Asociativitatea brută

În matematică, asociativitatea se referă tot la o asociere, doar că este vorba despre asocierea termenilor unei operații. O operație este asociativă dacă termenii ei sunt sociabili. Glumesc, desigur. Sau poate nu. Depinde ce înțelegem prin „sociabilitatea” termenilor unei operații.

Asociativitatea unei operații se poate testa numai și numai cu cel puțin trei termeni. Doi termeni sunt din start sociabili, dar despre trei termeni nu putem spune asta. Poate unul dintre ei este prieten mai bun cu unul decât cu altul.

Totuși, în ce ar consta  oare nesociabilitatea a trei termeni? Când am putea spune despre trei termeni că sunt sociabili și când nu?

Răspunsul vine de la termenul din mijloc al unui lanț de trei termeni legați printr-una și aceeași operație. Dacă acest termen este la fel de bun „prieten” cu termenul din stânga precum este și cu termenul din dreapta, atunci putem spune liniștiți că operația dată este asociativă.

Hmmm... Am vorbit despre termeni la fel de buni „prieteni” între ei. Când ar putea fi un termen din mijloc la fel de bun prieten cu fiecare dintre cei doi termeni din margine? Atunci când rezultatul compunerii ar fi același în ambele cazuri.

Pentru o operație asociativă nu ne mai trebuie paranteze. Și tocmai de aceea căutăm asemenea operații.





Exemple. Adunarea numerelor. Adunarea este asociativă deoarece dacă facem
$$(4+5)+6=9+6=15,$$
obținem același rezultat ca și în cazul în care facem
$$4+(5+6)=4+11=15.$$
Din acest motiv, nici nu mai are rost să punem paranteze și putem scrie liniștit $4+5+6=15$ fără să greșim vreodată.

Înmulțirea numerelor. Și înmulțirea este asociativă, pentru că
$$(4\cdot 5)\cdot 6=20\cdot 6=120,$$
iar
$$4\cdot(5\cdot 6)=4\cdot 30=120.$$
Așadar, din nou, și aici putem scrie fără paranteze $4\cdot 5\cdot 6=120$ fără să greșim ceva.

Contraexemple. În schimb, scăderea numerelor nu este asociativă, deoarece contează ce facem întâi. Un rezultat ne dă dacă facem
$$(11-6)-4=5-4=1$$
și alt rezultat ne dă dacă facem
$$11-(6-4)=11-2=9.$$

De asemenea, nici împărțirea nu este asociativă. Căci
$$(32:8):4=4:4=1,$$
pe când
$$32:(8:4)=32:2=16.$$





Acum vrem să vedem cum stabilim dacă legea de care ne-am agățat zilele-astea
$$x\circ y=6-2x-2y+xy$$
este asociativă sau nu. Știm ce avem de făcut. Știm că acum avem nevoie de trei termeni, nu doar de doi, cum a fost cazul cu comutativitatea. Trebuie să vedem dacă
$$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z).$$

Avem o groază de muncă de făcut, de data aceasta. Nu e așa simplu ca în cazul comutativității. Asociativitatea este mult mai greu de verificat decât comutativitatea. 

• Vă dați seama, 
• întâi trebuie să compunem primele două elemente între ele,
• după care rezultatul trebuie compus cu al treilea element. Și, să vedeți poveste, nici așa nu am terminat ceea ce avem de făcut, ci suntem abia la prima jumătate cu munca! 
• Dumnezeule, ce muncă sisifică! Mai trebuie apoi 
• compuse între ele ultimele două elemente, după care 
• să compunem primul element cu rezultatul acestei compuneri. Abia acum am terminat cu cea de-a doua jumătate.
• În fine, comparăm cele două jumătăți. Dacă ele sunt egale, atunci operația este, țucu-i suflețelul ei, asociativă. Dacă ele nu sunt egale, atunci operația este, să-i fie rușine, neasociativă.

Mnoa. Haideți să facem treaba...

