V-am arătat ieri cât de scârbos este să demonstrăm asociativitatea operației $$x\circ y=6-2x-2y+xy.$$
Am chinuit ieri trecând printr-o mulțime de calcule, începând de la PD până la UD și terminând cu compararea celor două jumătăți. O groază de calcule!
Ei bine, azi va fi o zi mai frumoasă. Deoarece vă voi arăta, așa cum v-am promis, o șmecherie pe care o putem aplica la toate operațiile de genul celei de față.
Dar ce fel de operație este, de fapt, cea de față? Ce are ea special față de alte operații, dacă are?
Nu știu dacă vă mai amintiți, dar v-am arătat (într-un articol anterior referitor la partea stabilă) că operația noastră poate fi scrisă cu ajutorul unui produs de paranteze.
Mai exact, v-am arătat acolo că
$$x\circ y=6-2x-2y+xy=(x-2)(y-2)+2.$$
Vă mai amintiți?
Ok. Și ce-i cu asta? Ce-i cu bucuria că operația noastră poate fi scrisă ca un produs de paranteze? La ce ne poate ajuta pe noi acum această oportunitate?
Păi, noi vrem să găsim o modalitate mai ușoară de a demonstra că operația noastră este asociativă. Ia să ne folosim noi de forma cu produsul a operației ca să vedem dacă putem găsi ceva mai interesant în legătură cu asociativitatea.
Dacă $x\circ y=(x-2)(y-2)+2$, înseamnă că
$$\large{\color{red}{ceva\circ altceva=(ceva-2)(altceva-2)+2}}.$$
Țineți minte această relație și veți vedea cât de utilă ne va fi ea pentru a demonstra asociativitatea.
Știm din materialul de ieri că pentru a demonstra asociativitatea operației date, trebuie să demonstrăm că
$$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z).$$
De data aceasta, calculele vor fi mult mai simple. Datorită relației de mai sus scrisă cu culoarea roșie. Nu va trebui decât să înlocuim $ceva$-ul și $altceva$-ul cu ceea ce ne interesează pe noi.
Deci,
$$(x\circ y)\circ z=(x\circ y-2)(z-2)+2.$$
Ca să nu folosesc o mulțime de paranteze, drepte și rotunde, voi va trebui să înțelegeți că $x\circ y-2$ înseamnă, de fapt, $(x\circ y)-2$ și nicidecum $x\circ(y-2)$.
Și cum
$$x\circ y=(x-2)(y-2)\color{blue}{+2},$$
rezultă că
$$x\circ y\color{blue}{-2}=(x-2)(y-2).$$
Remarcabil! Deci, în loc de $x\circ y-2$ putem să punem $(x-2)(y-2)$, fără să se mai termine cu $+2$. Rămâne doar produsul parantezelor!
Așadar
$$\large{\color{limegreen}{(x\circ y)\circ z=(x-2)(y-2)(z-2)+2}}.$$
Aceasta a fost prima jumătate a calculului! Foarte elegant! Nu tu produse de genul $xyz$ sau $-2xy$ sau $-4z$ sau mai știu eu ce minuni! Nu! Ci, direct, un produs elegant de paranteze. Super!
Desigur, ceva de genul vom primi și pentru a doua jumătate a calculului. Mai exact, de data aceasta vom avea de făcut
$$x\circ(y\circ z)=(x-2)(y\circ z-2)+2,$$
iar aici îl vom înlocui pe $(y\circ z-2)$ cu $(y-2)(z-2)$ în baza aceluiași raționament pe care l-am făcut mai sus, unde doar înlocuim litera $x$ de acolo cu $y$ și litera $y$ de acolo cu litera $z$.
În consecință, a doua jumătate va arăta astfel
$$\large{\color{limegreen}{x\circ(y\circ z)=(x-2)(y-2)(z-2)+2}}.$$
Se vede de la o poștă că cele două expresii au același rezultat. Ceea ce înseamnă că operația noastră este asociativă.
Puteți observa că însuși rezultatul obținut în prima jumătate ne-a sugerat că operația este asociativă, deoarece un produs de trei paranteze este asociativ pentru simplul motiv că înmulțirea este asociativă. Așadar, din nou, asociativitatea legii noastre se poate baza pe asociativitatea înmulțirii.
Aveți mari șanse să primiți la bac o asemenea lege de compoziție care poate fi redusă la un produs de paranteze. Tocmai de aceea, mâine vă voi arăta o generalizare a unei asemenea legi, în care în loc de $2$ vom pune $a$, ca să vă puteți descurca bine cu orice asemenea lege, indiferent ce numere conține ea.
