ca fiind partea din dreapta a unui frumos binom al lui Newton? Dacă da, cum?
Iată cum. Avem cei doi factori care apar după combinări, adică factorul $6$ și factorul $5$. Apoi, observăm că toate combinările au în partea de jos numărul $2013$, deci înseamnă că puterea binomului este tocmai $2013$. (Puterea binomului putea fi dedusă și din faptul că dezvoltarea începe și se termină cu puterea $2013$.) Și, în plus, mai observăm că apare și semnul $-$ în mod alternativ.
Toate aceste informații grupate la un loc ne sugerează că expresia noastră urâtă poate fi considerată tocmai dezvoltarea următorului binom frumos
$$\large{\color{red}{(6-5)^{2013}}}.$$
De-acum, calculele devin foarte simple. Facem $6-5=1$, după care îl ridicăm pe $1$ la puterea $2013$. Și, desigur, $1$ la orice putere (cu excepția puterii infinite) este tot $1$. Așadar, rezultatul final este
$$\color{red}{C_{2013}^0\cdot 6^{2013}-C_{2013}^1\cdot 6^{2012}\cdot 5+C_{2013}^2\cdot 6^{2011}\cdot 5^2-\dots -C_{2013}^{2013}\cdot 5^{2013}=1}.$$
Desigur, dacă voi veți întâlni la bacurile din viitor o problemă asemănătoare, doar că în loc de $2013$ veți primi poate $2015$ sau $2017$ (deci un număr impar), voi veți ști că $1$ la orice putere finită este tot $1$. De asemenea, dacă în loc de factorii $6$ și $5$ voi veți observa factorii $7$ și $6$ sau $205$ și $204$, voi veți ști că de fapt contează diferența lor, care este de fiecare dată $1$.
Așa că, mult succes!
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.