Să compunem întâi primele două elemente. De fapt, ele sunt tocmai $x$ și $y$, deci compunerea lor va fi tocmai expresia din definiția operației, adică $x\circ y=6-2x-2y+xy$. Voi nota acest rezultat cu $PD$, de la „primele două”. Așadar

$$PD=x\circ y=6-2x-2y+xy.$$

Acum trebuie să compunem rezultatul $PD$ cu al treilea element, adică cu $z$. Așadar, trebuie să facem

$$PD\circ z=6-2PD-2z+PD\cdot z.$$

Numai că acum trebuie să punem ce trebuie (adică $6-2x-2y+xy$) în locul lui $PD$ pentru ca expresia noastră din prima jumătate să poată fi comparată cu ceea ce obținem în a doua jumătate. Dacă nu l-am înlocui pe PD, n-am avea cum să verificăm dacă cele două jumătăți sunt sau nu sunt egale.

Voi avea, deci,

$$(6-2x-2y+xy)\circ z=$$ $$=6-2(6-2x-2y+xy)-2z+(6-2x-2y+xy)\cdot z.$$

Desfacem parantezele-astea urâte și obținem

$$(6-2x-2y+xy)\circ z=$$ $$=6-12+4x+4y-2xy-2z+6z-2xz-2yz+xyz.$$

Mai reducem termenii asemenea $6-12=-6$ și $-2z+6z=4z$ și rămâne

$$(x\circ y)\circ z=-6+4x+4y+4z-2xy-2xz-2yz+xyz.$$

Am terminat ceea ce am avut de lucru cu prima jumătate. Acum trecem la a doua jumătate. Adică, acum compunem întâi ultimele două elemente ($y$ și $z$), după care îl compunem pe $x$ cu acest rezultat. De data aceasta, vom nota cu $UD$ rezultatul compunerii ultimelor două elemente. Deci,

$$UD=y\circ z=6-2y-2z+yz.$$

Apoi, trebuie să îl compunem pe $x$ cu rezultatul $UD$. Obținem

$$x\circ UD=6-2x-2UD+x\cdot UD.$$

Și ca să vedem dacă rezultatul este egal cu cel obținut în prima jumătate, trebuie să îl înlocuim aici și acum pe $UD$ cu $6-2y-2z+yz$. Deci,

$$x\circ(y\circ z)=x\circ UD=x\circ(6-2y-2z+yz).$$

Asta înseamnă că

$$x\circ(y\circ z)=6-2x-2(6-2y-2z+yz)+x\cdot(6-2y-2z+yz).$$

Acum desfacem parantezele și avem

$$x\circ(y\circ z)=6-2x-12+4y+4z-2yz+6x-2xy-2xz+xyz.$$

Mai trebuie să reducem termenii asemenea $6-12=-6$ și $-2x+6x=4x$ și suntem aproape gata

$$x\circ(y\circ z)=-6+4x+4y+4z-2yz-2xy-2xz+xyz.$$

Ne-a mai rămas doar a treia etapă, cea a comparării celor două rezultate. Deci, mai trebuie să comparăm rezultatul

$$(x\circ y)\circ z=-6+4x+4y+4z-2xy-2xz-2yz+xyz$$

din prima jumătate a calculului cu rezultatul

$$x\circ(y\circ z)=-6+4x+4y+4z-2yz-2xy-2xz+xyz$$

din cea de-a doua jumătate a calculului. Sunt ele egale? Este egal

$$-6+4x+4y+4z-2xy-2xz-2yz+xyz$$

cu

$$-6+4x+4y+4z-2yz-2xy-2xz+xyz?$$

Bineînțeles. N-avem decât să le scădem și să obținem zero. 

În consecință, putem scrie cu mâna pe inimă că

$$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),$$

ceea ce înseamnă că legea de care ne-am îndrăgostit deja este și asociativă, deci o putem scrie fără paranteze.

Dar, stați, că nu scăpați așa ușor de această lege. Mâine vă voi arăta o șmecherie prin care puteți evita o bună parte din calculele scârboase pe care a trebuit să le facem ca să putem afla dacă legea dată este asociativă. Gândiți-vă puțin cam cum vom face...