Am chinuit ieri trecând printr-o mulțime de calcule, începând de la PD până la UD și terminând cu compararea celor două jumătăți. O groază de calcule!
Ei bine, azi va fi o zi mai frumoasă. Deoarece vă voi arăta, așa cum v-am promis, o șmecherie pe care o putem aplica la toate operațiile de genul celei de față.
Dar ce fel de operație este, de fapt, cea de față? Ce are ea special față de alte operații, dacă are?
Nu știu dacă vă mai amintiți, dar v-am arătat (într-un articol anterior referitor la partea stabilă) că operația noastră poate fi scrisă cu ajutorul unui produs de paranteze.
Mai exact, v-am arătat acolo că
$$x\circ y=6-2x-2y+xy=(x-2)(y-2)+2.$$
Vă mai amintiți?
Ok. Și ce-i cu asta? Ce-i cu bucuria că operația noastră poate fi scrisă ca un produs de paranteze? La ce ne poate ajuta pe noi acum această oportunitate?
Păi, noi vrem să găsim o modalitate mai ușoară de a demonstra că operația noastră este asociativă. Ia să ne folosim noi de forma cu produsul a operației ca să vedem dacă putem găsi ceva mai interesant în legătură cu asociativitatea.
Dacă $x\circ y=(x-2)(y-2)+2$, înseamnă că
$$\large{\color{red}{ceva\circ altceva=(ceva-2)(altceva-2)+2}}.$$
Țineți minte această relație și veți vedea cât de utilă ne va fi ea pentru a demonstra asociativitatea.
Știm din materialul de ieri că pentru a demonstra asociativitatea operației date, trebuie să demonstrăm că
$$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z).$$
De data aceasta, calculele vor fi mult mai simple. Datorită relației de mai sus scrisă cu culoarea roșie. Nu va trebui decât să înlocuim $ceva$-ul și $altceva$-ul cu ceea ce ne interesează pe noi.
Deci,
$$(x\circ y)\circ z=(x\circ y-2)(z-2)+2.$$
Ca să nu folosesc o mulțime de paranteze, drepte și rotunde, voi va trebui să înțelegeți că $x\circ y-2$ înseamnă, de fapt, $(x\circ y)-2$ și nicidecum $x\circ(y-2)$.
Și cum
$$x\circ y=(x-2)(y-2)\color{blue}{+2},$$
rezultă că
$$x\circ y\color{blue}{-2}=(x-2)(y-2).$$
Remarcabil! Deci, în loc de $x\circ y-2$ putem să punem $(x-2)(y-2)$, fără să se mai termine cu $+2$. Rămâne doar produsul parantezelor!
Așadar
$$\large{\color{limegreen}{(x\circ y)\circ z=(x-2)(y-2)(z-2)+2}}.$$
Aceasta a fost prima jumătate a calculului! Foarte elegant! Nu tu produse de genul $xyz$ sau $-2xy$ sau $-4z$ sau mai știu eu ce minuni! Nu! Ci, direct, un produs elegant de paranteze. Super!
Desigur, ceva de genul vom primi și pentru a doua jumătate a calculului. Mai exact, de data aceasta vom avea de făcut
$$x\circ(y\circ z)=(x-2)(y\circ z-2)+2,$$
iar aici îl vom înlocui pe $(y\circ z-2)$ cu $(y-2)(z-2)$ în baza aceluiași raționament pe care l-am făcut mai sus, unde doar înlocuim litera $x$ de acolo cu $y$ și litera $y$ de acolo cu litera $z$.
În consecință, a doua jumătate va arăta astfel
$$\large{\color{limegreen}{x\circ(y\circ z)=(x-2)(y-2)(z-2)+2}}.$$
Se vede de la o poștă că cele două expresii au același rezultat. Ceea ce înseamnă că operația noastră este asociativă.
Puteți observa că însuși rezultatul obținut în prima jumătate ne-a sugerat că operația este asociativă, deoarece un produs de trei paranteze este asociativ pentru simplul motiv că înmulțirea este asociativă. Așadar, din nou, asociativitatea legii noastre se poate baza pe asociativitatea înmulțirii.
Aveți mari șanse să primiți la bac o asemenea lege de compoziție care poate fi redusă la un produs de paranteze. Tocmai de aceea, mâine vă voi arăta o generalizare a unei asemenea legi, în care în loc de $2$ vom pune $a$, ca să vă puteți descurca bine cu orice asemenea lege, indiferent ce numere conține ea.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.