Fie legea de compoziție x∘y=x+y−10 considerată pe mulțimea numerelor reale.
-a). Să se demonstreze că admite element neutru și să se calculeze acesta;
-b). Să se determine mulțimea unităților față de această operație.
-a). Observăm că legea dată este comutativă, căci x∘y=x+y−10=y+x−10=y∘x. Așadar, este suficient să arătăm că există un număr real e cu proprietatea că x∘e=x. Dacă legea nu era comutativă, trebuia să verificăm dacă este posibil să existe un e astfel încât x∘e=e∘x. Dar, din fericire, legea noastră este comutativă, deci este clar că x∘e=e∘x.
Mai departe, avem
x∘e=x+e−10.
Deci, pentru a-l găsi pe e trebuie să construim cu acesta ecuația x∘e=x și să-l considerăm ca fiind necunoscută pe e, nu pe x. Așadar, ecuația din care îl putem găsi pe e este
x+e−10=x.
Aruncăm (desigur, cu semn schimbat) în partea dreaptă a egalității tot ce nu este cu e și obținem
e=x−x+10,
de unde obținem că
e=10.
Cu aceasta am rezolvat ce s-a cerut la punctul a).
-b). Unități. Ce or mai fi și alea? Hmmm. Sunt elementele simetrizabile. Bun. Dar ce sunt atunci elementele simetrizabile? Sunt acele numere reale x′ pentru care avem x′∘x=x∘x′=e.
Cum operația noastră este comutativă, nu ne mai batem capul cu verificarea egalității x′∘x=x∘x′=e, ci trecem direct la scrierea ecuației
x∘x′=e
din care îl vom scoate pe x′ în funcție de x.
Cum x∘x′=x+x′−10=e, avem mai departe că
x+x′−10=10.
Asta înseamnă că
x′=10+10−x=20−x.
Am obținut ceea ce am căutat: formula elementelor simetrizabile x′=20−x. Această formulă ne arată nu doar că elementul simetric x′ este unic pentru unul și același x, ci ne mai arată și faptul că orice număr real x are un simetric x′. Deci, avem asigurată nu doar existența, ci și unicitatea elementelor simetrizabile pentru această operație.
Putem scrie atunci că U(R)=R, acesta fiind rezultatul final.
-a). Să se demonstreze că admite element neutru și să se calculeze acesta;
-b). Să se determine mulțimea unităților față de această operație.
-a). Observăm că legea dată este comutativă, căci x∘y=x+y−10=y+x−10=y∘x. Așadar, este suficient să arătăm că există un număr real e cu proprietatea că x∘e=x. Dacă legea nu era comutativă, trebuia să verificăm dacă este posibil să existe un e astfel încât x∘e=e∘x. Dar, din fericire, legea noastră este comutativă, deci este clar că x∘e=e∘x.
Mai departe, avem
x∘e=x+e−10.
Deci, pentru a-l găsi pe e trebuie să construim cu acesta ecuația x∘e=x și să-l considerăm ca fiind necunoscută pe e, nu pe x. Așadar, ecuația din care îl putem găsi pe e este
x+e−10=x.
Aruncăm (desigur, cu semn schimbat) în partea dreaptă a egalității tot ce nu este cu e și obținem
e=x−x+10,
de unde obținem că
e=10.
Cu aceasta am rezolvat ce s-a cerut la punctul a).
-b). Unități. Ce or mai fi și alea? Hmmm. Sunt elementele simetrizabile. Bun. Dar ce sunt atunci elementele simetrizabile? Sunt acele numere reale x′ pentru care avem x′∘x=x∘x′=e.
Cum operația noastră este comutativă, nu ne mai batem capul cu verificarea egalității x′∘x=x∘x′=e, ci trecem direct la scrierea ecuației
x∘x′=e
din care îl vom scoate pe x′ în funcție de x.
Cum x∘x′=x+x′−10=e, avem mai departe că
x+x′−10=10.
Asta înseamnă că
x′=10+10−x=20−x.
Am obținut ceea ce am căutat: formula elementelor simetrizabile x′=20−x. Această formulă ne arată nu doar că elementul simetric x′ este unic pentru unul și același x, ci ne mai arată și faptul că orice număr real x are un simetric x′. Deci, avem asigurată nu doar existența, ci și unicitatea elementelor simetrizabile pentru această operație.
Putem scrie atunci că U(R)=R, acesta fiind rezultatul final.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.